Hướng dẫn học sinh lớp 12 trường THPT quảng xương 4 giải một số bài toán “lãi kép” để đạt kết quả cao trong kỳ thi THPT quốc gia

MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU…………………… 1.1 Lí chọn đề tài……………………………… 1.2 Mục đích nghiên cứu……………………………………… 1.3 Đối tượng nghiên cứu………………………………………… 1.4 Phương pháp nghiên cứu…………………………………… NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM…………………… 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm………………… 2.2 Thực trạng học sinh giải toán "lãi kép" trước Trang 1 2 3 áp dụng sáng kiến kinh nghiệm……………………………………… 2.3 Các giải pháp thực giải toán "lãi kép" nhằm giúp học sinh đạt kết cao kì thi THPT Quốc gia 2.3.1 Kiến thức có liên quan…………………………………… 2.3.2 Một số tốn thường gặp phương pháp giải………… Bài toán 1…………………………………………………… Bài toán 2…………………………………………………… Bài toán 3…………………………………………………… Bài toán 4…………………………………………………… Bài toán 5…………………………………………………… Bài toán 6…………………………………………………… 2.3.3 Bài tập áp 4 9 11 dụng…………………………………………… 2.3.4 Hiệu giải pháp giải toán "lãi kép" để 12 đạt kết cao kì thi THPT Quốc gia PHẦN KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ………………………………… 3.1 Kết luận………………………………………………… 3.2 Kiến nghị…………………………………………………… TÀI LIỆU THAM KHẢO DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI 13 13 13 PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Theo Luật giáo dục điều 27 có đề mục tiêu cho giáo dục phổ thông là: "Giúp học sinh phát triển tồn diện đạo đức, trí lực, thể chất, thẫm mĩ kĩ bản, phát triển lực cá nhân, tính động, sáng tạo, hình thành nhân cách người" [5] Và đặc biệt Nghị 29-NQ/TW hội nghị lần thứ tám Ban Chấp hành trung ương khóa XI thơng qua ngày 04/11/2013 đổi bản, toàn diện GD&ĐT, đáp ứng u cầu cơng nghiệp hóa, đại hóa điều kiện kinh tế thị trường định hướng Xã hội Chủ nghĩa hội nhập quốc tế trọng: " Năng lực kĩ thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn" [4], nhấn mạnh lực chun mơn có lực tính tốn lực đặc thù mơn Tốn : 'Năng lực ngơn ngữ, Năng lực tính tốn, Năng lực tìm hiểu tự nhiên xã hội, Năng lực công nghệ, Năng lực tin học, Năng lực thẩm mỹ, Năng lực thể chất) lực đặc biệt (năng khiếu")[4] Việc phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo học sinh; phù hợp với môn học, đặc điểm đối tượng học sinh, điều kiện lớp học; bồi dưỡng cho học sinh phương pháp tự học, khả hợp tác; rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú trách nhiệm học tập cho học sinh Theo công văn số 911/BGDDT- QLCL Bộ giáo dục đào tạo thức cơng bố phương án thi THPT Quốc gia xét tuyển Đại học, cao đẳng năm học 2018 Bộ giáo dục đào tạo công bố đề thi minh họa, đề thi thử nghiệm đề thi tham khảo mơn Tốn học Theo phương án thi cơng bố, mơn Tốn học thi hình thức thi trắc nghiệm khách quan, nội dung đề thi gồm 30% chương trình lớp 11 70% chương trình lớp 12 hành Đặc biệt theo cấu trúc đề thi mà cơng bố đề thi đưa vào toán ứng dụng thực tế, toán ‘ lãi kép’ đề cập cấu trúc đề thi Bài toán “ lãi kép” tốn khó, trước đề cập đề thi học sinh giỏi, sách giáo khoa Giải tích 12 ban tốn ‘lãi kép’ lấy làm ví dụ để đặt vấn đề làm xuất hàm số mũ y = a x hàm số logarit [7] Bài tập toán dạng sách giáo khoa sách tập ít, khơng phong phú tài liệu đề cập bàn sâu đến dạng tốn ‘lãi kép’ khơng có nhiều thị trường, học sinh học làm tập dạng toán lúng túng làm sai nhiều Để giúp học sinh lớp 12 Trường THPT Quảng Xương giải tốt tốn ‘lãi kép’ q trình học ôn tập thi THPT Quốc gia, chọn đề tài: ''Hướng dẫn học sinh lớp 12 trường THPT quảng xương giải số toán "lãi kép" để đạt kết cao kì thi THPT Quốc gia " 1.2 Mục đích nghiên cứu Cung cấp cho học sinh số phương pháp kỹ để học sinh giải tốn liên quan đến toán ‘lãi kép’ để đạt kết cao kì thi THPT Quốc gia Tránh tình trạng em gặp phải toán loại lúng túng không giải Giúp học sinh có nhìn linh hoạt chủ động gặp toán ‘lãi kép’ Học sinh trường THPT Quảng Xương học sinh thuộc xã nghèo huyện Quảng Xương vay tiền cho học, hay "vay trả góp, mua hàng trả góp" vấn đề quen thuộc Vì dạng tốn thực tế giúp học sinh biết gia đình chịu lãi xuất thực bao nhiêu, để có ý thức học tập trách nhiệm với gia đình từ ngồi ghế nhà trường 1.3 Đối tượng nghiên cứu Là học sinh lớp 12 trường trung học phổ thông Quảng Xương đề tài nghiên cứu toán sau: Bài toán gửi ngân hàng theo thể thức lãi suất đơn (có nghĩa tiền lãi kì hạn trước khơng cộng vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau) Bài tốn gửi ngân hàng theo thể thức lãi suất kép (có nghĩa tiền lãi kì hạn trước cộng vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau) Bài tốn ‘vay trả góp mua hàng trả góp’ 1.4 Phương pháp nghiên cứu Để thực đề tài này, sử dụng phương pháp sau : +) Nghiên cứu tài liệu : - Đọc tài liệu sách, báo, tạp chí giáo dục có liên quan đến nội dung đề tài - Đọc SGK, sách giáo viên, loại sách tham khảo - Đề thi minh họa, đề thi thử nghiệm đề thi tham khảo Bộ giáo dục đào tạo - Đề thi khảo sát chất lượng lớp 12 Sở giáo dục đào tạo Thanh Hóa, đề thi khảo sát chất lượng khối 12 Trường THPT +) Nghiên cứu thực tế : - Dự giờ, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp nội dung hàm số lũy thừa, hàm số mũ hàm số logarit - Tổng kết rút kinh nghiệm trình dạy học - Tổ chức tiến hành thực nghiệm sư phạm (Soạn giáo án thông qua tiết dạy) để kiểm tra tính khả thi đề tài NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm Trong chương trình Giải tích 12 toán ‘lãi kép’ nội dung quan trọng, tốn lấy làm ví dụ để xây dựng định nghĩa hàm số lũy thừa hàm số logarit Ngồi tốn ‘lãi kép’ tốn thực tế diễn sống hàng ngày gửi tiền vào ngân hàng, vay tiền ngân hàng, vay trả góp, mua hàng trả góp, việc cung cấp nội dung phương pháp để học sinh giải toán liên quan đến toán ‘lãi kép’ cần thiết 2.2 Thực trạng học sinh giải toán "lãi kép" trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm - Khi gặp toán liên quan đến toán ‘lãi kép’, số học sinh lúng túng, chưa biết cách giải, thường làm mò khơng có sở tốn học - Khi gặp toán liên quan đến toán ‘lãi kép’, số học sinh thường bỏ qua, khoanh chừng - Trong trình soạn giảng toán "lãi kép" giáo viên chưa đưa hệ thống toán dạng cách hệ thống đầy đủ 2.3 Các giải pháp thực giải toán "lãi kép" nhằm giúp học sinh đạt kết cao kì thi THPT Quốc gia Triển khai đề tài buổi sinh hoạt tổ chuyên môn để tất đồng chí giáo viên giảng dạy khối 12 tổ triển khai giảng dạy đồng loạt cho học sinh khối 12 để đạt kết cao kì thi THPT quốc gia có câu hỏi vào tốn "lãi kép" (Hình ảnh triển khai chuyên đề: Các giải pháp thực giải toán "lãi kép" giúp HS đạt giải cao kì thi THPT quốc gia) Cách thức triển khai: - Đầu tiên tiếp cận toán, giáo viên giúp học sinh nắm phương pháp giải, biết phải sử dụng cơng thức cho phù hợp Sau lập sơ đồ giải, sử dụng máy tính cầm tay bấm để kết cần tìm - Để giúp học sinh có cách giải phù hợp với toán liên quan đến toán ‘lãi kép’, trước hết giáo viên cần yêu cầu học sinh ôn tập kiến thức cấp số cộng, cấp số nhân kiến thức hàm số lũy thừa, hàm số lơgarit Sau giáo viên chọn số tốn điển hình để học sinh thực hành vận dụng [6] Trong đề tài này, xin đưa số toán tương đối đầy đủ toán liên quan đến toán ‘lãi kép’ sát với thực tế sống sát với chương trình ơn tập thi trung học phổ thơng quốc gia 2018 2.3.1 Kiến thức tốn có liên quan - Các khái niệm cấp số cộng cấp số nhân đại số giải tích 11 [6] - Các khái niệm hàm số mũ hàm số logarit giải tích 12 [7] 2.3.2 Một số tốn thường gặp phương pháp giải Bài toán (Bài toán lãi đơn) Ví dụ: Một người gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng, với lãi suất đơn 7% năm Hỏi số tiền người nhận vốn lãi sau năm ? (Biết suốt thời gian gửi lãi suất không thay đổi ) Lời giải: Hết năm thứ người nhận gốc lãi A = 100.106 + 100.106.7% = 100.106.(1 + 1.7%) = 107.000000 - Hết năm thứ người nhận gốc lãi A = 107.106 + 100.106.7% = 100.106 + 100.106.7% + 100.106.7% = 100.106.(1 + 2.7%) = 114000000 - Hết năm thứ người nhận gốc lãi A = 114.106 + 100.106.7% = 100.106 + 100.106.7% + 100.106.7% + 100.106.7% = 100.106.(1 + 3.7%) = 121000000 - Hết năm thứ người nhận gốc lãi A = 121.106 + 100.106.7% = 100.106 + 100.106.7% + 100.106.7% + 100.106.7% + 100.106.7% = 100.106.(1 + 4.7%) = 128000000 - Hết năm thứ người nhận gốc lãi A = 128.106 + 100.106.7% = 100.106 + 100.106.7% + 100.106.7% + 100.106.7% + 100.106.7% + 100.106.7% = 100.106.(1 + 5.7%) = 135000000 (Một trăm ba lăm triệu đồng ) Từ ví dụ theo quy nạp ta có toán tổng quát sau: Một người gửi vào ngân hàng a đồng, với lãi suất đơn r % kì hạn Hỏi số tiền người nhận vốn lãi sau n ( n ∈ ¥ * ) kì hạn ? (Biết suốt thời gian gửi lãi suất không thay đổi ) Lời giải: Ta gọi A tổng số tiền gốc lãi người nhận sau n kì hạn A tính cơng thức: A = a.(1 + n.r %) (1) Phân tích khắc sâu cho học sinh: - Nếu gửi theo thể thức lãi suất đơn có nghĩa là: Tiền lãi kì hạn trước khơng cộng vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau Như ví dụ ta giải cách áp dụng trực tiếp công thức (1) sau : Lời giải Áp dụng công thức (1) ta có A = 100000000.(1 + 5.7%) = 135000000 đ (Một trăm ba lăm triệu đồng ) Ví dụ: Một người gửi vào ngân hàng 20 triệu đồng, với lãi suất đơn 7,2% năm Hỏi người phải gửi năm số tiền người nhận vốn lãi 27200000 đồng ? (Biết suốt thời gian gửi lãi suất không thay đổi ) Lời giải Theo cơng thức (1) ta có: 20.106.(1 + n.7, 2%) = 27200000 ⇒ n = Vậy người phải gửi năm Ví dụ: Một người đầu tư vào công ty 80 triệu đồng, sau năm người nhận vốn lãi 128000000 đồng Hỏi lãi suất tháng người nhận ? Lời giải Theo cơng thức (1) ta có: 80.106.(1 + 12.r %) = 128000000 ⇒ r = Vậy lãi suất tháng 5% Bài toán (Bài toán lãi kép) Ví dụ: Một người gửi số tiền triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 7%/năm Biết khơng rút tiền khỏi ngân hàng sau năm, số tiền lãi nhập vào vốn ban đầu (người ta gọi lãi kép) Hỏi người lĩnh tiền sau n năm ( n ∈ ¥ * ), khoảng thời gian không rút tiền lãi suất không thay đổi ? Lời giải: Giả sử n ≥ Gọi số vốn ban đầu a, lãi suất r Ta có a=1 (triệu đồng), r=0,07 - Sau năm thứ nhất: Tiền lãi L1 = a.r = 1.0, 07 = 0, 07 (triệu đồng) Số tiền lĩnh vốn lãi : A1 = a + L1 = a + a.r = a (1 + r ) = 1, 07 (triệu đồng) - Sau năm thứ hai: Tiền lãi L2 = A1.r = 1, 07.0, 07 = 0, 0749 (triệu đồng) Số tiền lĩnh vốn lãi : A2 = A1 + L2 = a (1 + r ) + A1.r = a(1 + r ) + a (1 + r ).r = a (1 + 2r + r ) = a (1 + r ) = (1, 07) = 1,1449 (triệu đồng) - Tương tự, số tiền lĩnh vốn lãi sau n năm : An = a.(1 + r ) n = (1, 07) n (triệu đồng) Vậy sau n năm, người lĩnh (1, 07) n triệu đồng Từ ví dụ theo quy nạp ta có cơng thức tổng quát sau: An = a.(1 + r ) n (2) Trong Số vốn ban đầu là: a Lãi suất là: r Thời gian gửi ( kì gửi) là: n Số tiền gốc lãi n kì là: An Phân tích khắc sâu cho học sinh: - Nếu gửi theo thể thức lãi suất kép có nghĩa là: Tiền lãi kì hạn trước cộng vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau Ví dụ: Ơng A gửi 15 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn năm với lãi suất 7,65%/năm Giả sử lãi suất không thay đổi Hỏi sau năm ông A thu vốn lãi (kết làm tròn đến hàng nghìn đồng)? Lời giải: Áp dụng cơng thức (2) ta có: A5 = 15.106.(1 + 7, 65%)5 = 21685000 đồng Vậy sau năm ông A thu vốn lãi 21685000 đồng Bài tốn (Bài tốn kì gửi đặn a đồng theo thể thức lãi kép Hỏi sau n kì số tiền gốc lãi ? ) Ví dụ: Một bà mẹ Việt Nam anh hùng hưởng số tiền triệu đồng tháng ( chuyển vào tài khoản mẹ ngân hàng vào đầu tháng) Từ tháng năm 2016 mẹ không rút tiền mà để lại ngân hàng tính lãi suất 1%/ tháng Đến đầu tháng 12 năm 2016 mẹ rút toàn số tiền (gồm số tiền tháng 12 số tiền gửi từ tháng 1) Hỏi mẹ lĩnh tiền (kết làm tròn theo đơn vị nghìn đồng ) Lời giải Gọi a số tiền gửi, r lãi suất - Cuối tháng thứ mẹ có số tiền : A1 = a.(1 + r ) - Cuối tháng thứ hai mẹ có số tiền : A2 = [a (1 + r ) + a ](1 + r ) = a (1 + r ) + a (1 + r ) -Tương tự theo quy nạp hết tháng thứ n mẹ có số tiền An = a.(1 + r ) (1 + r ) n − r (3) Áp dụng cơng thức (3) cho 11 kì gửi ý kì 12 khơng đươc tính lãi ta có A12 = 4.106.(1 + 1%) (1 + 1%)11 − + 4.106 = 50730012, 05 1% Vậy mẹ nhận 50730000 đồng Ví dụ: Một người gửi tiết kiệm theo thể thức lãi kép sau : Mỗi tháng người tiết kiệm số tiền a đồng gửi vào ngân hàng theo kì hạn tháng với lãi suất 0,6%/tháng Tìm a để sau ba năm kể từ ngày gửi lần người có tổng số tiền 400 triệu đồng (Biết lãi suất không thay đổi suốt thời gian gửi ) Lời giải: Áp dụng công thức (3) ta có A = a(1 + 0, 6%) (1 + 0, 6%)36 − = 400000000 ⇒ a ≈ 9928000 0, 6% Như người phải gửi vào ngân hàng tháng xấp xỉ 9928000 đồng Bài toán (Ban đầu kì thứ gửi P đồng sau kể từ kì thứ trở kì gửi đặn a đồng theo thể thức lãi kép lãi suất r Hỏi sau n kì tổng số tiền gốc lãi ? ) Ví dụ: Một người gửi gói tiết kiệm tích lũy cho ngân hàng theo thể thức lãi kép, với số tiền tiết kiệm ban đầu 200 triệu đồng, lãi suất 7%/năm Từ năm thứ trở ngày ngân hàng tính lãi người gửi thêm vào 20 triệu đồng Biết người khơng rút lãi định kì hàng năm lãi suất khơng thay đổi suốt thời gian gửi Hỏi sau 18 năm người nhận gốc lãi ? Lời giải: - Sau năm thứ người nhận số tiền gốc lãi : 200.106.(1 + 7%) = 214 triệu đồng - Đầu năm thứ người gửi vào 20 triệu đồng nên cuối năm thứ hai người nhận số tiền : (214.106 + 20.106 )(1 + 7%) đồng - Đầu năm thứ người gửi vào 20 triệu đồng nên cuối năm thứ ba người nhận số tiền : [(214.106 + 20.106 )(1 + 7%) + 20.106 ].(1 + 7%) = = (214.106 + 20.106 )(1 + 7%) + 20.106.(1 + 7%) đồng -Tương tự, đến hết năm thứ 18 người nhận (214.106 + 20.106 )(1 + 7%)17 + 20.10 6.(1 + 7%) (1 + 7%)16 − = 1335967105 đồng 7% Vậy người nhận 1335967105 đồng Theo quy nạp ta có cơng thức tổng qt sau: A = ( P + P.r + a )(1 + r ) n −1 + a (1 + r ) (1 + r ) n − − r (4) Bài toán (Bài toán gửi vào ngân hàng A đồng theo thể thức lãi kép, cuối kì sau gửi rút a (A>a) đồng Hỏi rút a để thời gian n kì hết số tiền gốc lãi ? ) Ví dụ: Một người học Đại học gia đình gửi vào ngân hàng 20 triệu đồng theo thể thức lãi kép với lãi suất 0,7%/tháng Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi người đến ngân hàng rút a đồng để chi tiêu Hỏi tháng người rút tiền để sau năm số tiền vừa hết ? Lời giải: Theo ta có: = 20.106.(1 + 0, 7%)60 − a (1 + 0, 7%)60 ⇒ a = 409367,3765 đồng 7% Vậy người tháng rút 409367,3765 đồng Bài tốn (Bài tốn vay trả góp mua hàng trả góp) Ví dụ: Một người vay ngân hàng 300 triệu đồng theo phương thức trả góp để mua nhà Nếu cuối tháng, tháng thứ sau vay người trả 5,5 triệu đồng chịu lãi số tiền chưa trả 0,5% tháng (biết lãi suất khơng thay đổi ) sau người trả hết số tiền ? Lời giải Giả sử người vay A đồng với lãi suất r tháng Mỗi tháng trả a đồng (a