Nguyên hàm và các phương pháp tính nguyên hàm

+ Lưu ý: Bậc của đa thức và bậc của ln tương ứng với số lần lấy nguyên hàm.. + Dạng mũ nhân lượng giác là dạng nguyên hàm từng phần luân hồi..[r]

BÀI 1: NGUYÊN HÀM

DẠNG TOÁN 1: TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG BẢNG NGUYÊN HÀM

 Bài tốn 1.Tìm ngun hàm F x( ) hàm số f x( )(giả sử điều kiện xác định) 

 



 n xn 11

x dx C

n 

Mở rộng





  



( ) ( )

1

n

n ax b

ax b dx C

a n Một số công thức thường sử dụng:

 

kdx kx C



kf x dx( ) k f x dx. ( )

  

 f x( ) g x dx( )  f x dx( ) g x dx( ) a) Tìm họ nguyên hàm f x( ) 4 x3 x

Lời giải

Ta có: F x( )f x x( )d       

2

3

(4 5)

2

x

x x dx x x C

b) Tìm họ nguyên hàm f x( ) 3 x22x

Lời giải

Ta có: F x( )f x x( )d  2  3 2

(3x )x dx x x C

c) Tìm họ nguyên hàm  

5

1 ( )

f x x

x

Lời giải

Ta có: F x( )f x x( )d (x5x2)dx 

   

4

x x

C

d) Tìm họ nguyên hàm f x( ) 13 x21 x

Lời giải

Ta có: F x( )f x x( )d x3x21 d x



   

2

x x

x

e) Tính I(x23 )(x x1)dx

Lời giải

Phân phối được: I(x32x2 3 )dx x    

4

3

2

4

x

x x C

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Lời giải

Phân phối được: I(x3x2 2x2)dx     

4

2

2

x x

x x C

g) Tính I(2x1) d5 x (công thức mở rộng)

Lời giải



(2 1) d5  (2 1)6 

2

x

I x x C

h) Tính I(2x10)2020dx

Lời giải



(2 10)2020d  (2 10)2021

2 2021

x

I x x C

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( ) 4 x34x5 thỏa mãn F(1) 3

A F x( )x42x25x1 B F x( )x4 4x25x1 C F x( )x4 2x25x3 D ( ) 42 25 1

2

F x x x x

Lời giải

Chọn A

Ta có: F x( )f x x( )d (4x34x5)dx  4  

2

x x x C

Theo đề bài, ta có: F(1) 3 142.125.1    C C Do đó:   2 

( )

F x x x x

Lưu ý Nếu đề yêu cầu tìm F a( ) ta cần x a vào F x( ) tìm F a( ) Chẳng hạn, tính F(2), ta x2 vào F x( ), nghĩa   2  

(2) 2.2 5.2 17

F

Câu 2: Tìm nguyên hàm F x  hàm số f x 3x22x5 thỏa mãn F 1 4

A F x x3x2 5x3 B F x x3x25x3 C F x x3x25x3 D F x x3x2 5x3

Lời giải

Chọn B

          

 

d d

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

 1 4

F      7 C C Vậy F x x3x25x3

Câu 3: Hàm số f x  5x44x26 có nguyên hàm F x  thỏa F 3 1 Tính F 3

A F  3 226 B F   3 225 C F  3 451 D F  3 225

Lời giải

Chọn C

      

 

d d

f x x x x x   5 3 

6

x x x C  3 1

F  225   C C 226    5 36 226

F x x x x

Do F  3 451

Câu 4: Hàm số f x x33x2 có nguyên hàm F x  thỏa F 2 14 Tính F 2

A F  2 B F   2 14 C F   2 D F  2 14

Lời giải

Chọn A

      

 

d d

f x x x x x 1 43 22  4x 2x x C  2 14

F 14 C 14 C   1 43 22

4

F x x x x

Do F  2

Câu 5: Hàm số f x   2x13 có nguyên hàm F x  thỏa   

 

1

F Tính    

 

3 P F A P32 B P34 C P18 D P30

Lời giải

Chọn B

            



4

3 2

2 d

2

x x

x x C C

     

1

F     2 C C 2      

4

2

x

F x

Do   

 

3 34

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Câu 6: Hàm số f x   1 2x5 có nguyên hàm F x  thỏa  

 

1 2

F Tính F 1 A F 1  10 B F 1  5 C  1  59

12

F D  1 71 12

F

Lời giải

Chọn D

    5

1

F x x dx 11 2  5 2 

2 x d x

  

  

6

1

2

x

C

Ta có  

 

1 2

F       

6

1

1

2 C  C Do       

6

1

2

x

F x nên  1  1  6 71

2 12

F

Câu 7: Gọi F x  nguyên hàm hàm số f x   2x32 thỏa  0 

3

F Tính giá trị biểu thức Tlog23F 1 2F 2 

A T2 B T4 C T10 D T 4

Lời giải

Chọn A

    2

2

F x x dx 12 3 2 3

2 x d x

  

 

3

2

2

x

C

Ta có  0 1

F      

3

0

1

2 C  

29 C

Do      

3

2

1 29

2

x

F x nên  1 1.1 29 14

2

F ;  2  1 29 5

F

   

 

 T log23F 2F      

 

2

14

log 2.5 log

3

Câu 8: Hàm số f x x33x2 có nguyên hàm F x  Biết đồ thị hàm số yF x  qua điểm

2;10

M Giá trị F 2

A 18 B 6 C 8 D 20

Lời giải

Chọn B

  3  

3

F x x x dx    

4

3

x x

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Hàm số qua M2;10    

4

2 3.2

2.2 10

4 C  C Do     

4 3

2 4

x x

F x x               

4

2

2 2

4

F

 Bài tốn 2.Tìm ngun hàm F x  hàm số f x  (mục đích cho học sinh rèn luyện cơng thức)

Làm quen nhóm cơng thức có mẫu số

 

1dx ln x C

x 

Mở rộng   



 dx 1ln ax b C

ax b a

  



1

dx C

x

x 

Mở rộng

      



1 1

dx C

a ax b ax b

a) Tìm     

 



3 d

I x x

x

Lời giải

Ta có:         

 

 3 2 d ln 2 .

I x x x x x C

x b) Tìm     

 



2

2

3 d

I x x

x x

Lời giải

Ta có:         

 



2

2 1

3 d ln

I x x x x C

x x x

c) Tìm   

2

3 d

x x

I x

x

Lời giải

Ta có:            

 

 

d d ln

x x

I x x x x x x C

x x

d) Tìm   

2

2

d

x x

I x

x

Lời giải

Ta có:            

 

2 

d d 3ln

x x

I x x x x x x C

x x

e) Tìm 



 d

2

I x

x

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Ta có:    



 d 1ln

2

I x x C

x f) Tìm 



 d

3

I x

x

Lời giải

Ta có:        

 

 d ln 1ln

3 4

I x x C x C

x g) Tìm

 







1

I dx

x

Lời giải

 



     

 





1 1

2

2

I dx C C

x x

x

h) Tìm

 

 

 

 



  

 



12

2

I dx

x x

Lời giải

 

  

 

          

  

  

 



12 12 12

ln ln

2 1

1

I dx x C x C

x x x

x

i) Tìm 

 



1

4

I dx

x x

Lời giải

 



      

 

  

 

1 1 1

2

4 2 1

I dx dx C C

x x

x x x

j) Tìm 

 



4

6

I dx

x x

Lời giải

 



      

 

  

 

4 4

1 3

6 3

I dx dx C C

x x

x x x

k) Tìm

 

 





2 1

x

I dx

x

Lời giải

     

 

    

  

 

    

  2

2 2( 1)

1 1

x x

I dx dx

x x x  

 

 

 

2

1dx 1 dx

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold



       

 

3

2 ln ln

1

I x C x C

x x

l) Tìm  

 



2

4

x

I dx

x x

Lời giải

     

 

   

  

 

    

  2

2 2

2 2

x x

I dx dx

x x x

 

 

 

 

1

2 2 1

I dx dx

x x

  

   



1

ln

2 2

I x C

x

 

   



1

ln

2 2

I x C

x

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 9: Cho F x  nguyên hàm hàm số  



1 f x

x F 2 1 Giá trị F 3 A 7

4 B ln 1 C

2 D ln 1

Lời giải

Chọn B

    



 d ln

1

F x x x c

x

 2    1  ln   1  3 ln 1

F c F x x F

Câu 10: Biết F x  nguyên hàm hàm  



1

2

f x

x F  1 Giá trị F 4 A 1ln 5

2 B 2 ln7 5 C ln7 5 D 

1

ln

2

Lời giải

Chọn D

    



 d 1ln

2

F x x x c

x

     1 5   1ln   1   4 1ln 5

2

F c F x x F

Câu 11: Biết F x  guyên hàm hàm số  



3

2

f x

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

A 4ln B 3ln C 3ln

2 D 1

Lời giải

Chọn C

    



 d 3ln

2

F x x x c

x

 1    0   3ln  1  2  3ln

2

F c F x x F

Câu 12: Nguyên hàm F x  hàm số  



1

2

f x

x biết

  

 

 

e

2

F

A F x 2 ln 2x 1 0,5 B F x 2 ln 2x 1 C  1ln  1

2

F x x D F x 0,5ln 2x 1 0,5

Lời giải

Chọn C

    



 d 1ln

2

F x x x c

x

 

  

         

 

 

e 3 1

ln e ln 1

2 2 2

F c c F x x

Câu 13: Tìm nguyên hàm F x  hàm số       

2 , ,

b

f ax b

x x

x a biết F  1 1,  1 4

F f 1 0 A    

2

3

4

x F x

x B    

2

3

4

x F x

x

C    

2

3

2 4

x F x

x D    

2

3

2 2

x F x

x

Lời giải

Chọn A

       

 



2 d 2

b a b

F x ax x x c

x

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Lại có:

     

     

 

    

        

  

   

    

 

 

 

3

2

1

3

1 4

2

1 0 7

4

a

b c a

F

a

F b c b

f a b

c

Nên    

2

3

4

x F x

x

 Bài tốn Tìm ngun hàm F x( ) hàm số f x( ) (giả sử điều kiện được xác định): Làm quen nhóm cơng thức nguyên hàm hàm lượng giác

        

 

sin dx x cosx C sin(ax b x)d cos(ax b) C

a

      

 

cos dx x sinx C cos(ax b x)d sin(ax b) C

a

 Cần nhớ: sin 2x2sin cos ,x x      

cos 2x cos x sin x 2cos x 1 2sin x a) Tìm I(sinxcos )dx x

Lời giải

(sin cos )d  cos sin 

I x x x x x C

b) Tìm I(3cosx2 sin )dx x

Lời giải

(3cos 2 sin )d 3sin 2 cos 

I x x x x x C

c) Tìm I(2 sin 2x3cos )dx x

Lời giải

(2 sin 3cos )d  cos 1sin 

2

I x x x x x C

d) Tìm Isin cos dx x x

Lời giải

sin cos d  1sin d  1cos 

2

I x x x x x x C

e) Tìm    

 

cos d

2 x

I x

Lời giải

 

   

       

   

cos d sin

2 6

x x

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

f) Tìm    

 

sin d

3 x

I x

Lời giải

 

   

       

   

sin d 3cos

3 3

x x

I x C

g) Tìm I(sinxcos ) dx x

Lời giải

        1 

(sin cos ) d (sin sin cos cos )d (1 sin )d cos 2

I x x x x x x x x x x x x C

h) Tìm I(cosxsin ) dx x

Lời giải

     

   2   2    1 

sin cos d sin sin cos cos d sin d cos

2

I x x x x x x x x x x x x C

i) Tìm Icos2xsin2xdx

Lời giải

 

    

cos sin d cos d sin 2

I x x x x x x C

j) Tìm   

cos sin d

I x x x

Lời giải

    

    2 

cos sin d cos sin sin cos d

I x x x x x x x x

 

    

cos sin d cos d sin 2

x x x x x x C

 Nhóm áp dụng cơng thức:

         



  

2

1 d

d (1 cot )d cot cot( )

sin sin ( )

x

x x x x C ax b C

a

x ax b

       



  

2

1 d

d (1 tan )d tan tan( )

cos cos ( )

x

x x x x C ax b C

a

x ax b

k) Tìm    

 

 2

1

d cos sin

I x

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Lời giải

 

      

 

 2

1

d tan cot cos sin

I x x x C

x x

l) Tìm  62 d cos

I x

x

Lời giải

 62 d 6 tan 31  2 tan 

3 cos

I x x C x C

x

m) Tìm Itan2x xd

Lời giải

   

          

 

  

2

1

tan d tan 1 d d tan

cos

I x x x x x x x C

x

n) Tìm I(tanxcot ) dx x

Lời giải

     

           

 

  2 2 

2

1

tan cot d tan cot d d tan cot

cos sin

I x x x x x x x x x C

x x

 Bậc chẵn PP

Hạ bậc lấy công thức nguyên hàm

Công thức hạ bậc: sin2  1 1cos 2

x x cos2  1 1cos 2

x x

(Cần nhớ: Mỗi lần hạ bậc xuất hai số 1;

2 sin trừ, cos cộng, cung góc tăng gấp đơi)

o) Tìm Isin2x xd

Lời giải

Ta có     

    

sin2 d  1cos 2 d 1sin2

2 x 2x x C

I x x x

p) Tìm Icos2x xd

Lời giải

Ta có     

    

cos2 d  1cos 2 d 1sin2

2 x 2x x C

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

q) Tìm I sin d2 x x

Lời giải

Ta có     

    

 

sin d 1cos d 1sin4

2 x 2x x C

I x x x

r) Tìm Icos d2 x x

Lời giải

Ta có     

    

 

cos d 1cos d 1sin4

2 x 2x x C

I x x x

s) Tìm I(2 sin ) d x x

Lời giải

Ta có              

  

  2 

2 sin d 4 sin sin d 4

2 sin 1cos

2 d

I x x x x x x x x

 9 4cos 

2x x 12sin 6x C t) Tìm I(2 cos ) d x x

Lời giải

Ta có            

  

  

(2 cos ) d 4 cos cos d 4 c s 1c s 4o

o

2 d

I x x x x x x x x

 9 2 1

2x sin x 8sin 4x C

 Tích bậc sin cos PP

Áp dụng cơng thức tích thành tổng

 1    

sin cos sin( ) sin( )

a b a b a b

  1    

sin sin cos( ) cos( )

a b a b a b

 1    

cos cos cos( ) cos( )

a b a b a b

u) Tìm I sin cos dx x x

Lời giải

Ta có sin cos d 1sin sin2 d  1cos 1co 2s 

2 x C

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

v) Tìm Isin cos dx x x

Lời giải

Ta có sin cos d 1sin sin    1 s3 

2 d 10cos 6co x C

I x x x x x x x

w) Tìm Isin sin dx x x

Lời giải

Ta có sin sin d   1cos  o  1 1 n2 

2 c s d 8sin 4si x C

I x x x x x x x

x) Tìm Isin sin dx x x

Lời giải

Ta có sin sin d   1cos  o   1 n2  c s d 12sin 4si x C

I x x x x x x x

y) Tìm Icos7 cos dx x x

Lời giải

Ta có cos7 cos d  cos cos    

1 n

1 1

2 d 16sin 2si 6x C

I x x x x x x x

z) Tìm Icos cos dx x x

Lời giải

Ta có cos cos d  cos10 cos    

1 n

1 1

2 d 20sin10 6si 8x C

I x x x x x x x

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 14: Biết F x  nguyên hàm hàm số f x sin 2x    

 4

F Tính    

 6 P F A 

4

P B P0 C 1

2

P D 

4 P

Lời giải

Chọn D

Ta có:  sin d  1cos 

F x x x x C

 

   

      

   

   

1

1 cos 1

4

F C C

Suy              

   

1

cos cos

2 6

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Câu 15: Tìm nguyên hàm F x của hàm số f x 2xsinx2 cosxthỏa mãn F 0 1

A F x x2cosx2 sinx2 B F x x2 cosx2 sinx C F x  2 cosx2 sinx D F x x2cosx2 sinx2

Lời giải

Chọn D

Ta có: F x   2xsinx2 cosxdxx2cosx2 sinx C

        

0 cos sin

F C C

Suy F x x2cosx2 sinx2

Câu 16: Tìm nguyên hàm F x của hàm số  sin  12

cos

f x x

xthỏa mãn 

      

2

4

F

A F x  cosxtanx C B F x  cosxtanx 1 C F x cosxtanx 1 D F x  cosxtanx 1

Lời giải

Chọn D

Ta có:         

 



1

sin d cos tan

cos

F x x x x x C

x

  

         

   

2

cos tan

4 4

F C C

Suy F x  cosxtanx 1

Câu 17: Cho F x là nguyên hàm f x 4 cos2x5 thỏa mãn F  0 Tìm F x 

A F x   3x sin 2x3 B  4sin3 5 5

F x x x

C   4cos3 5  4 5

3

F x x x D F x   3x sin 2x3

Lời giải

Chọn A

Ta có: F x 4 cos2x5 d x2 cos 2x3 d xsin 2x3x C    0 sin 23    0 3

F C C

Suy F x   3x sin 2x3

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

A 1

2 B

5

16 C 2 D

5

Lời giải

Chọn B

Ta có:  cos2 d  11 cos 2 d  1sin 

2

F x x x x x x x C

Suy 1;  1 2 

2 16

a b a b

Câu 19: Biết sin 2xcos 2x2dx x acos 4x C

b , với a b, số nguyên dương, a b phân số tối giản C Giá trị a b

A 2 B 3 C 4 D 5

Lời giải

Chọn D

Ta có: sin 2xcos 2x2dx 1 sin 4 d  1cos 

x x x x C

Suy a1;b   4 a b

 Bài tốn Tìm ngun hàm F x( ) hàm số f x( ) (giả sử điều kiện xác định): Làm quen nhóm cơng thức mũ

 

    

 

e dx x ex C eax bdx eax b C

a

   



 

    

 d  d

ln ln

x x

x a x a

a x C a x C

a a

aa) Tìm e d 2x

I x

Lời giải

  

e d

x x

I x e C

bb) Tìm Ie1 2 xd x

Lời giải

 

  1 

e d e

2

x x

I x C

cc) Tìm (2 e )d x

I x x

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

 

   2 

(2 e )dx x

I x x x e C

dd) e (1 3ex  2x)d

I x

Lời giải

     

   

e 3ex x d x x d

I x e e xex3ex C ee) Tìm (3 e ) d  x

I x

Lời giải

   

 3 e x 2d  9 6 x  2x d

I x e e x

  1 

9

2

x x

x e e C

ff) Tìm I2 e 3x2dx

Lời giải

   

 2 e 3x 2d  4 4 3x 6x d

I x e e x  4 1 

4

3

x x

x e e C

gg) Tìm 22x1d

I x

Lời giải 



22 1d 1 2. 

2 ln

x x

I x C

hh) Tìm 41 2 xd

I x

Lời giải 



41 d  1 4. 

2 ln

x x

I x C

ii) Tìm 3 dx x

I x

Lời giải

3 d 15 d  15

ln

x

x x x

I x x

jj) Tìm I4 3x x1d x

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold



4 d1 12 d  12. 

3 ln12

x x

x x

I x x C

kk) Tìm  

2

d e x

x

I

Lời giải

 



   2

2

d

e d

5 e

x x

x

x

I x e C

ll) Tìm  

3

d x

x

I

Lời giải

 



   3

3

d

2 d

2

x x

x

x

I x C

mm) Tìm

 

4 31 1d

2

x x

x

I x

Lời giải  

4 31 1d  12 d  46 d 4 

3 3 ln

2

x x x x

x

x x

I x x x C

nn) Tìm

 

42 1.6 1d

3

x x

x

I x

Lời giải  

42 1.6 1d  96 d  32 

24 24 ln 32

3

x x x x

x x

I x x C

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 20: Biết F x( ) nguyên hàm hàm số f x( ) e 2x thỏa (0) 3

2

F Giá trị   

 

1

F A 1 2

2e B 

1

2e C 2e1 D 

1

2e

Lời giải

Chọn B

Ta có:     1 

x x

f x dx e dx e C

*  0  3 2.0   3

2 2

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Vậy        

 

2

1 1

1

2 2

x

F x e F e

Câu 21: Một nguyên hàm F x( ) hàm số f x( ) 2e x3x2 thỏa 

(0) F A 2e  3 3

2

x

x B 2e  3 5

x

x C e  3 7

x

x D 2e  3 9

x

x

Lời giải

Chọn B

Ta có:      2   3

2 x x

f x dx e x dx e x C

*   9 0 3   9

0

2 2

F e C C

Vậy  2  3 5

x

F x e x

Câu 22: Biết F x( ) nguyên hàm hàm số f x( ) 4 x thỏa (1) 

ln

F Giá trị F(2) A (2)

ln

F B (2)

ln

F C (2)

ln

F D (2)

ln

F

Lời giải

Chọn A

Ta có:    4     ln ln

x x

x

f x dx dx C C

*  1       ln 2 ln ln ln

F C C

     

  2 42 

2 ln 2 ln ln

x

F x F

Câu 23: Họ nguyên hàm hàm số f x( ) 7 2x x x

A 84  ln 84

x

C B 

2

2 ln 4.ln 3.ln

x x x

C C 84x 

C D 84 ln 84x 

C

Lời giải

Chọn A

Ta có:    2 72  4.3.72 84  84  ln 84

x

x x x x

f x dx dx dx dx C

Câu 24: BiếtF x( ) nguyên hàm hàm số f x( ) e 3x1 thỏa mãn (0) e

3

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Lời giải

Chọn A

Ta có:  

 

  

  3

3

x

x e

f x dx e dx C

*  



  3.0 1   

0

3 3

e e e

F C C

    

   

3

x

e e

F x F  3   3   4   

ln 3F ln e lne 64

Câu 25: Biết nguyên hàm F x( ) hàm số f x( ) 2 x 2x3 thỏa mãn (0) 

ln

F Tính giá trị

biểu thức    

3

10

ln (1)

F A

A A1 B A8 C A16 D A32

Lời giải

Chọn B

Ta có:  



 

   

 4 22 24 24

4 ln

x

x x x

f x dx dx dx C

*  



  24.0    

0

ln ln ln

F C C

    

  24   25

4 ln ln

x

F x F  

 

 

 

   

     

3

15

10 10 10

2 ln

ln 2.F ln 2 2

2 32

2 2

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

DẠNG TOÁN 2: NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ HỮU TỶ (PHÂN SỐ KHƠNG CĂN)  Bài tốn Tìm ngun hàm F x( ) hàm số f x( ) (giả sử điều kiện xác định): a) Tìm  



3 1d x

I x

x

Lời giải

Ta có       

   

3( 1) 4d  d

1

x

I x x

x x 3x4 ln x 1 C b) Tìm  



2 1d x

I x

x

Lời giải

Ta có        

   

2 3d  d

1

x

I x x

x x 2x4 ln x 1 C

c) Tìm  



3 1d x

I x

x

Lời giải

Ta có        

   

3 7d  d

2

x

I x x

x x 3x7 lnx 2 C

d) Tìm  



4 3d

2

x

I x

x

Lời giải

Ta có        

   

2 5d  d

2

x

I x x

x x    

5

2 ln

2

x x C

e) Tìm 



 d

1

x

I x

x

Lời giải

Ta có:   



( ) 12 d

x

I x

x

    

     

   

( 1)( 1) 1d  1 d

1

x x

x x x

x x

  ln  1

2

x

x x C

f) Tìm 



 d

1

x

I x

x

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Ta có:   



( ) 12 d

x

I x

x

    

     

   

( 1)( 1) 1d  1 d

1

x x

x x x

x x

  ln  1

2

x

x x C

g) Tìm 



 d

1

x

I x

x

Lời giải

Ta có:              

    

( ) 13 ( 1)( 1) 

d d d

1 1

x x x x

I x x x x x

x x x

   ln  1

3

x x

x x C

h) Tìm 



 d

2

x

I x

x

Lời giải

Ta có:

       

       

    

( ) 83 ( 2)( 2 4) 

d d d

2 2

x x x x

I x x x x x

x x x

  24 8 ln  2 .

3

x

x x x C

i) Tìm   



 1d

2

x x

I x

x

Lời giải

Ta có:          



 

 d 3ln

2

x

I x x x x C

x

j) Tìm   



2 3d

1

x x

I x

x

Lời giải

Ta có:          



 



2 d ln

1

I x x x x x C

x

k) Tìm   



4 1d

2

x x

I x

x

http s://www .fa ceboo k.com /viet gold h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn

Ta có:          



 



2 d ln

2

I x x x x x C

x

l) Tìm   



3 2 1d

1

x x

I x

x

Lời giải

Ta có:          



 



3 d ln

1

I x x x x x C

x

 Nhớ udxlnudxlnu C

u m) Tìm  

   d x I x

x x

Lời giải

Ta có:  

   d x I x x x       

2 d x x x x       

 22

2 d x x x x x  

 2   2  

2 lnx x dx 2lnx x C

n) Tìm  

   d x I x

x x

Lời giải

Ta có:  

   d x I x x x       

 22

3

d

3

x x

x

x x  

  2 

ln 3x x dx 2  

ln 3x x C

o) Tìm  

   d x I x

x x

Lời giải

Áp dụng f x ax2bx c a x x    1x x 2 với x1, x2 hai nghiệm f x 0 ta được:

   x

x x  

          2 x

x x   

 

 

5 2

x

x x  2 2 3

a b

x x với

h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn ht tps://www .fa ceboo k.com /viet gold

Khi đó, ta có Lời giải sau:  

   d x I x x x          

 d

2 x

x x

2 ln  2 1ln  3

x x C

p) Tìm

  



 

 d

1

I x

x x

Lời giải Ta có:         1 3 a b x x

x x với

                1 1 x x a x b x Khi đó:      

 d

1

I x

x x  

 

        

 

 

1 1 ln ln

4 x x dx x x C

    1 ln x C x q) Tìm      

 d

2

I x

x x

Lời giải

Ta có:

       

1

2

2

a b

x x

x x với

                1 1

2 14

x x a x b x Khi đó:      

 d

2

I x

x x  

 

        

 

 

 1 1 ln ln

14 x x dx 14 x x C

    ln 14 x C x

r) Tìm 

  d I x

x x

Lời giải Ta có: 

x x    

4

x x   4

a b

x x với

http s://www .fa ceboo k.com /viet gold h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn

Khi đó:    d I x

x x  

 

       



 

1 1 ln ln

4 x x dx x x C



1ln 

4

x

C

x

s) Tìm  

   d x I x

x x

Lời giải

Ta có: 

 

2

4

2 x

x x   

    x

x x  1 2

a b

x x với

                 5 1 x x x a x x b x

Khi đó:      d x I x x x          

 d

1 x

x x 3lnx 1 lnx 2 C

t) Tìm  

   11 d x I x

x x

Lời giải

Ta có: 

 

2

4 11

5

x

x x   

    11 x

x x  2 3

a b

x x với

                 11 3 11 x x x a x x b x u) Tìm      d I x

x x

Lời giải

Ta có:     



 

 1 d

a b c

I x

x x x

với



 

    



  0

d

1

d

x

a

x x ; 

 

   



  0

1

1

x

b

x ;   

1 1 x c x

Nên     



 



1 1 d

I x

x x x     

1 ln x ln x C

x



ln x 1 1 C

x x

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Ta có:

   



 



2

d

2

I x

x x    

 

 

 

   

 



1

2 d

2 x

x x  

 

   

    

 

2 2 1 d

2

a b c

x

x x x

với



 

    



  2

d 1

d

x

a

x x ; 

 

   



  2

1

1

x

b

x ;  



 

 

 

  

  1

1

9

x

c x

Khi đó:

   



 



2

d

2

I x

x x      

 

 

  

    

 



1 1

2 d

9 x x 3 x 2 x

 

     



2

ln ln

9 x x x C  



  

 

1

2

ln

9

x

C

x x

DẠNG TOÁN 3: NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN

 Định lý: Nếu hai hàm số u u x   v v x   có đạo hàm liên tục K            

 d   d

I u x v x x u x v x v x u x x hay I u v uvd  v ud  Vận dụng giải tốn:

Nhận dạng: Tích hai hàm nhân khác nhau, ví dụ:  xsin d , ln d , e x x x x x + Đặt    

 

 

d d d d

u u x

v x v Suy Iu v uvd  v ud

+ Thứ tự ưu tiên chọn u: log – đa – lượng – mũ dv phần lại

+ Lưu ý: Bậc đa thức bậc ln tương ứng với số lần lấy nguyên hàm + Dạng mũ nhân lượng giác dạng nguyên hàm phần luân hồi

Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( ) (giả sử điều kiện xác định):

 Bài tốn Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( ) (giả sử điều kiện xác định): a) Tìm Ix1 sin d x x

Lời giải

Chọn     

   



/

/

1

sin cos

v p n h

u x du dx

dv xdx v x

Suy I  x cos xcos dx x   x cos xsinx C b) Tìm Ixln dx x

Lời giải

Chọn



  

 

   



/

/

1 ln

1

v p

n h

u x du dx

x

dv xdx v x

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Suy  1

ln d

2

I x x x x  1 2

ln

2x x 4x C c) Tìm Ixe xxd

Lời giải

Chọn    

  



/

/

d d

v p n h

x x

u x du dx

v e x v e

Suy Ixexe xxd xex ex Ce xx  1 C d) Tìm Ixexdx

Lời giải

Chọn      

   



/

/

d d

v p

x n h x

u x du dx

v e x v e

Suy I xexexdx  xex exC exx 1 C e) Tìm  2 d

sin x

I x

x

Lời giải

Chọn

   

 

   



/

/

1

d d cot

sin

v p n h

u x du dx

v x v x

x

Suy I xcotxcot dx x   cot  d sin  sin

x x x

x  xcotxln sinx C f) Tìm  2 d

cos x

I x

x

Lời giải

Chọn

   

 

  



/

/

1

d d tan

cos

v p n h

u x du dx

v x v x

x

Suy Ixtanxtan dx x  tan  d cos  cos

x x x

x xtanxln cosx C  Cần nhớ: 1) tan dx x ln cosx C 2) cot dx xln sinx C

g) Tìm I lnxdx

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Đặt



         

  

   

1

ln

ln ln

u x du dx

I x x x dx x x x C x

dv dx x

v x h) Tìm I 2x1 ln xdx

Lời giải

Đặt

 



  

 

   

 

   2

1 ln

2

u x du dx

x

dv x dx

v x x

     

  2  2  2   

ln ln

2

x

I x x x x x dx x x x x C

x

i) Tìm Ixsin cosx xdx

Lời giải

Ta có  1 sin 2

I x xdx Khi đó, đặt

 

  



  

 

 sin  1cos

2 du dx u x

dv xdx v x

Suy       

  

1 1 1

cos cos cos sin

2 2

I x x xdx x x x C

j) Tìm Ix2 cos2x1dx

Lời giải

Ta có:       2  

1 cos cos

I x x x dx x x dx x xdx

Đặt

 

       

  



  

3 1

sin sin

cos sin 2

2 du dx

u x x x x

I x xdx

dv xdx v x

    sin 1cos 

3 2

x x x

I x x C

k) Tìm  xsin

I e xdx

Lời giải

Đặt           

  

 

 sin  cos cos  cos cos

x x

x x x

u e du e dx

I e x e xdx e x I

dv xdx v x

Đặt         

 

 

 cos  sin sin  sin sin

x x

x x x

u e du e dx

I e x e xdx e x I

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Suy ra:   cos  sin    sin cos 

x

x x e

I e x e x I I x x C

l) Tìm  xcos

I e xdx

Lời giải

Đặt         

 

 

 cos  sin sin  sin sin

x x

x x x

u e du e dx

I e x e xdx e x I

dv xdx v x

Đặt           

  

 

 sin  cos cos  cos cos

x x

x x x

u e du e dx

I e x e xdx e x I

dv xdx v x

Suy ra:  cos  sin    sin cos 

x

x x e

I e x e x I I x x C

m) Tìm        

 

 1 ln

2

I x x dx

x

Lời giải

Đặt          

  

1

1 ln

2

t x x dt dx I t dt

x

Đặt        



   

           



  



 

   

1 ln

ln ln ln

1

1

u t du dt t

I t t dt t t t t C

t

t

dv dt v t

       

 I x x ln x x  1 x x ln x x 1 C

n) Tìm  

 

 







ln

x x

I dx

x

Lời giải

Đặt

         

   

  

         

   

2

3

ln 1 ln 4 1

1

2 1

x t

dt

t x dt x dx dx I dx dt

x x t

Đặt    

 



     

      

  



   

 



2

4 ln

ln 2

4

1 1 2 4 1

2 2

u t du dt t

t I dt

t t t

dv dt v

t t

        

          



 



ln 1 1 ln 4 1

8 ln

2 4

t t t

I dt C

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

 

   

   

    

 

2 2

2

ln 4 8 3

8 ln

2

x x x x

I C

x x

o) Cho F x lnx nguyên hàm f x 3

x Tìm nguyên hàm f x lnx Lời giải

Áp dụng định nghĩa F x'( ) f x( ), Ta có:  lnx   f x 3 x

 

 1 f x3

x x   

2

f x x Ta tìm If x ln dx x

Chọn

   

   

 

     



1

ln d d

d d

u x u x

x

v f x x v f x x

       

.ln d ln d ln

2

x

I x x x x x x x x x x C

x

Vậy      

2

ln d ln

x

f x x x x x C

p) Cho F x lnx nguyên hàm f x 2

x Tìm nguyên hàm f x lnx Lời giải

Áp dụng định nghĩa F x'( ) f x( ), Ta có:  lnx   f x 2 x

 

 1 f x2

x x  f x x

Ta tìm If x ln dx x

Chọn

   



  

 

   

 

   

1

ln d d

d d

u x u x

x v f x x

v f x x

 I xlnxx d1 xxlnxdxxlnx x C 

x

Vậy f x ln dx xxlnx x C  q) Cho  

3

1 F x

x nguyên hàm  

2

f x

x Tìm nguyên hàm f x lnx Lời giải

Áp dụng định nghĩa F x'( ) f x( ), Ta có:  



 



 

 

1 f x

x x

 

  34  f x2

x x    

3 f x

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Ta tìm If x ln dx x

Chọn

   

 

  

 

    

 

  



1

d d

ln

d d

u x

u x x

v f x x

v f x x

 32 ln  12 d   32 ln 3 13d   32 ln  32 

2

I x x x x x C

x

x x x x x x

Vậy   ln d   32 ln  32 

f x x x x C

x x

r) Cho  

2

1 F x

x nguyên hàm  

f x

x Tìm nguyên hàm   

4

'( ) x x f x

Lời giải

Áp dụng định nghĩa F x'( ) f x( ), Ta có:  



  

 

 

1 f x

x x

 

  23  f x

x

x    

2 f x

x Ta tìm  4 3  

d I x x f x x

Chọn

 

 

 

  

  

 

   

  

 





3

4

2

d d

2

d d

u x x x

u x x

v f x x v f x

x

     

           

        

 

4 3 2

2

2 2

2

d 2 d

2

I x x x x x x x x x

x x

x x x x C x x C

Vậy x4x3f x dx2x2 4x C

s) Cho F x x2 nguyên hàm f x e( ) 2x Tìm nguyên hàm e2x '( )f x

Lời giải

Áp dụng định nghĩa F x'( ) f x( ), Ta có:  2   ( ) 2x

x f x e 2x f x e( ) 2x    2

2 x

f x x e Ta tìm  2x  d

I e f x x

Đặt

    



  

 

   

 

 

 

2

2

d d

d d

x x

x

u e x

u e

v f x x v f x xe

          

 

2 2 2

2 x x x xd d 2

I xe e x e e x x x x x x C

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

t) Cho    x

F x x e nguyên hàm f x e( ) 2x Tìm nguyên hàm e f x2x '( )

Lời giải

Áp dụng định nghĩa F x'( ) f x( ), Ta có: x e x f x e( ) 2x   (x 1)ex  f x e( ) 2x



 f x( )  (x 1).e x

Ta tìm  2x '( ) I e f x dx

Chọn     

    

 

 

2

2 2

'( ) ( ) ( 1)

x x

x

du e dx

u e

dv f x dx v f x x e

Suy   ( 1) x2 ( 1) x   ( 1) x2 1

I x e x e dx x e I

Tìm 1 ( 1) x

I x e dx

Chọn     

 

 

 

1

1

1

x x

u x du dx

dv e dx v e

              

  

1

( 1) x ( 1) x ( 1) x x ( 1) x

I x e I x e x e e dx x e C

Vậy  2x '( ) ( 1) x

e f x dx x e C

DẠNG TOÁN 4: NGUYÊN HÀM ĐỔI BIẾN SỐ

 Định lí: Cho  f u( )du F u ( )C u u x ( ) hàm số có đạo hàm liên tục



     

   

 f u x u x( ) ( )dx F u x( ) C Có sẵn Tách từ hàm Nhân thêm

Một số dạng đổi biến thường gặp

 



       



  

         



  

       



  

1

2

( ) d d d

d d ( 1) d ,

1

( ) d d d

PP n

m n

PP n n

n

PP n

I f ax b x x t ax b t a x

x

I x t x t n x x

ax

I f ax b x x t ax b t ax x

với m n, 

I n f x f x( ) ( )d x PP

Đặt n ( ) n ( ) n1d  ( )d

t f x t f x nt t f x x



   

  



 

1 (ln ) d

1 ( ln ) d

I f x x

x

I f a b x x

x

PP

Đặt

   



 

    



1

ln d d

ln d d

t x t x

x b

t a b x t x

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

  (e ).e dx x

I f x PP

Đặt     

   



e d e d e d e d

x x

x x

t t x

t a b t b x

I f(cos ).sin dx x x PP Đặt        

  



cos d sin d cos d sin d

t x t x x

t a b x t b x x

I f(sin ).cos dx x x PP Đặt     

    



sin d cos d sin d cos d

t x t x x

t a b x t b x x

  (tan ) d2 cos

x

I f x

x 

PP

Đặt tan d  12 d  (1 tan2 )d cos

t x t x x x

x   (cot ) d2

sin x

I f x

x 

PP

Đặt       

2

d

cot d (1 cot )d

sin x

t x t x x

x

  2

(sin ; cos ).sin d

I f x x x x PP Đặt     

   



2

2

sin d sin d cos d sin d

t x t x x

t x t x x

I f(sinxcos ).(sinx x cos )dx x PP

Đặt tsinxcos x

 Lưu ý: Sau đổi biến tính nguyên hàm xong, ta cần trả lại biến cũ ban đầu x

 Nhóm

 

 

 

 

       



  

          

   



       



  

1

2

1 , m, n

1

n PP

m n

PP n n

n

n PP

I f ax b xdx t ax b dt adx x

I dx t ax dt a n x dx Z

ax

I f ax b xdx t ax b dt axdx

 Bài toán Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( ) (giả sử điều kiện xác định): a) Tìm Ix1x2018dx

Lời giải

Đặt      /  

1 v p

t x x t dx dt

Khi đó:    2018   2018

1

I t t dt t t dt

 

 2019 2018  2020  2019 

2020 2019

t t

t t dt C

Suy       

2020 2019

1

2020 2019

x x

I C

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Lời giải

Đặt      / 

1 v p

t x x t dx dt

Khi đó:   2019

1

I t t dt

 

 2020 2019  2021  2020 

2021 2020

t t

t t dt C

Suy       

2021 2020

1

2021 2020

x x

I C

c) Tìm Ix x 215dx

Lời giải

Đặt    /  

1

2

v p dt

t x dt xdx xdx

Khi đó:  1

2

I t dt  

6

12

t C

Suy    

6

1 12

x

I C

d) Tìm  2  9

1

I x x dx

Lời giải

Đặt      / 

1 v p

t x x t dx dt

Khi đó:   9  11 10 9

1

I t t dt t t t dt

 12 2 11  10 

12 11 10

t t t

C

Suy           

12 11 10

1 1

12 11 10

x x x

I C

e) Tìm 





2 xdx I

x

Lời giải

 

 



 

 

  

  2

2

2

2

2

1

ln 2

d x

x x

I dx

x

x x

x C

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

f) Tìm

 

 



1

xdx I

x

Lời giải

Đặt      / 

1 v p

t x x t dx dt

Khi đó: It51dt t

  13  14 

3t 4t C Suy

   

   

 

1

3

I C

x x

g) Tìm 



 25

1

x dx I

x

Lời giải

Ta có  

 

 25  42

1

x dx x xdx

I

x x

Đặt  2    / 

1

2

v p

t x x t xdx dt

Khi đó:       

 

 

1 ( 1) 1

2

2

t

I dt t dt

t t

  ln 

4

t t

t C

Suy      

 

    

2

2

2

1 ln

1

4

x x

I x C

h) Tìm 



 104

4

x dx I

x

Lời giải

Đặt  / 

5

v p

t x x dx dt

Khi đó:

    

    

 

   

 

1 1 1

5 2 20 2

I dt dt

t t

t t



 



1

ln

20

t

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Suy   



5

1

ln

20

x

I C

x

i) Tìm  



 25

d

x x I

x

Lời giải

Đặt  2 1   1 vp 2 d d

t x x t x x t

 d 1d

x x t Khi đó:  

   

 

       

 

   



     

 

2

2

2

1 1

1 d d

2

1 ln

4

1 1

1 ln

4

I t t t t

t t

t

t t C

x

x x C

j) Tìm  



 104

d

x x I

x

Lời giải

Đặt     

5 d d d

5 dt

t x x x t x x

Khi đó:

 

    

 

  



 

 

 



 

5

1 d 1

d

5 20 2

1

ln

20

1

ln

20

t

I t

t t

t t

C t

x

C x

k) Tìm  



 20172019

( 1)

d (2 3)

x

I x

x

Lời giải

Ta có:     

 

 

 2017

1

d

2 (2 3)

x

I x

x x

Đặt    

 

1

d d

2 (2 3)

x

t t x

x x

Khi đó:   

2018 2017d

2018

t

I t t C

  

   



 

2018

1

2018

x

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

l) Tìm  





d ( 1)

x x I

x

Lời giải

Ta có:    

 

 



1 d ( 1) x

I x

x x

Đặt   

 

1

d d

1 ( 1)

x

t t x

x x

Khi đó:   

6 5d

6

t

I t t C

 

    

 

6

1

6

x

C x

m) Tìm   



 99101

(7 1) d (2 1)

x x

I

x

Lời giải

Ta có:     

 

 

 99

7 1

d

2 (2 1)

x

I x

x x

Đặt    

 

7

d d

2 (2 1)

x

t t x

x x

Khi đó:   

100 99 d

9 900

t t

I t C

  

   



 

100

1

900

x

C x

n) Tìm  



 20012 1002

d (1 )

x x

I

x

Lời giải

Ta có:    

 

 



1000

2 1 ( 1)2 d

x x

I x

x x

Đặt     

d d d

2 dt

t x t x x x x

Khi đó:

 

 

   

  



1000

2

1 d

1 1

t t

I

t t

Đặt   

 

1

du d

1 (t 1)

t

u t

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

   

 

  

 

 

 1000 1001 1001

2

du

2 2002

2001

u

I u C

x x

C  Nhóm

Hai cơng thức thường sử dụng là:

  



 dx ax b C

a

ax b       

3

2

ax bdx ax b C

a

 Bài tốn Tìm ngun hàm F x( ) hàm số f x( ) (giả sử điều kiện xác định): a) Tìm  

4 d

I x x x

Lời giải

Đặt t x2   3 t2 x23

2tdt2xdx

Lúc đó:   3

4

3

I t dt t c

Vậy          

3

2 2

4

3 3

3

I x x x c

b) Tìm I x 2020x xd

Lời giải

Đặt    2 

2020 2020

t x t x

2 dt t dx

Lúc đó:          

5

2 2 4040

2020 d 4040 d

5

t t

I t t t t t t t c

Vậy    

 

  

5

2 2020 4040 2020

5

x x

I c

c) Tìm 





d x I

x x

Lời giải

Đặt    2 2

4

t x t x

2 dt t2 dx x

    

      

 

  



 2 2  

1 8

d dt dt

2

4

x

I x

t t t

t t

x x

 1ln 1ln  2 1ln  2

4 t t t c

Vậy  1ln 2 4 1ln   4 1ln 2  4

4 8

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

d) Tìm 





d x I

x x

Lời giải

Đặt t x2   9 t2 x29

2 dt t2 dx x

    

      

 

  



 2 2  

1 18 18

d dt dt

3

9

x

I x

t t t

t t

x x

 1ln  ln  2 ln  2

9 t 18 t 18 t c

Vậy  1ln 2 9 ln 2  9 ln 2  9

9 18 18

I x x x c

e) Tìm  x 5 xd I e e x

Lời giải

Đặt     2

5 x x

t e t e

2 dt t e xxd

 

       2 3

5 d d d

3

x x

I e e x t t x t t t c

Vậy      

3

2

x

I e c

f) Tìm Isinx 2018 cos d x x

Đặt    2 

2018 cos 2018 cos

t x t x

2 dt t sin dx x  

     2 3

d d

3

I t t x t t t c

Vậy     

3

2018 cos

I x c

g) Tìm 

 

 1

xdx I

x x

Lời giải

Ta có:   

   

 2

( 1)

( 1)( 1)

x x x dx

I

x x x x

 



 

 22 22

1 ( 1) x x x

dx

x x

 



 

 22 22

1 ( 1) x x x

dx

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

 2 2

(x x x 1)dx

  2

1 x dx x x dx

 

3

x A

Tính A?

 2 1 

t x tdt xdx

Ta có 21   3   213 

3

x x dx t dt t C x C

Vậy      

3 3

2

1

1

3

x

I x C

h) Tìm 

 



1 x dx I

x x

Lời giải

Đặt 

 



1 x dx I

x x

  

   

 42 42

( )

( )( )

x x x dx

x x x x

  

 

 4 45

1 ( 1)

x x x

dx

x x

 4 

(x x x dx)

  

1 x dx x x dx

 

6

x B

Tính B?

Đặt t x4 1 tdt2x dx3

Ta có 1  1 1 3 1  413 

2 6

x x dx t dt t C x C

Vậy      

6 3

4

1

1 6

x

I x C

i) Tìm 

  

( 1) dx 1

I

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Lời giải



  

( 1) dx 1

I

x x x x

 



  



1

dx

x x x x

 

  

  

    



1 1

x x dx

x x x x x x

   







1

x x dx

x x

 



 

1

dx dx

x x

2 x2 x 1 C j) Tìm 

  



3 ( 3) dx I

x x x x

Lời giải



  

 3 (dx 3) I

x x x x

 



  



3

dx

x x x x

 

  

 



    



3 3

x x dx

x x x x x x

   

 





1

3 3

x x dx

x x

 



   



  

1

3 3

dx dx

x x

 



   



  

1

3

dx dx

x x

  

 12 2 3

3 x x C

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

+Nếu: I f lnx 1dx

x Đặt:    ln

t x dt dx

x + Nếu: If a b  lnx.1dx

x Đặt:   ln   b t a b x dt dx

x

 Bài toán Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( ) (giả sử điều kiện xác định): a) Tìm I2 ln xdx

x

Lời giải

Đặt: t 2 lnxdt1dx x

Khi đó:    1  2

2 ln

2

t

I tdt C x C

b) Tìm 

2

ln x

I dx

x

Lời giải

Đặt tlnxdt 1dx x

Suy ra:     

3

2 ln

3

t x

I t dt C C

c) Tìm I1 ln xdx

x

Lời giải

Đặt: tlnxdt 1dx x

Suy        

2

ln

1 ln

2

t x

I t dt t C x C

d) Tìm  

4

1 ln d

x

I x

x

Lời giải

Đặt: tlnxdt 1dx x

Khi đó:         

5

4 ln

1 ln

5

t x

I t dt t C x C

x

e) Tìm 3ln 1d ln

x

I x

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Lời giải

Ta có:             

 

 3  3 ln  ln 3ln ln ln

ln ln ln

d x

dx dx

I dx d x x x C

x x x x x x x

f) Tìm

 







ln

d ln

x

I x

x x

Lời giải

Đặt t 2 lnxdt1dx

x , ta có:lnx t 2

Khi đó:              

 

 

2 2

ln ln ln

2 ln t

I dt dt t C x C

t t x

t t

 Nhóm

Tìm If(e ).e dx x x PP Đặt     

   



e d e d e d e d

x x

x x

t t x

t a b t b x

 Bài tốn 10 Tìm ngun hàm F x( ) hàm số f x( ) (giả sử điều kiện xác định): a) Tìm 



exd 3

x

I

Lời giải

Đặt      / 

ex ex v p d e dx

t t t x

Khi đó:  

 

exd 3 e (exe dxx 3)

x x

I



    

 

 d 1ln 1ln

( 3) 3

x x

t t e

C C

t t t e

b) Tìm 



exd 4

x

I

Lời giải

Đặt      / 

ex ex v p d e dx

t t t x

Khi đó:  

 

exd 4 e (exe dxx 4)

x x

I



    

 

 d 1ln 1ln

( 4) 4

x x

t t e

C C

t t t e

c) Tìm 



ee dxx 1

x

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Lời giải

Đặt   / 

ex v p d e dx

t t x

Khi đó: 



ee dxx 1

x

I

dt lnt  C lnex  1 C

t

d) Tìm 



ee dxx 8

x

I

Lời giải

Đặt   / 

ex v p d e dx

t t x

Khi đó:  

ee dxx 8

x

I

dt ln  ln x 8

t C e C

t

e) Tìm  

 

ex 2ed x 3

x

I

Lời giải

Ta có

  



  

     

  

e d e d

d

e 2e e 3e e e

x x

x x x x x x

x x

x

I

Đặt  / 

ex v p d e dx

t t x

Khi đó:

   

    



  

 d ln ln

1

1 ( 2)

x x

t t e

I C C

t

t t e

f) Tìm  



exe dx e x

x

I

Lời giải

Ta có   

 

  22

e d e d

e e e

x x

x x x

x x

I

Đặt   / d 

e e d

2

v p

x t x

t x

Khi đó:  d 1    

ln ln

2 2

x

t

I t C e C

t

g) Tìm 



 e d2 e

x x

x

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Lời giải

Đặt t ex1

  / 

2

ex v p 2td e dx

t t x

Khi đó: 



e e d

e

x x

x

x

I

           

 

          

 

   

 2td  e e

2 d 2 e

3

x x

x

t t t

t t t C C

t

h) Tìm 



 e d2 e

x x

x

I

Lời giải

Đặt t 3+ex

  / 

2

3 ex v p 2td e dx

t t x

Khi đó: e e d

3+e

x x

x

x

I

         

 

         

 

   

 2td 2 3 d 2 3 2 3+e 3+e 3 3+e

3

x x

x

t t t

t t t C C

t

i) Tìm  



 e d2 e

x x

x I

Lời giải

Đặt    



1 dt d

2

x x

x

e

t e x

e

;  2

1

x

e t

Ta có:      

 

 e d2  d 

1

e 1

x x x

x x

x e e x

I t dt

e

  3 

2

I t t C

 

 2 1 32  1

x x

I e e C

* Đặt     2

1

x x

t e t e

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

    

    



  2 

1

x x

x

t t dt

e e dx

I t dt

t e

j) Tìm  



 e d2 e

x x

x I

Lời giải

Đặt t 3ex 



dt= d

2

x x

e

x e

; t2 3 ex

Tacó:      

 

 e d2  

3

3 e

x x x

x x

x e e dx

I t dt

e

 2 3 

6

I t t C

Vậy       

3

2

3

3

x x

I e e C

* Đặt     2

3 x x

t e t e

2t dte dxx

    

    



  

3

x x

x

t t dt

e e dx

I t dt

t e

 2 3 

6

I t t C

 

 2 3 36 3 

x x

I e e C

 Nhóm

Nhóm đổi biến hàm số lượng giác

 Bài toán 11 Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( ) (giả sử điều kiện xác định): a) Tìm Isin3x xd

Lời giải

  

sin sin d (1 cos )sin d

I x x x x x x

Đặt tcosxdt sin dx x Ta có:        

3

1 d

3

t

I t t t C

Vậy:  cos 1cos3 

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

b) Tìm Icos3x xd

Lời giải

 

  

cos cos d sin cos d

I x x x x x x

Đặt tsinxdtcos dx x

 

    1 3

1 d

3

I t t t t C

Vậy sin 1sin3 

I x x C

c) Tìm  2017

cos sin d

I x x x

Lời giải

Đặt tcosxdt sin dx x

   2017   2018

d

2018

I t t t C

   2018 

cos 2018

I x C

d) Tìm Isin2019xcos dx x

Lời giải

Đặt tsinxdtcos dx x

  2019  2020

d

2020

I t t t C

  2020 

sin 2020

I x C

e) Tìm I(1 sin )cos d x x x

Lời giải

Đặt tsinxdtcos dx x

 

     2

1 d

I t t t t C

   

sin sin

I x x C

f) Tìm Isin cosx 2x xd

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Ta có: Isin cosx 2x xd 2 sin cos cosx x 2x xd 2 sin cosx 3x xd Đặt tcosxdt sin dx x

    1 4

2 d

I t t t C

  1 

cos

I x C

g) Tìm 



 sin d cos

x

I x

x

Lời giải

Đặt t 2 cosxdt sin dx x



 I  dt  lnt C

t

  I ln cos x C h) Tìm 



 cos d

9 sin x

I x

x

Lời giải

Đặt t 9 2sinxdt 2cos dx x



  1d  1ln 

2

I t t C

t

  1ln sin 

2

I x C

i) Tìm  

 



cos d 5sin sin

x x I

x x

Lời giải

Đặt tsinxdtcosxdx



 



6 dt I

t t

  

 

  

 

 

 

   

 

 

    

    

 

1

2

1

3

ln ln

ln sin ln sin dt

t t

dt

t t

t t C

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

j) Tìm  

 

cos 2sin d3cosx x 2

I

x x

Lời giải



 



  

 

 

  

2

2

sin d cos cos

sin d

2 cos cos sin d

2 cos cos

x x I

x x

x x

x x

x x

x x

Đặt tcosxdt sinxdx

 

 



2

dt I

t t

  

 

 

 

    

 

 

     

     

 

1

2 1

2

2 1

ln ln

ln cos ln cos dt

t t

dt

t t

t t C

x x C

k) Tìm  d  cos

x I

x

Lời giải

 d cos d2

cos cos

x x x

I

x x

Đặt tsinxdtcosxdx

    

     

 

 

  

  

1 1

2 1

1

1

dt

I dt dt

t t

t t

t

 

1ln 1 ln 1 

2 t t C

 

1ln sin ln sin 

2 x x C

l) Tìm  d  sin

x I

x

Lời giải

 d sin 2

sin sin

x xdx

I

x x

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

  

   

 

 

  

1

1

1

dt dt

I dt

t t

t t

 

   

 

 



1 1

2 t t dt

 

     

 

     

1

ln ln

2

ln cos ln cos

t t C

C

m) Tìm  



sin dx3 cos

I

x x

Lời giải

 

 

 d 12 d

sin cos

sin cos

2

x x

I

x x

x x





  

 

 



1 d

2 sin

6 x x

 



     

   

   



1 d

2

2 sin cos

2 12 12

x

x x

 



     

   

   



2

1

1 2

tan cos

2 12 12

dx

x x

 

   

  

 

 



  

 

 



d tan

2 12

2

tan

2 12

x x

=     

 

1 ln tan

2 12

x

C

n) Tìm  



cos dx3 sin

I

x x

Lời giải

  

 

 d 21 d

3 sin cos

sin cos

2

x x

I

x x

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

 

 

      

    

 

 



1 d

ln tan

2 2 12

sin

x x

C x

o) Tìm 

2

tan d cos

x

I x

x

Lời giải

 tan2 d tan 12 d

cos cos

x

I x x x

x x

Đặt tan   12

cos

t x dt dx

x

   tan2 

2

t x

I tdt C C

p) Tìm  cot2 d sin

x

I x

x

Lời giải

 cot2 d cot 12 d

sin sin

x

I x x x

x x

Đặt cot    12

sin

t x dt dx

x

      2 cot2 

2

t x

I tdt C C

q) Tìm  

2

(1 tan ) d cos

x

I x

x

Lời giải

Đặt  1 tan   12

cos

t x dt dx

x

  

     

3

2 tan

3

x t

I t dt C C

r) Tìm  

2

(2 cot ) d sin

x

I x

x

Lời giải

Đặt  2 cot   12

sin

t x dt dx

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

  

     

3

2 cot

3

x t

I t dt C C

s) Tìm 





sin d cos

x

I x

x

Lời giải

 



2 sin cos cos

x x

I dx

x

Đặt    

1 cos 2sin cos

t x dt x x dx

 

 1     

ln ln cos

I dt t C x C

t t) Tìm 





sin d sin

x

I x

x

Lời giải

  



2 sin cos sin

x x

I dx

x

Đặt     

1 sin 2sin cos

t x dt x x dx

 

         

ln ln sin

I dt t C x C

t u) Tìm  

 

 sin cos d sin cos

x x

I x

x x

Lời giải

Đặt tsinxcosx 2 dt  cosxsinx dx

 

   

  

1 ln ln sin cos

I dt t C

t

x x C

v) Tìm  

 

 sin cos d sin cos

x x

I x

x x

Lời giải

Đặt tsinxcosx 3 dtsinxcosx dx

 I 1dtlnt C t

 

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

w) Tìm 

 

 cos d

sin cos x

I x

x x

Lời giải

  

 

 

 



 

 

2

cos sin sin cos

cos sin cos sin sin cos

x x

I dx

x x

x x x x

dx

x x

Đặt          

  



1 sin cos sin cos

cos sin

t x x

t x x

dt x x dx

 

   

   

    

 

   

       

  1

ln

sin cos ln sin cos t

I dt dt

t t

t t C

x x x x C

x) Tìm  



sin cos d sin

x x

I x

x

Lời giải

 



 sin cos d sin cos

x x

I x

x x

Đặt        

    

 2

sin cos sin cos

1 sin cos sin cos

dt x x dx

t x x

t x x x x t

 

 

     

 

  

    

 

1 1

4 2

4

ln ln

dt

I dt

t t

t

t t C

 

1 ln sin cos  2 ln sin cos 

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

DẠNG TỐN 5: TÍNH CHẤT NGUYÊN HÀM & NGUYÊN HÀM CỦA HÀM ẨN Nhóm Sử dụng định nghĩa F x( ) f x( )

Câu 1: (THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội năm 2019) Gọi  2 

) e

( ( ) x

F x ax bx c nguyên hàm hàm số f x( ) ( x 1) 2ex Giá trị biểu thức S a 2b c

A 3 B 2 C 0 D 4

Lời giải

Chọn B

Theo định nghĩa F x( ) f x( ), ta có: ( ) ( ) [( 2  ) ]ex 

f x F x ax bx c

   2   2     2 

(2 )ex e (x ) [ (2 ) ]ex ( 1) ex

ax b ax bx c ax a b x b c x x

Đồng hệ số:

   

               

 

    

 

1

2

1

a a

a b b S a b c

b c c

Câu 2: Biết ( ) ( 2  ).ex

F x ax bx c nguyên hàm hàm số f x( ) (2 x25x2).ex

Giá trị biểu thức f F (0)

A e1 B 9e C 20e2 D 3e

Lời giải

Chọn B

Theo định nghĩa F x( ) f x( ), ta có: f x( )F x( )[(ax2bx c ).ex]

   

   2    2     2 

(2ax b)e x e (x ax bx c) [ ax (2a b x b c) ]e x (2x 5x 2)e x

Đồng hệ số:

    

     

 

     

 

2

2

2

a a

a b b

b c c



  2    

( ) ( 1).e x (0)

F x x x F

    

 (0) ( 1) 9e

f F f

Câu 3: Biết F x( ) ( ax2bx c ) 2x3 nguyên hàm hàm số   



2

20 30 11

( )

2

x x

f x

x khoảng  

 

3

;

2 Giá trị biểu thức T  a b c

A 5 B 6 C 7 D 8

Lời giải

Chọn C

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

 

   



 



      



2

2

( ) ( ) ( )

2

ax x b a c b

f x F x ax bx c x

x

Do ta có

   

          

 

    

 

5 20

3 30

3 11

a a

b a b a b c

c b c

Câu 4: Cho hàm số F x( ) nguyên hàm f x( ) 2019 ( x x24)(x23x2) Khi số điểm

cực trị hàm số F x( )

A 5 B 4 C 3 D 2

Lời giải

Chọn D

Theo định nghĩa F x( ) f x( ), ta có:

    

          

  

  

  

2

2

( ) 2019 ( 4)( 2) 2019 2

2

x x

f x x x x x x x

x x x

2

x nghiệm bội bậc hai nên f x  không đổi dấu qua x2 Vậy hàm số yF x  có hai điểm cực trị

Câu 5: Cho F x( ) nguyên hàm hàm số f x( ) e x2(x34 )x Hàm số F x( x) có

điểm cực trị?

A 5 B 4 C 3 D 2

Lời giải

Chọn A Ta có

             

      

        







  

          

 

      

      

2

2

2

3

2 2

2 2

2

( ) 2 e

e 2

e 1 2

x x

x x

x x

F x x x f x x x x x x x

x x x x x x x

x x x x x x x

 2 

( )

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Nhóm Sử dụng định nghĩa giải toán nguyên hàm hàm ẩn

Vận dụng tính chất f x x( )d  f x( )C, f x x( )d  f x( )C, vào dạng sau:

       

 

(u v v u) dx ( ) du v x uv C n u n1 du x ( )u dx un   nC



    

    

 

 

u v v udx u dx u C

v v

v  

 

  

 

u dx lnu dx lnu C u





  

 

d ( ) d

2

u

x u x u C

u



  

     

 

 

1

u dx dx C

u u

u

Câu 6: (HSG Bắc Ninh năm 2019) Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm liên tục đoạn [1; 2] thỏa mãn



(1)

f f x( )xf x( ) 2 x33 x2 Giá trị f(2)

A 5 B 10 C 15 D 20

Lời giải

Chọn D

Ta có: f x( )xf x( ) 2 x33x2 xf x( ) f x( ) 2 x33x2 x2(2x3)

 



   

           

 

 

2

( ) ( ) ( ) ( )

2 3 d

xf x f x f x f x

x dx x x x x C

x x

x

Do f(1) 4       4 C C f x( )x33x2 f(2) 20.

Câu 7: (THPT Yên Định Thanh Hóa năm 2019) Cho hàm số f x( ) thỏa mãn f x f x( ) ( ) 3  x56x2

và f(0) 2. Giá trị f2(2)

A 144 B 64 C 100 D 81

Lời giải

Chọn C

Ta có: f x f x( ) ( ) 3  x56x2 2 ( ) ( ) 6f x f x  x512x2 f x( )26x512x2

 

     

  5 2   6  3

( ) 12 d ( )

f x dx x x x f x x x C

Do f(0) 2    4 C C 4 f2(2) 100.

Câu 8: (Đề thi THPT QG năm 2018 – Mã đề 102 – Câu 40) Cho hàm số f x( ) thỏa mãn (2) 1

3 f

và f x( ) x f x ( )2 với x Giá trị f(1) A 11

6 B

2

3 C

2

9 D

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Lời giải

Chọn B

Ta có:      

   

  

 

        

   

 

2 ( ) 0

2

' 1

' f x f x

f x x f x x x

f x f x

    

  ( )   

2

x

x dx C

f x f x

Do                

 

2

1 2

(2) 3 (1)

1

3 (2)

1

f C C f

f

Câu 9: Cho hàm số f x( ) thỏa f x2( ) ( ) ( ) 5 xf x f x  x4 với f(1) 0, ( ) 0. f x  Hệ số góc tiếp tuyến

k đồ thị hàm số y f x( ) điểm có hồnh độ x2

A k1 B k2 C k4 D k3

Lời giải

Chọn D

Ta có: f x2( ) ( ) ( ) 5 xf x f x  x4 xf x2( )5x4

  

 

     5

( ) d ( )

xf x dx x x xf x x C

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

ĐỀ RÈN LUYỆN LẦN

Câu 10: (Đề tham khảo – Bộ GD & ĐT năm 2018)Tìm họ nguyên hàm hàm số  

( )

f x x

A 3

x C B  

3

x

x C C 6x C D 3 

x x C

Lời giải

Chọn D

Áp dụng công thức



 



 d

1

n

n x

x x C

n

Ta có: f x dx( ) 3x21dxx3 x C

Câu 11: (Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017) Tìm nguyên hàm hàm số  



1 ( )

5

f x x

A   



 d 1ln

5x x x C B      

1

d ln(5 2)

5x x x C

C   



 d 5ln

5x x x C D     

1

d ln

5x x x C

Lời giải

Chọn A

Áp dụng công thức:   



 dx 1lnax b C

ax b a

   



 d 1ln

5x x x C

Câu 12: (Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017) Tìm nguyên hàm hàm số f x( )  x

A 7 dx x7 ln7x C B 7 dx x7x1C C 7 d  

ln

x

x x C

D



 



7 d

1

x

x x C

x

Lời giải

Chọn C

Áp dụng công thức  d   ln

x

x a

a x C

a

7 d  

ln

x x

x C

Câu 13: (Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017)Tìm nguyên hàm hàm số f x( ) cos  x

A cos dx x3sin 3x C B cos d  sin 

x

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

C cos dx xsin 3x C D cos dx xcos 3x C

Lời giải

Chọn B

Ta có: cos(ax b x )d 1sin(ax b ) C a

cos d sin 

x

x x C

Câu 14: (Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017) Tìm nguyên hàm hàm số f x( ) sin  x

A 2 sin dx x2 cosx C B 2 sin dx xsin2x C C 2 sin dx xsin 2x C D 2 sin dx x 2 cosx C

Lời giải

Chọn D

Ta có: sin dx x cosx C

2 sin dx x 2 cosx C

Câu 15: (Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017 – Mã đề 104 câu 28) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số

 

( ) sin cos

f x x x thoả mãn    

 2 F

A cosxsinx3 B cosxsinx3 C sinxcosx1 D cosxsinx1

Lời giải

Chọn D Ta có:

  ( ) sin cos   cos sin 

F x f x dx x x dx x x C

  

     

          2 cos 2 sin 2

F C

    1 C C

Vậy F x  cosxsinx1

Câu 16: (Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017 – Mã đề 101 câu 27) Cho hàm số y f x( ) thỏa mãn

( ) 5sin 

f x x f(0) 10. Mệnh đề đúng?

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

C f x( ) 3 x5cosx2 D f x( ) 3 x5cosx15

Lời giải

Chọn A

Ta có: f x f x dx'  3 5sin x dx 3x5cosx C

     

(0) 10 10

f C C

Vậy f x( ) 3 x5cosx5

Câu 17: (Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017 – Mã đề 103 câu 13)Cho F x( )là nguyên hàm hàm

số f x( ) e x 2x thỏa mãn  3 (0)

2

F Tìm F x( ) A e   3

2

x

x B 2e  2 1

x

x

C e   5

x

x D e  2 1

x

x

Lời giải

Chọn D

       2

( ) ex x

F x f x dx x dx e x C

     3

(0)

2 2

F C C

vậy F =e  2 1

x

x x

Câu 18: (Đề thi minh họa – Bộ GD & ĐT 2017) Tìm nguyên hàm hàm số f x( ) 2x1

A 1  1

2 x C B   

1

(2 1)

3 x x C

C 1  1

3 x C D   

2

(2 1)

3 x x C

Lời giải

Chọn B

Ta có                

1

2 2

2 2 2

3

x dx x dx x C x x C

Câu 19: (Đề thi minh họa – Bộ GD & ĐT 2017) Tìm nguyên hàm hàm số  2 

2

2 ( )

f x x x A  

3 2

3

x

C

x B  

3 1

3

x

C

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

C  

3

2

x

C

x D  

3

1

x

C

x

Lời giải

Chọn A

Ta có      

 



2

2

3

x dx x C

x

x

Câu 20: (Sở GD & ĐT Tp Hồ Chí Minh Cụm năm 2017) Tìm ngun hàm hàm số



( ) cos cos

f x x x thỏa mãn    

 3

F Tính    

 6 F

A    

 

3 12

F B    

 6

F

C    

 

3

6

F D    

 

3

6

F

Lời giải

Chọn C

Ta có cos cos   1cos cos  1sin  sin 

2 12

x x dx x x dx x x C

 



       

   

3 1

0 sin sin

3 16 12 16

F C F x x x

  

 

   

   

1 3

sin sin

6 12 16

F

Câu 21: (THPT Kim Liên – Hà Nội) Biết F x( ) ( ax2bx c )ex nguyên hàm hàm số



( ) e x

f x x Tìm a b c, ,

A a1, b2, c 2 B a2, b1, c 2 C a 2, b2, c1 D a1, b 2, c2

Lời giải

Chọn D

Đặt     

 

 



2 d 2 d

d xd x

u x x

u x

v e

v e x

Lúc đó:      

d x xd

f x x x e xe x

Đặt    

 

 

 

2

2

d d

d xd x

u x u x

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

        

  

d x xd x x xd

f x x x e xe x x e xe e x

 

    2 

2 2

x x x x

x e xe e x x e

Vậy a1, b 2, c2

Cách 2: Ta có       2    2     

2 x x x

F x ax b e ax bx c e ax a b x b c e Do F x  nguyên hàm hàm f x  nên F x    f x , x

 

     

           

    

 

2

1

2 2

0

x x

a a

ax a b x b c e x e a b b

b c c

Câu 22: (THPT Lê Lợi – Thanh Hóa) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số ( ) sin  12

cos

f x x

x thỏa mãn điều kiện     

 

2

4

F

A F x( ) cosxtanx C B F x( ) cosxtanx 1 C F x( ) cos xtanx 1 D F x( ) cosxtanx 1

Lời giải

Chọn D

         

 

 

1

( )d sin d cos tan

cos

F x f x x x x x x c

x

Theo đề:                

2

cos tan

4 4

F c c

Vậy F x( ) cosxtanx 1.

Câu 23: (Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017 – Mã đề 103 câu 37) Cho ( )  13

3 F x

x nguyên hàm hàm số f x( )

x Tìm nguyên hàm hàm số f x( )ln x A ln3  15 

5 x

C

x x B  

ln

x

C

x x

C  

3

ln

x

C

x x D   

ln

x

C

x x

Lời giải

Chọn C

  13    14

3

F x F x

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Theo f x F x  f x   14  f x  13

x x x x

Xét: I f x( )ln dx x Đặt

   



  

 

   

 

  

1

ln d d

d

u x u x

x v f x dx

v f x

Lúc đó: ln   ( )d  ln3  13 

3 C

f x x

I x

x x x

x f x

Câu 24: Tìm nguyên hàm yx e x

A x

x e C B x

x e C C  1 x

x e C D  1 x

x e C

Lời giải

Chọn D

Đặt    

 

 

 

d d

d xd x

u x u x

v e x v e

Khi x e x dx xexe x xexd  x  ex C x1exC

Câu 25: Một nguyên hàm yxlnx

A 

2

2

1 ln

2

x

x x B 2ln 1

2

x x x C 

2

2

1 ln

2

x

x x D ln 1

2 x x x

Lời giải

Chọn C

Đặt

  

  



  

  



2

1

d d

ln

d d

2

u x

u x x

v x x x

v

Khi      

2

2

1

ln d ln d ln

2 2

x x x

x x x x x x x C

Câu 26: Tìm nguyên hàm hàm số y(x1)cosx

A (x1)sinxcosx C B (x1)sinxcosx C C  (x 1)sinxcosx C D  (x 1)sinxcosx C

Lời giải

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Đặt      

 

1 d d

d cos d sin

u x u x

v x x v x

Khi x1 cos d x xx1 sin xsin dx xx1 sin xcosx C

Câu 27: Tìm nguyên hàm hàm số ( ) 2

cos x f x

x

A xcotxln cosx C B xtanxln cosx C C xcotxln cosxC D xtanxln cosx C

Lời giải

Chọn B

Đặt

   

 

  

 



d d

1

tan

d d

cos u x

u x

v x

v x

x

Khi  2 d  tan tan d  l 

cos x x x x x xtanx n cosx C x

x

Câu 28: Gọi F x( ) nguyên hàm hàm số f x( ) ln x thỏa mãn điều kiện F(1) 3 Tính giá trị

của biểu thức 2F(e)log 3.log4 3 (e)

T F

A T2 B T8 C 9

2

T D T17

Lời giải

Chọn D

   d ln d F x f x x x x

Đặt



   

  

  

d

ln d

d d

x

u x u

x

v x

v x

  ln  dx ln   ln  

F x x x x x x dx x x x C

x

Ta có : F(1) 3 1.ln1 1    C C

Suy : F x xlnx x  4 F e elne e  4

Khi đó:  (e)    4   

4

2F log 3.log (e) log 3.log 16 17

T F

Câu 29: Xét I x3(4x43) d x Bằng cách đặt u4x4 3, hỏi khẳng định đúng?

A  1 5d

I u u B   5d 12

I u u C   5d 16

I u u D Iu u5d

Lời giải

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Đặt  4    d

4 d 16 d d

16 u

u x u x x x x

 4  d  

(4 3) d d

16 16 u

I x x x u u u

Câu 30: Xét 



 d

4

x

I x

x , cách đặt t 4x1 I trở thành

A   

 

3

1

t

t C B   

 

3

1

t

t C C   

 

3

1

t

t C D   

 

3

1

t

t C

Lời giải

Chọn C

Đặt    1 21

4

t

t x x d  d

2 t x t





 d

4

x

I x

x



 1 d

4

t t

t t



 1d

8

t

t 1 2 

1 d

8 t t

 

   

 

3

1

t

t C

Câu 31: Tìm nguyên hàm hàm số f x cos2x.sin x

A 1cos3 

3 x C B  

3

cos x C C 1cos3 

3 x C D 

3

1

sin

3 x C

Lời giải

Chọn C

Cách 1:

 

 

cos sin

I f x dx x x dx

Đặt tcosxdt sinxdx  dt sinxdx Khi      

3

2 .

3

t

I t dt C

Dẫn đến  1cos3 

I x C

Cách 2:

        

   cos3

cos sin cos cos

3

x

f x dx x x dx x d x C

Câu 32: Biết F x  nguyên hàm f x sin3x.cosx F 0  Tìm    

 2 F

A     

 2

F B      

 

1

2

F C     

 

1

2

F D    

 2 F

Lời giải

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Cách

 

 

sin cos

I f x dx x x dx

Đặt tsinxdtcosxdx Khi   

4

4

t

I t dt C

Suy    

4

sin

x

F x I C

 0   sin 04     

F C C

Dẫn đến   

4

sin

x F x

Vậy     

 

1

2

F

Cách

    sin3 .cos sin3 sin sin4  .

4

x

F x f x dx x xdx xd x C

 0   sin 04     

F C C

Dẫn đến   

4

sin

x F x

Vậy     

 

1

2

F

Cách

  



  

 

  

3

0 sin cos

F F x x dx

Bấm máy vế phải, ta     

 

1

2

F Dẫn đến     

 

1

2

F

Câu 33: Cho F x  nguyên hàm hàm số  

ln f x

x x F e 3 Tính  

2

e F A 3 2ln 2. B 3 ln 2. C 1 ln 3. D 3 ln 2.

Lời giải

Chọn B

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

 

   1

ln ln

I f x dx dx dx

x x x x

Đặt tlnxdt 1dx x Khi I1dtlnt C

t

Suy F x  I ln lnx C  e  3 ln lne    3

F C C

Dẫn đến F x  I ln lnx 3 Vậy F e2  3 ln

Cách

 2   

ln

e e

F e F e dx

x x

Bấm máy vế phải, ta  2  

3 0,693

F e Dẫn đến  2 

e 3,693

F Bấm máy kiểm tra kết Ta chọn Chọn Câu B

Câu 34: Tìm nguyên hàm hàm số    

 



 



10

12

2 x f x

x A     



 

11

1

3

x

C

x B

  

   



 

11

1

11

x

C

x C

      

 

11

1

11

x

C

x D

      

 

11

1

33

x

C x

Lời giải

Chọn D

   

   

   

    



 

 

  

10 10

12

2 2 1

1

1

x x

I f x dx dx dx

x

x x

Đặt

   



    

  

2 1

1 1 1

x

t dt dx dt dx

x x x

Khi  10  11

3 33

I t dt t C

Vậy      



 

11

1

33

x

I C

x

Câu 35: Cho F x  nguyên hàm hàm số  



2

1 x f x

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

A ln 1. B 1ln 1.

2 C 0 D ln 2.

Lời giải

Chọn B

Cách

 

  

 

  

1

1

x

I f x dx dx xdx

x x

Đặt  2    

1

2

t x dt xdx dt xdx

Khi 1  1ln 

2

I dt t C

t

Suy   1ln 2 1

F x I x C   1 2 

ln

2

F x I x C

  1 2    

0 ln 1

2

F C C

Dẫn đến  1ln  1

F x x

Vậy  1  1ln 1.

F

Cách

    



1

1

1 x

F F dx

x

Bấm máy vế phải, ta F 1  1 0,346 Dẫn đến F 1 1,346 Bấm máy kiểm tra kết Ta chọn Chọn Câu B

Câu 36: Tìm nguyên hàm hàm số   

1

f x x x

A x2 1x2 C B    

3

2

1

1

3 x x C

C    

3

1

1

3 x C D  

2

1

1

3x x C

Lời giải

Chọn C

 

    

1

I f x dx x x dx x xdx

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Khi    

3

3

t

I t tdt t dt C

Dẫn đến I     

3

1

1

3 x C

Câu 37: Cho F x  nguyên hàm hàm số f x lnx ln2x1

x    1

3

F Tính F e 2 A     2

3

F e B     2

F e C     2

F e D     2 F e

Lời giải

Chọn B

Cách

 

 ln    ln

ln ln

x x

I f x dx x dx x dx

x x

Đặt    2     ln

ln ln 2 ln x

t x t x tdt x dx tdt dx

x x

Khi    

3

3

t

I t tdt t dt C

Dẫn đến       

3

1

ln

3

F x I x C

  1 1  3   1

1 ln 1

3 3

F C C

Dẫn đến     

3

1

ln

F x x

Ta tính  1 ln2 13  2.

3

F e x Suy     2 F e

Cách

     

1

ln

1 e x ln

F e F x dx

x

Bấm máy vế phải, ta   1 0,609

F e Suy F e 0.942 Dẫn đến    2 F e

Câu 38: Gọi F x  nguyên hàm hàm số  



8

x f x

x

thỏa mãn F 2 0 Tìm tổng nghiệm phương trình F x x

A 1 B 2 C 1 D 1

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Chọn D

Ta có       

 

 

2

1

d d

2

8

x

F x x x

x x  

    

8

F x x C

Vì F 2 0    2 C 0 C Suy F x   8x2 2 Xét phương trình F x x   8x2  2 x  8x2  2 x

 

     

  

 2

2

8

x

x x

    

  



2

2

x

x x

    

  

2

x

x   x

Vậy tổng nghiệm phương trình cho 1

Câu 39: Hàm số   

 

2

9 10

6 11

x f x

x x có nguyên hàm F x  thỏa mãn F 1 ln Gọi x x1, 2là hai nghiệm phương trình  ln  1 1ln

2

F x x Giá trị 3x13x2

A 28 B 4 C 730

27 D

82 27

Lời giải

Chọn A

Ta có   

 



9 10 d

6 11

x

F x x

x x  

   

   

 

 

3 3 d

2 3

x x

F x x

x x

   

    

 

 

 d

3

F x x

x x       

1

ln ln

F x x x C

Vì F 1 ln 2ln 2 C ln 2 C Suy  ln  1 1ln 3

F x x x

Xét phương trình  ln  1 1ln

F x x ln 2x 3 ln  2x 3

 

  



1

3

x

x     

1

3x 3x 3 28

Vậy 3x13x2 28

ĐÁP ÁN ĐỀ RÈN LUYỆN LẦN

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ĐỀ RÈN LUYỆN LẦN

Câu 40: (Đề thi THPT QG năm 2019 Mã đề 101) Họ tất nguyên hàm hàm số f x 2x5

là

A x25x C B 2x25x C C x25x D x2 C

Lời giải

Chọn A

Ta có f x dx2x5 d xx25x C

Câu 41: Cho F x  nguyên hàm hàm số f x 4 cos2x5 thỏa mãn F  0 Tìm F x 

A F x   3x sin 2x3 B   4sin3 5 5

F x x x

C   4cos3 5  4 5

3

F x x x D F x   3x sin 2x3

Lời giải

Chọn A

Ta có F x 4 cos2x5 d x F x   cos 2x3 d x  

F x sin 2x3x C

Lại có F  0  3 C 0 C 3 Vậy F x   3x sin 2x3

Câu 42: Tìm nguyên hàm F x  hàm số f x 2x3 x thỏa mãn F 1 0

A x233 x2 4 B x22 x3 3 C x223 x2 3 D x23 x3 4

Lời giải

Chọn B

Ta có F x 2x3 xdx F x 2 dx x6   x 2d x

 

  2 

2

F x x x C

Lại có F 1 0   3 C 0  C Vậy   2 

2

F x x x

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

A F x x24 cos 2x22 B F x x22 cos 2x2 4 C F x x22 cos 2x2 D F x x24 cos 2x26

Lời giải

Chọn C

  

 2x sin cosx x dx2x4 sin 2xdxx22 cos 2x C   2

F 2     2 C C 2 Do F x x22 cos 2x2

Câu 44: Cho hàm số f x  thỏa mãn f x 2x3 x

 4  16 ln

f Mệnh đề đúng? A  2 2  16 32

ln

x

f x x B f x 2 ln 2x  x3 8 C  2   16 24

ln

x

f x x D   2 16

ln

x

f x x

Lời giải

Chọn D

        

 

 2x 3 d  2x 3. 12 d

f x x x x x      

3

3

2

2

ln ln

x x

x C x C

 4  16

ln

f  16 16  16   16

ln C ln C Do    

3

2

2 16 ln

x

f x x

Câu 45: Tìm nguyên hàm hàm số f x 2 72x x x

A 84  ln 84

x

C B 

2

2 ln 4.ln 3.ln

x x x

C C 84x C D 84 ln 84 Cx 

Lời giải

Chọn A

  

2 d2 84 d 84

ln 84

x

x x x x x x C

Câu 46: Tìm nguyên hàm hàm số  

 





1

f x

x

A 



1

2 4x C B   3 

2x C

C 



1

4x C D   

2x C

Lời giải

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

   



 



 

2

1

d d

2x x x x       

1 1

2 2x C 4x C

Câu 47: Họ nguyên hàm hàm số f x 3 x

A 

3

3

x

C B 

3

3

x x

C C 

3

4

x C

x D 

4

x C x

Lời giải

Chọn B

      

3  13 43 33 3

d d

4 4

x x

x x x x x C x C C

Câu 48: Tìm nguyên hàm hàm số f x sin cosx x

A 1cos5 

5 x C B   

cos cos6

8 12

x x

C C 1cos5 

5 x C D  

1

cos cos6

8 x 12 x C

Lời giải

Chọn B

 

     

sin cos d 1 sin sin d cos6 1cos4

2 12

x x x x x x x x C

Câu 49: (Đề thi THPT QG năm 2019 Mã đề 101) Họ nguyên hàm hàm số  



2 ( )

( 1)

x f x

x

khoảng ( 1; )

A   



2

2 ln( 1)

1

x C

x B    

3

2 ln( 1)

1

x C

x

C   



2

2 ln( 1)

1

x C

x D    

3

2 ln( 1)

1

x C

x

Lời giải

Chọn B Ta có

 



  



 

2

( )

1

( 1) 1

x f x

x

x x

 

 

 

 

     

 

  

 

 

2 3

d d ln

1 1

f x x x x C

x x x

Câu 50: Hàm số F x( ) nguyên hàm f x( ) (1 x)ln(x2 1) Hỏi hàm số F x( ) có điểm

cực trị?

A B C D

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Chọn B TXĐ D

Ta có F x'     f x  1 xlnx21

                

2

2

1

' ln

ln

x

F x x x

x

   

  

  



1

0 1

x x

x

x

Phương trình F x' 0 có nghiệm đơn x1 nghiệm kép x0 nên hàm số F x( ) có điểm cực trị

Câu 51: Họ nguyên hàm hàm số 

  

2

1 ( )

( )

f x

x a b x ab (giả sử hàm số xác định)

A  



ln x b C

x a B

 

 

1

ln x a C b a x b

C  



ln x a C

x b D

 

 

1

ln x b C b a x a

Lời giải

Chọn B

Ta có             

     

1 1

f x

x a x b b a x a b a x b         

   

 

 

f x xd  1 dx

b a x a b a x b

 

   

    

1 1

dx b a x a x b



 

       

  

1

lnx a ln x b C ln x a C

b a b a x b

Câu 52: Hàm số 



4

( )

1

x f x

x có nguyên hàm F x( ) thỏa   

22

(3) ln

3

F Giá trị eF(2)

bằng:

A 2 3

3 B 

3

2 C D 

3

Lời giải

Chọn D

       

 

  

 

2

1

d d

1

1

x

F x x x x

x x

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn



   



3 1 1

ln

3

x x

x C

x

Trên khoảng 1;        



 

3

1

1

ln

3

x x

F x x C

x

Ta có           

3

1

22 1 22 14

(3) ln ln ln

3 2 3

F C C

      

        



 

3 1 1 14

ln , 1;

3

x x

F x x x

x

  1    2 

2 ln ln

2 3

F

F e

Câu 53: Hàm số   

 

2

2

2 x f x

x x có nguyên hàm F x  thỏa  

10 ln 2

3

F Tính eF 3 A 3 55 B ln 23 C 3 2.55 D ln 43

Lời giải

Chọn C

Sử dụng phương pháp đồng thức

Có  

        

 

    

 

   

 

2

2

2

1

1 2

2

A B x A B

x x A B

f x

x x

x x x x

x x

Suy ra:   

   

2

2

A B A B

 

  

  

1

A B

             

 

 

 d  1 d 1.ln 5.ln

3 3

F x f x x x x x C

x x

Trên khoảng 1;  1.ln  1 5.ln 2 1

3

F x x x C

Mà:  2 10 ln

F  1.ln 1   5.ln 2   1 10 ln

3 C C1 0

       

 1.ln  1 5.ln   2 1;

3

F x x x x

Khi đó:  3 1.ln 25.ln 5

3

F

Vậy:      

1 5

.ln ln ln ln

3 3 3 3 3

2.5

F

e e e e

Câu 54: Hàm số  

 





2

1 f x

x x có nguyên hàm F x  thỏa      

1

2

F F Tính    2  3

F F

A 1

3 B 

5 ln

6 C 

1 ln

3 D

5

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Chọn D

Sử dụng phương pháp đồng thức

Có  

       

   

    



 

2

2 2

1

1

1

A C x A B x B

A B C

f x

x x

x x x x x

Suy ra:

      

  

0

A C A B B

   

 

  

1 1

A B C

          

 

 

1 1

.d d

1

F x f x x x

x x x

  

F x  ln x  1 lnx  1 C ln x  1 C

x x x

Khi đó:  

 

 

 

   

       

  

 



     

         

 



   

      

  

  



1

2

3

1

ln , ;

1

ln , ;

1

ln , ;

x

C x

x x

x

F x C x

x x

x

C x

x x

Mà:    1   2

F F       

 

1

1 1

ln ln

2 2

C C C1C3 1 Vậy:              

 1  3

3

2 ln ln

2 3

F F C C

Câu 55: (Đề thi THPT QG năm 2017 – Mã đề 110) Cho F x   x1ex nguyên hàm hàm

số f x e  2x Tìm nguyên hàm hàm số f x e  2x A x2exC B 2 

2

x

x

e C C 2x e xC D 4 2 x e xC

Lời giải

Chọn C

Có: F x  nguyên hàm hàm số f x e  2x nên:    

  2x

F x f x e x1ex f x e  2x Hay:   2x  x  1 x  x

f x e e x e x e Xét I  f x e  2xdx

Đặt

 

  

  



2

d d

x

u e

v f x x  

 



  



2

du 2e xdx

v f x

Khi đó:                

2 d 2

x x x x x

I f x e f x e x x e x e C x e C

Câu 56: (THPT Quảng Xương I – Thanh Hóa lần năm 2017) Cho a, b số hữu tỉ thỏa mãn

   

      

  

 d 2 1

2

x

a x x b x x C

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

A  2

S B 1

3

S C 4

3

S D 2

3 S

Lời giải

Chọn C Có

       

     

  

  

 d  1d  d

2

2

x x x

I x x x x

x x

x x

Suy ra:  2 2  2 2 1  1

3

I x x x x C

Hay: 2

a ,  2 b Vậy 3  4

3 S a b

Câu 57: Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x x sinx thỏa mãn    

 2 2019 F

A F x( )xsinxcosx2019 B F x( ) xcosxsinx2018 C F x( )xsinxcosx2019 D F x( ) sin x x cosx2018

Lời giải

Chọn B Đặt  



 sin

u x

dv xdx

 

   

 os x

du dx

v c



       

xsinxdx xcosx cos x C xcosx sinx C

       

( ) cos sin 2019

2 2

f C  C 2018

Câu 58: Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( )x.ex thỏa mãn F(0) 1.

A  ( 1)ex1

x B  ( 1)ex2 x

C ( 1)ex1

x D ( 1)ex 2 x

Lời giải

Chọn B Đặt   



 x

u x

dv e dx 

 

  

 

 x

du dx

v e



( )

F x  x   x x  x x

xe dx xe e C xe e C

    

(0) 1

F C  C

Câu 59: Tìm nguyên hàm hàm số ( ) etan2 

cos

x

f x

x

A tan 

e x

C B tan 

e x

C C tan ex tanxC D etanx C

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Chọn A

Đặt tanx   12

cos

t dt dx

x

    

 tan  tan

2

e cos

x

t t x

dx e dt e C e C

x

Câu 60: Tìm nguyên hàm hàm số 

( ) sin cos

f x x x

A 1sin5 

5 x C B 

5

sin x C C 1 

sin

5 x C D  

5

sin x C

Lời giải

Chọn C

Đặt tsinxdtcos xdx

    

sin4 cos  1sin5

5

t

x xdx t dt C x C

Câu 61: Tìm nguyên hàm hàm số f x( ) cos 2xsin x

A 1cos3 

3 x C B  

3

1

cos

3 x C

C cos3x C D cos3x C

Lời giải

Chọn B

Đặt tcosxdt sinxdx

 

     

cos2 sin  1cos3

3

t

x xdx t dt C x C

Câu 62: Tìm nguyên hàm hàm số   



2 ( )

1

x f x

x

A 3( 4)  1

4 x x C B   

2

( 4)

3 x x C

C 

 

2( 1)

x

C

x x D    

1

1

1

x C

x

Lời giải

Chọn B

Đặt      2 

1

t x t x tdt dx

 

 

 

       

  

   2

2 2

3

x t t

dx tdt t dt t C

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

     

2 12   1 4  1

3

x x

x C x x C

Câu 63: Cho F x( )là nguyên hàm hàm số 



1 ( )

3

x

f x

e thỏa mãn   (0) ln

3

F Tìm tập nghiệm Scủa phương trình ( ) ln  x32

F x e

A S 2 B S  2;  C S 2;1 D S  2;1 

Lời giải

Chọn A

 

 

 

 

( )

3

x

x x x

e

F x dx dx

e e e

Đặt  x   x

t e dt e dx

     

  

       

 

  

 x xx 3  3  31 3 3 ln3 ln 3

t t

e

dx dt dt C

t

t t t

e e

    

ln ln 

3

x x

e e

C  ln 3

3

x

e x

C

 1  ln 4  1  

(0) ln ln

3 3

F C C

Ta có:      

  

 

         

 

 

ln

3 ( ) ln 3 ln 2

3

x

x x e x

F x e e x

Câu 64: Đặt 



sincoscosx

I dx

x x ,  

sin sin cos

x

J dx

x x Tìm T4J2I A T x 3ln sinxcosx C

B T x 3ln sinxcosx C C T3xln sinxcosx C D T2xln sinxcosx C

Lời giải

Chọn A

Ta có: I J 1.dx x C1;      





cos sin

ln sin cos sin cos

x x

I J dx x x C

x x

Do  ln sin cos  1 ;  ln sin cos  1

2 2

x x x C C x x x C C

I J

Suy ra: T4J2I= x3ln sinxcosx C

Câu 65: Tìm nguyên hàm hàm số f x lnx ln2x1

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

A   

3

ln

3 x

B   

3

ln

x

C   

3

ln

x

D    

 

2

ln ln

3

x x

Lời giải

Chọn A

 ln 

ln

x

F x x dx

x Đặt       

2 2 ln

ln ln x

t x t x tdt dx

x Khi        

3

3

2. ln

3

x t

F x t dt C C

Câu 66: Tìm hàm số f x , biết f x' x 1x2 3f 0 4

A  





3

1

1

x

B  

2

1

1

x

C  





2

2 1

1

x x

D  

 

3

1

1

x

Lời giải

Chọn A

Ta có          



        

3

2 2

1

' 1

2

x

f x f x dx x x dx x d x C

Mà 3f 0 4 nên

 

  



  

 

    

 

 

 

3

1

3

3 C C

    

3

1

1

x f x

Câu 67: Tìm nguyên hàm F x  hàm số  

 2

2 x f x

x x

A  2 32 21 21

3

F x x x x

B  2 32 21 21

3

F x x x x

C  2 32 21 21

3

F x x x x

D  2 32 21 1

3

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Lời giải

Chọn A

         

 

   

2

2

2 2

1 x

F x dx x x x dx x dx x x dx

x x

     

2 3 1 21  1 32 21 2 1

3x x d x 3x x x C

Câu 68: Hàm số  

sin f x

x có ngun hàm F x  thỗ



     3

F Giá trị       

2

F

e A 1

3 B

1

C D

Lời giải

Chọn C Ta có:

       

 

   

2

1 1

tan ln tan

sin 2 sin cos 2 tan cos tan 2

2 2 2

x x

F x dx dx dx d C

x x x x x

x

Mà    

 3

F nên ln tan     0 ln ln 3 1ln

6 C C

Do đó:

 

  

 

    

2

ln tan ln

3 ln

3

F

e e e

Câu 69: Tìm nguyên hàm F x  hàm số f x x21ex33x, biết đồ thị hàm số F x  có

điểm cực tiểu nằm trục hoành

A ex33xe2 B

  

3 3 2

2

1

x x

e e

C

 

3 3 2

3

x x

e e

D

 

3 3

1

x x

e

Lời giải

Chọn B

Ta có:   21 33  1 33  33 1 33 

3

x x x x x x

F x x e dx e d x x e C

Mà:      2  33    

' x x

F x f x x e x

  3      3

3 2

'' x x 3 x x

F x x e x x e ; F'' 1 0; ''F   1 Do hàm số đạt cực tiểu x1

Mặt khác đồ thị hàm số có cực tiểu nằm trục hồnh nên ta có điểm cực tiểu  1,0

A

Suy  1  0 2    0 12

3

F e C C

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Do  

  



3 3 2

2

1

x x

e F x

e

ĐÁP ÁN ĐỀ RÈN LUYỆN LẦN

1.A 2.A 3.B 4.C 5.D 6.A 7.A 8.B 9.B 10.B 11.B 12.B 13.D 14.C 15.D 16.C 17.C 18.B 19.B 20.A 21.C 22.B 23.B 24.A 25.A 26.A 27.A 28.A 29.C 30.B

ĐỀ RÈN LUYỆN LẦN (NHÓM BÀI NÂNG CAO CÓ MẪU VÀ HƯỚNG DẪN)

Câu 70: (Đề tham khảo – Bộ GD & ĐT 2019)Họ nguyên hàm hàm số f x( ) (1 ln ) x  x

A 2x2lnx3 x2 B 2x2lnx x C 2x2lnx3x2C D 2x2lnx x C Hướng dẫn: Nhân phân phối tách hai nguyên hàm

Lời giải

Chọn D

Đặt



    

  

  

1

1 ln d d

d d

2

u x u x

x v x x

v x

Khi đó:       2    2 2  2  

d ln 2 d ln 2 ln

f x x x x x x x x x C x x C

Câu 71: Giả sử    

   

 ( 1)((2x 2)(3)dx 3) 1 ( )1 C

x x x x g x với C số Tổng nghiệm

phương trình g x( ) 0

A 1 B 1 C 3 D 3

Hướng dẫn: Dựa vào phương trình (x a x b x c x d )(  )(  )(  ) e với a b c d   , ta nhóm

        

(x a x d)( ) (  x b x c)( ) e, sau đặt t(x a x d )(  ) Cụ thể:

         2 2 

( 1)( 2)( 3) ( 3)[( 1)( 2)] ( )( 2)

x x x x x x x x x x x x

Đặt  2   

3 d (2 3)d

t x x t x x phần lại nguyên hàm

Lời giải

Chọn D

Ta có:    

       

  2

(2 3)d (2 3)d

( 1)( 2)( 3) ( 2)( )

x x x x

I

x x x x x x x x

Đặt  2    

3 d d

t x x t x x

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

   

           

     

 

2

1

3

(t 2) t 1

dt dt

I C C g x x x

t x x

t

Theo định lý Viet ta thấy phương trình g x 0 có hai nghiệm x x1; 2 x1x2  3 Mẫu Cho hàm số f x( ) xác định \{1} thỏa  



2

( ) ;

1 f x

x f(0)3 f(2) 4. Tính giá trị biểu thức P  f( 2) f(5)

Giải Ta có:           

  

 

 

2

2 ln( 1)

( ) ( )d d ln

2 ln(1 ) 1

x C x

f x f x x x x C

x C x

x

Do             

       

   

2

1

2 ln(1 0)

(0) ln( 1)

( )

(2) ln(2 1) ln(1 )

C C

f x x

f x

f C C x x

Khi đó: P  f( 2) f(5)2 ln[1 ( 2)] 3     2 ln(5 1) 4    ln ln 7. 

Câu 72: (Đề tham khảo – Bộ GD & ĐT năm 2018 – Câu 37)Cho hàm số f x( ) xác định   

 

1 \

2 thỏa mãn  



2

( ) ;

2

f x

x f(0) 1 f(1) 2. Tính P  f( 1) f(3)

A P 4 ln15 B P 2 ln15 C P 3 ln15 D Pln15

Lời giải

Chọn C

Ta có:

   

 

      

    



 

2

1 ln(2 1)

2 2

( ) ( )d d ln

1

2

ln(1 )

x C x

f x f x x x x C

x

x C x

Do



  



     

  

   

        

      



2

1

1 ln(2 1)

ln(1 0)

(0) 2

( )

(1) ln(2 1) 1

ln(1 )

x x

C C

f

f x

f C C

x x

Khi đó: P  f( 1) f(3)ln 1  ln 2 ln15 3.

Câu 73: Cho hàm số f x( ) xác định \{1} thỏa  



1

( ) ,

1 f x

x f(0) 2017,



(2) 2018

f Giá trị biểu thức T f(3) 2018     f( 1) 2017 A 1 ln 2 B 2ln C ln 22 D 1

Lời giải

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Ta có:           

  

 

 

2

ln( 1) 1

( ) ( )d d ln

ln(1 ) 1

x C x

f x f x x x x C

x C x

x

Do        

    

  

2

1

ln(1 0) 2017 2018 (0) 2017

(2) 2018 ln(2 1) 2018 2017

C C

f

f C C

Khi đó: T f(3) 2018     f( 1) 2017

      

 

ln 1 2018 2018 ln 1    1 2017 2017 

 

ln 2.ln ln

Câu 74: Cho y f x( ) xác định \{2} thỏa mãn  



1

( ) ;

3

f x

x 

4 (0) ln

3

f

4

(3) ln 3

f Tính P  f( 7) f(11)

A Pln162 B Pln18 C P2ln D P 3 ln

Lời giải

Chọn A

Ta có:

   

 

      

    



 

2

1

ln( 2)

1 3

( ) ( )d d ln

1

3

ln(2 )

x C x

f x f x x x x C

x

x C x

Do

       

  

  

  

        

  

  

2

1

4 4

(0) ln ln(2 0) ln ln

3 3

4 4

(3) ln ln(3 2) ln ln ln

3 3

f C C

f C C

   



  

    



1

ln( 2) ln

3

( )

1

ln(2 ) ln ln

3

x x

f x

x x

Khi đó:              

   

1 4

( 7) (11) ln[2 ( 7)] ln ln ln(11 2) ln

3 3

P f f

4ln ln ln162 

Câu 75: Cho hàm số f x( ) xác định * thỏa mãn f x( ) 12 ,

x f( 1) 1,  f(1) 0



(2)

f Giá trị biểu thức f( 2)

A 1 2ln 2 B 2 ln 2 C 3 ln 2 D ln

Lời giải

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Ta có:       

2

1

( ) ( )d d

f x f x x x C

x

x

Suy          

 

 

( ) ( )d +C d ln

f x f x x x x Cx C

x

   

     



1

ln

ln( )

x Cx C x

x Cx C x

Do

 

       

   

         

  

       

  

2

1

1

ln1 1 ln

( 1)

(1) ln1 1 ln

(2) ln 2 ln

C C C

f

f C C C

f C C C

   

  

     



ln ln ln ( )

ln( ) ln ln

x x x

f x

x x x

Khi đó: f( 2)  ln 2ln ln 2ln 2    

Câu 76: Cho hàm số f x( ) xác định \{2} thỏa f x( ) 2x4 , f(1) 1 f(3) 2

Giá trị biểu thức f( 1)  f(4) bao nhiêu?

A 6 B 2 C 14 D 0

Lời giải

Chọn A Ta có:

 

 

  

 

    

 





   d

( ) ( )d d

4 d

x x x

f x f x x x x

x x x

   

  

  



2

1

2

4

4

x x C x

x x C x

Do         

       

  

2

2

2

1

4.1 1

(1)

(3) 4.3 C

C C

f

f C

   



  

  



2

2

4 ( )

4

x x x

f x

x x x

Khi đó: f( 1)  f(4)4 1     1 22424.4 1   6

Câu 77: Xét hàm số y f x( ) xác định \{1}, có f(0)2 f(2) 1. Biết hàm số

  



( ) ax b f x

x c có đồ thị đường cong hình vẽ Tính giá trị f( 1)  f(3) A f( 1)  f(3) 2ln 2 B f( 1)  f(3) 6

C f( 1)  f(3) 2ln 2  D f( 1)  f(3) 2ln 2 

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Chọn D

Từ đồ thị hàm số   



( ) ax b f x

x c ta thấy: Đồ thị qua gốc tọa độ b0  ( )  ax f x

x c Mà  



( ) ax f x

x c có đồ thị hình vẽ nên a0, suy

đồ thị có đường tiệm cận đứng đồ thị x c đường tiệm cận ngang ya Từ đồ thị ta thấy đồ thị có đường tiệm cận đứng x1; đường tiệm cận ngang y1

Suy a1 c 1 Vậy  



( )

1 x f x

x

Ta có:           

   

  

( ) ( )d d d ln

1

x

f x f x x x x x x C

x x

    

     



1

ln( 1) ln(1 )

x x C x

x x C x

Do  

 

       

  

 

    

   

  

2

2

0 ln

(0)

(2) ln 1

C C

f

f C C  

    

  

   



ln( 1) ln(1 )

x x x

f x

x x x

Khi f( 1)  f(3)   ln 1   1 2 3 ln 1      1 ln Mẫu Hàm số F x( ) liên tục , nguyên hàm hàm số    

 

2

3

( )

5cos

x x

f x

x x Biết

rằng   

 2 (1)

F F Giá trị biểu thức    

 

(2)

T F F bao nhiêu?

Lời giải

Ta có:      

 





2

5

( ) ( )d

5sin

x x C x

F x f x x

x C x

Theo đề            

   

3

2 2

(1) 5sin 5.1

2

F F C C C C (1)

Vì hàm số F x( ) liên tục nên liên tục điểm x0, tức có:

 

0  0   

lim ( ) lim ( ) (0)

x F x x F x F C C

nên kết hợp (1)C1C2 1 Suy ra:     

 



3

5

( )

5sin

x x x

F x

x x

Do đó:          

     

3

(2) 2 5.2 5sin 22

6

T F F

Câu 78: Biết F x( ) liên tục , nguyên hàm hàm số    

 



2

3

3

( )

4 18

x x

f x

x x

Giá trị biểu thức F( 1) F(3)

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Lời giải

Chọn B

Ta có:      

  





4

2

2

( ) ( )d

18

x x C x

F x f x x

x x C x

Vì hàm số F x( ) liên tục nên liên tục điểm x2, tức có:

 

2  2        1  

lim ( ) lim ( ) (2) 12 20 32

x F x x F x F C C C C

Do đó: F( 1) F(3) 1 18C2  27 6 C1  14 C1C2  14 32 18

Câu 79: Cho hàm số   

 



2 ( )

3

x x

f x

x x có nguyên hàm hàm số F x( ) thỏa mãn F(0) 1

và F x( ) liên tục Giá trị T  F( 1) F(2)

A 7 B 5 C 8 D 6

Lời giải

Chọn B

Ta có:     

  





3

2

khi

( ) ( )d

x C x

F x f x x

x x C x

Theo đề F 0  1 C2 1 (1)

Vì hàm số F x( ) liên tục nên liên tục điểm x1, tức có:

 

1  1    

lim ( ) lim ( ) (1)

x F x x F x F C C

nên kết hợp   

 

2

1

1 (1)

0

C C

Suy ra:   

  



2

3

khi

( )

1

x x

F x

x x x

Do đó:           2 

( 1) (2) 1

T F F

Câu 80: Biết F x( ) liên tục , nguyên hàm hàm số    

 



sin cos ( )

2( 1)

x x x x

f x

x x

   

( ) ( 1)

F F Giá trị biểu thức F(2 )  F( 5)

A 17 B 23 C 8 D  1

Lời giải

Chọn A

Ta có:     

  





2

2

sin

( ) ( )d

2

x x C x

F x f x x

x x C x

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

 

0  0   

lim ( ) lim ( ) (0)

x F x x F x F C C

nên kết hợp (1)C1C2 1 Suy ra:    

  



sin

( )

2

x x x

F x

x x x

Do đó: TF(2 )   F( 5) 2 sin 2    1 25 10 1   17

Câu 81: Biết F x  liên tục , nguyên hàm hàm  

 





 

 

  



1

2

2 x x

f x

x x

Biết

   4   1

F F Tính PF    2 F 12

A 20 B 281

16 C 27 D

121

Lời giải

Chọn A  

 

 

 

 

  



1

2

2 x x

f x

x x    

   

   

  



1

2

2

2

khi

x C x

F x x

C x

nguyên hàm f x  Từ suy ra:                 

4

1 2

2 39

4 8

8

F F C C C C

Ta có:              

4

1

4

2 12 2.12 20

8

P F F C C

Câu 82: Cho hàm số y f x  xác định \ 0  thỏa mãn 2xf x x f x2  1 f 1 0

Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y f x  giao điểm với trục hoành A y x B y2x2 C yx D y x

Lời giải

Chọn A

Ta có: 2xf x x f x2   1  x2  f x x f x2   1 x f x2  1 Lây nguyên hàm hai vế ta được:

 

      

 

.dx 1.dx x f x x C

x f x

Lại có: f 1  0 1.f 1     1 C C Từ suy ra:       

2

1

1 x

x f x x f x

x

Xét phương trình hồnh độ giao điểm: x21  0 x

x (thỏa mãn) Ta có: f x' 23x f 1 1

x ; f 1 0

Phương trình tiếp tuyến giao điểm với trục hoành là:     



  1   1

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Câu 83: Cho hàm số y f x  xác định \ 0  thỏa mãn f x xf x 3x2 f 2 8 Phương

trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y f x  giao điểm với trục hoành

A y x B y2x4 C y4x D y  6x 12

Lời giải

Chọn D

Ta có: f x xf x 3x2    x  f x xf x 3x2 xf x ' 3 x2 Lây nguyên hàm hai vế ta được:

 

      

 

d d

x x xf x x C

xf x x

Lại có: f 2  8 2.f 2   8 C 2.8   C C Từ suy ra:       

3

3 8 x

xf x x f x

x

Xét phương trình hồnh độ giao điểm     

3 8

0

x

x

x

Ta có:        

3

2

2

x

f x f

x ; f  2

Phương trình tiếp tuyến giao điểm với trục hoành là:

      



 2 2     2 2    6 12

y f x f y x y x

Câu 84: Cho hàm số y f x  thỏa mãn f x f    x x2 f 2 2 Phương trình tiếp tuyến đồ

thị hàm số g x    f x x2 điểm có hồnh độ

A y7x9 B y x C y4x4 D yx

Lời giải

Chọn A

Ta có: f x f    x x2 Lây nguyên hàm hai vế ta được:

         

       

   3

3 3

.d d d x f x x

f x f x x x x f x f x C C

          

3 2 3

2 8

0

3 3

2

f f C C C

Suy ra:     

3 3

3

f x x

f x x

Vậy g x x2 x g x' 2x1 Ta có: g' 3 7;g 3 12

Phương trình tiếp tuyến đồ thị điểm có hồnh độ là:

      



  3  7  3 12 7 9

y g x g y x y x

Câu 85: Cho hàm số y f x  thỏa mãn f x    f x ex f 0 2 Phương trình tiếp tuyến đồ

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

A y x B ye2x4 C ye2x2 D y x

Lời giải

Chọn C

Ta có:     ex

f x f x

Nhân vế với ex ta được: exf x exf x  1 exf x 1 Lây nguyên hàm hai vế ta được:

 

        

 e x d 1.d e x

f x x x f x x C

 0  2  0    0

f f C C

Suy ra: e    2   2 2 e     3 e e

x x x

x

x

f x x f x x f x x

Xét phương trình hồnh độ giao điểm x2 e x    0 x Ta có: f      2 e 2 e2; f  2

Phương trình tiếp tuyến đồ thị điểm có hồnh độ là:

 



 

e

y x

Câu 86: THIẾU

Câu 87: Cho hàm số y f x  thỏa mãn f x  f x' ex, x f 0 2 Tất nguyên

hàm f x e  2x A  2 x x

x e e C B  2 2x x

x e e C C  1 x

x e C D  1 x

x e C

Lời giải

Chọn D

                 

' x x x ' x ' x

f x f x e e f x e f x e f x e f x x C

Mà f 0 2, suy   2

x

x f x

e

                

  2   

2 2

x x x x x x

x

x

f x e dx e dx x e dx x d e x e e dx

e

   

 2 x   x 1 x

x e e C x e C

Câu 88: Cho hàm số y f x  thỏa mãn f2 x 2 x f x f x    ' 5 ,x f x4  0 f 1 1 Phương

trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y f x tại điểm M có hồnh độ x2 A y2x1 B y x

C y4x4 D yx

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Chọn C

            

2 4

2 ' ' 10

f x x f x f x x f x x f x f x x

 

   

    5

2 x f x ' 10x x f x 2x C

Mà f 1  1 2.1 2   C C 0, suy f2 x x4  f x x2    

' , '

f x x f

Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M có hồnh độ x2

   

4  2 4 4

y x f x

Câu 89: Cho hàm số y f x  xác định liên tục thỏa mãn điều kiện f x   0, x ,

   2   

' x ,

f x e f x x  0 

f Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh độ x0 ln

A 2x9y2ln 0  B 2x9y2ln 0  C 2x9y2ln 0  D 2x9y2ln 0 

Lời giải

Chọn A

 

 x ,f x 0, f x'  e fx 2 x  f x2'    ex  1   ex C

f x

f x

Mà  0 1

f suy C 1  



1

x

f x

e

 

   

 

  



2

' ' ln

9

x x

e

f x f

e

,  ln 

f

Phương trình tiếp tuyến hồnh độ x0 ln là:

 

 2 ln  1 9 2 ln 0 

9

y x x y

Câu 90: Cho hàm số y f x  liên tục, nhận giá trị dương 0; thỏa mãn f 1 1,

  '  1,  0

f x f x x x Mệnh đề sau đúng?

A 2 f 5 3 B 1 f 5 2 C 4 f 5 5 D 3 f 5 4

Lời giải

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Vì f x 0 f x  f x'  3x1 ta suy  

   

' 1

3

f x

f x x

 

        

 '  ln

3

f x x

dx dx f x C

f x x

Mà f 1 1 suy 4

C    

2 3 1

3 x

f x e   

4

5 3,79

f e

Câu 91: Cho hàm số y f x  liên tục đoạn 0; 3 thỏa mãn f x  1,f 0 0,

   

  

2

1 '

x f x x f x Giá trị f 3

A 0 B 3 C 7 D 9

Lời giải

Chọn B

Vì f x 0 f x  f x'  3x1 ta suy  

   

' 1

3

f x

f x x

 

        

 '  ln

3

f x x

dx dx f x C

f x x

Mà f 1 1 suy 4

C    

2

3

3 x

f x e   

4

5 3,79

f e

Câu 92: Cho hai hàm số y f x( ) yg x( ) khơng âm, có đạo hàm đoạn [1; 4] thỏa hệ thức

 

(1) (1) 4,

f g g x( ) x f x ( ) f x( ) x g x ( ). Giá trị f(4)g(4) A 1 B ln C ln D 2ln

Lời giải

Chọn A

Ta có g x( ) x f x ( ) f x( ) x g x ( )

Suy       

 

   

 

     



( ) 1

( ) ( )

( )

f x g x

f x g x x f x g x

x

f x g x

Từ suy  

      



     

     

 

   

 

4 4 4

1

1 1

( )

( ) 1

ln ln

( ) ( )

d f x g x

f x g x

dx dx x

x

f x g x f x g x

     

         

1

ln f x g x( ) ln ln f g(4) ln f g(1) ln

         

ln f g(4)  0 f g  1 f g 1

Câu 93: Cho hàm số y f x( ) liên tục \{0;1}, thỏa mãn x x( 1) ( )f x  f x( )x2x với

 \{0; 1}

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

A 0, B 0,75 C 13

4 D 4,

Lời giải

Chọn D Ta có

     

 

      



2

( 1) ( ) ( )

1

x x f x f x x x f x f x

x x

       



 



     

     



1

1 1

1

x x x x

f x f x f x

x x x x

x

Suy    



       

    

 

  ln

1 1

x x x

f x dx dx f x x x C

x x x

Mà  1  2 ln 2 2 ln   1 1 ln 2   1

f C C

Do f x   x x1ln x 1 x1  x x1lnx1

x x x x

Ta có (2) 2  1 3ln 3 3 3ln

2 2

f suy 3;  3  9

2 2

a b a b

Câu 94: Cho hàm số y f x( ) có có đạo hàm [1; 2] thỏa f(1) 4 f x( )xf x( ) 2 x33 x2 Giá

trị f(2)

A 5 B 20 C 10 D 15

Lời giải

Chọn B

Chọn f x ax3bx2cx d

Ta có    3  3     2   3

( ) ( ) 3 2

f x xf x x x ax bx cx d x ax bx c x x

Suy

    

    

 

   

 

   

 

3

2 3

0

0

a a a

b b b

c c c

d d

Vậy f x x33x2suy f 2 20

Câu 95: Cho hàm số y f x( ) liên tục (0;) thỏa mãn 2xf x( ) f x( ) 3 x2 x Biết f(1) 0, 5.

Giá trị f(4)

A 24 B 14 C 4 D 16

Lời giải

Chọn D

Ta có ( ) ( ) 3       3

2

x x

xf x f x x x f x f x

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

      

  3  3

2

2

x x

f x x f x x f x

x

Suy        

2

3

2

x x

x f x dx dx x f x C

Mà  1 0.5  1    1

f f C C Do  

2

2

x x

f x Vậy f(4) 16

Câu 96: Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm liên tục , f(0) 0, (0) 0, ( 2) 2 f  f   thỏa mãn hệ

thức f x f x( ) ( ) 18  x2 (3x2x f x) ( ) (6  x1) ( ); f x  Giá trị f( 2)

A 4 B 4 C 24 D 24

Lời giải

Chọn D

      

 

     

2

2

( ) ( ) 18 (3 ) ( ) (6 1) ( )

2 ( ) ( ) 36 2(3 ) ( ) 2(6 1) ( )

f x f x x x x f x x f x

f x f x x x x f x x f x

 

 

  2    

2 ( ) ( )f x f x 2(3x x f x) ( ) 2(6x 1) ( )f x 36x

     

      2   2     

2 36 36

f x x x f x x f x x x f x dx x dx

        

2

2 12

f x x x f x x C

Ta có f 0   0 C

Vậy            

 

  

          

   

2 2 24

2 12 20 96

2

f

f x x x f x x f f

f

Vì ( 2) 2f   suy f  2 24

Câu 97: Cho hàm số y f x( ) liên tục, không âm đoạn [0; /2] thỏa mãn f(0)

  

( ) ( ) cos ( )

f x f x x f x Tìm giá trị nhỏ m giá trị lớn M hàm số y f x( )

trên đoạn   6 2; 

A  21,

m M2 B  5,

2

m M3 C  5,

2

m M D m 3, M2

Lời giải

Chọn A

Ta có      



2

2

( ) ( )

( ) ( ) cos ( ) cos

1 ( ) f x f x

f x f x x f x x

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Suy        



  

2

( ) ( )

cos ( ) sin

1 ( )

f x f x

dx xdx f x dx x C

f x

 1 f x2( )sinx C

Mà f(0) suy C2 Do ta có     2   

1 f x( ) sinx f x sin x sinx Vì f x  không âm



[0; /2] nên ta có    

sin sin

f x x x

Xét hàm số    

sin sin

f x x x đoạn  

6 2; 

Đặt         

   

2

1

sin , ;1 3, ;1

2

t x t f t t t t

Có        

 

 

2

2

0, ;1

2

t

f t t

t t

suy hàm số đồng biến  

 

1 ;1

+     

 

1 21

; 2

2

f f  2 ,  21

2

M m

Câu 98: Giả sử hàm số y f x  liên tục, dương , thỏa mãn f 0 1  

 



 



2

1

f x x

f x x Khi

hiệu T f 2 2f 1 thuộc khoảng

A  2; B  7; C  0;1 D 9;12

Lời giải

Chọn C

Ta có  

        

 

      

 

2

2

1

ln ln ln

2

1

f x x x

f x f x x C

f x x x

Vì f 0 1 nên C0         2

ln ln 1

2

f x x f x x ,

Suy T f 2 2f 1  3 2 0,17

Câu 99: Hàm   



7 cos sin cos sin

x x

f x

x x có nguyên hàm F x  thỏa

 

      

3

4

F Giá trị   

 2 F A 3 11ln 2

4 B





3

4 C





3

8 D





3 ln

Lời giải

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Ta có        

  

7 cos sin cos sin 11 sin cos

cos sin cos sin cos sin

x x x x x x

f x

x x x x x x

Suy        

  

7 cos sin d 3 cos sin d 11 sin cos d

cos sin cos sin cos sin

x x x x x x

F x x x x

x x x x x x

3 11ln cos sin 

2x x x C

Vì              

 

3 11 11

ln ln

4 8

F C C

Vậy      

 

3 11 ln

2 4

F

ĐÁP ÁN ĐỀ RÈN LUYỆN LẦN