Đang tải... (xem toàn văn)
- Tính thể tích vật tròn xoay sinh bởi miền hình phẳng quay quanh trục Ox, Oy. Trang 1.[r]
(1)Chuyên đề: Nguyên hàm – Tích phân Nguyễn Tiên Phong
Mục lục §1 Nguyên hàm
- Định nghĩa - Tính chất
- Bảng nguyên hàm
- Phương pháp đơn giản tính nguyên hàm. §2 Tích phân
- Định nghĩa ý nghĩa - Tính chất
- Phương pháp tính: Phân tích, đổi biến, tích phân phần, liên kết. - Một số dạng tích phân đặc biệt
§3 Tích phân số lớp hàm bản. - Tích phân hàm số hữu tỉ. - Tích phân hàm số lượng giác - Tích phân hàm số vơ tỉ. §4 Ứng dụng tích phân
- Tính diện tích hình phẳng
- Tính thể tích vật trịn xoay sinh miền hình phẳng quay quanh trục Ox, Oy.
(2)Chuyên đề: Nguyên hàm – Tích phân Nguyễn Tiên Phong §1 Ngun hàm
1 Định nghĩa:
Hàm số F x( )gọi nguyên hàm hàm số f x( ) khoảng ( ; )a b với x ( ; )a b ta có: '( ) ( )
F x f x
Nếu thay cho ( ; )a b a b; phải có thêm: F a'( ) f a( ); '( )F b f b( )
Ví dụ: 1) f x( ) 2 xcó ngun hàm F x( ) x2
2) F x( ) tg x nguyên hàm ( ) 12 cos
f x
x
3) f x( ) sin x có nguyên hàm F x( ) cosx 2 Định lý:
Nếu F x( ) nguyên hàm hàm số f x( ) khoảng ( ; )a b thì: - Với số C, F x( )C nguyên hàm f x( )
- Ngược lại, nguyên hàm f x( ) khoảng ( ; )a b có dạng F x( )C
Tất nguyên hàm f x( ) khoảng ( ; )a b gọi họ nguyên hàm f x( ), ký hiệu f x dx( ) Vậy:
3 Tính chất:
1)
'
( ) ( ) f x dx f x
2) af x dx a( ) f x dx( ) 3) f x( )g x dx( ) f x dx( ) g x dx( ) 4) Nếu f t dt F t( ) ( )C f u du F u( ) ( )C u u x, ( )
4 Bảng nguyên hàm:
Nguyên hàm bản Nguyên hàm hàm số hợp
1) dx x C du u C
2)
1
,
x
x dx C
1
, 1
u
u du C
2
2
3) ln
4)
5) ,0
ln 6) cos sin
7) sin cos
8) tg
cos
9) cotg
sin
x x
x x
dx
x C x
e dx e C a
a dx C a
a
xdx x C
xdx x C
dx
x C x
dx
x C x
2
2
3) ln
4)
5) ,0
ln 6) cos sin
7) sin cos
8) tg
cos
9) cotg
sin
u u
u u
du
u C u
e du e C a
a du C a
a
udu u C
udu u C
du
u C u
du
u C u
5 Ví dụ: Các VD sau sử dụng tính chất nguyên hàm nguyên hàm hàm số hợp.
Trang 2
( ) ( )
f x dx F x C
(3)Chuyên đề: Nguyên hàm – Tích phân Nguyễn Tiên Phong 1) x x dxx x 2xC
2 )
2 (
2
2 2)
dx x x C
x
x 2 2ln
4
3) (2ex 5cosx)dx2ex 5sinxC 4) dx x x C
x
x
4sin cos32 4cos 3tg
5)
C x x
x dx x x x dx x
x
x 2 2
5
1
3
1 2
6)
x x C
x d x
dx
1 ln 1
) ( 1
2
7)
C x x x dx x x dx
x x x
1 ln
1
2
2 2
8) x dx x d x sin(3x1)C
1 ) ( ) cos(
1 ) cos(
9) x x dx x d x cos(2x 1)C
1 ) ( ) sin( )
sin( 2 2
10) x 7dx x 7d x (5x3)8C 40
1 ) ( ) ( )
3 (
11) xC
x x d x
dx
3 tg 3 cos
) ( 3
cos2
12) x xdx xd x xC
4 sin ) (sin sin
cos sin
4
3
13)
dx d x C
x x x x
2 ln 2 ) ( 2
1
2
2
14) x dx x 2d x x C
1
) ( ) ( ) (
Bài tập: Tìm nguyên hàm sau.
1
I ) ( I cos
sin sin I
I1 4
x x
dx dx
x x
dx x x
x tgxdx
(4)Chuyên đề: Nguyên hàm – Tích phân Nguyễn Tiên Phong x xdx e e dx e dx e x dx x dx x x dx x dx x x x dx x x x x dx x dx x x dx x x dx x x dx x x x x x dx dx x x x x dx x dx x x e dx e dx x x dx x x dx x dx x x dx a x dx dx x x dx x dx x b x a x x dx x x x x x xdx a a x dx dx x x x x x xdx x xdx x x dx x x dx dx x x xdx x dx x dx x dx dx x x x x x dx xdx x x dx xdx xdx x x x x x x sin cos I ) ( I I ) ( ) ( I ) ( ) ( I ) 11 ( I ) ( I I I ) ( I ) ( I I ) ( I ) ln(ln ln I 1 I I I I I ) )( ( I I I I I ) ( I I cos sin cos sin I cos sin cos sin I cos sin I ) ( I cos sin cos sin I cos sin I sin cos I cos sin I cos sin I ) tg (sin I tg I cos I cos I cos I cos sin cos sin I sin I cos sin I cos I sin I cos I 50 49 48 47 2 46 45 10 44 43 42 100 41 10 40 39 10 38 37 36 35 34 33 32 2 31 30 29 28 2 27 26 25 2 2 24 23 22 2 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 2 10
§1 Tích phân Định nghĩa:
Cho hàm số f x( ) liên tục có nguyên hàm F x( ) đoạn a b; .Tích phân từ a đến b hàm số f x( )
1số, ký hiệu b ( )
a f x dx
,tính theo cơng thức:
Ví dụ: 1)
1 0 3 x
x dx
2) 2
0
0 cosxdx sinx sin 2 sin
3) 1
0
x x
e dx e e e e
Trang 4
( ) ( ) ( ) ( )
b b
a
a f x dx F x F b F a