không gian mêtric - không gian tôpô

Nội dung học phần “Không gian mêtric - Không gian Tôpô” cho phép chúng ta hiểu rõ những vấn đề như:Tập mở, tập đóng, điểm biên, điểm trong, Ánh xạ liên tục, không gian Compact, liên thôn

1 KHÔNG GIAN MÊTRIC 4

1.1 Không gian Mêtric Dãy hội tụ 4

1.1.1 Không gian Mêtric 4

1.1.2 Dãy hội tụ 5

1.2 Tập mở và tập đóng Vị trí tương đối giữa điểm và tập con 6

1.2.1 Tập mở, tập đóng 6

1.2.2 Phần trong và bao đóng của một tập 6

1.2.3 Điểm trong, điểm ngoài, điểm biên 6

1.2.4 Tập trù mật 7

1.3 Ánh xạ liên tục 7

1.4 Không gian mêtric đầy đủ 7

1.4.1 Không gian mêtric đầy đủ 7

1.4.2 Định lý Baire về phạm trù 7

1.5 Không gian mêtric compact 7

1.5.1 Tập compact Tập hoàn toàn bị chặn 7

1.5.2 Các điều kiện tương đương với tính compact 8

2 KHÔNG GIAN TÔPÔ 15 2.1 Tôpô 15

2.1.1 Tôpô Không gian Tôpô 15

2.1.2 So sánh tôpô 15

2.1.3 Cơ sở và tiền cơ sở 15

2.1.4 Lân cận 16

2.1.5 Phần trong và bao đóng 16

2.2 Vị trí tương đối giữa điểm và tập con 16

2.3 Ánh xạ liên tục Không gian con 16

2.3.1 Ánh xạ liên tục 16

2.3.2 Không gian con 17

2.4 Tổng, tích và thương của các không gian 17

2.4.1 Tổng và tổng trực tiếp 17

2.4.2 Tích Descartes 17

2.5 Các tiên đề tách 17

2.6 Không gian compact 18

2.6.1 Định nghĩa 18

2.6.2 Không gian compact địa phương 18

2.6.3 Compact hóa 18

LỜI MỞ ĐẦU

Tôpô là một trong những ngành cơ bản của Toán học hiện đại Nó ra đời vào những năm đầu của thế kỷ XX

Từ đó cho đến nay, Tôpô được nhiều nhà Toán học trên thế giới quan tâm nghiên cứu và phát triển

Nội dung học phần “Không gian mêtric - Không gian Tôpô” cho phép chúng ta hiểu rõ những vấn đề như:Tập mở, tập đóng, điểm biên, điểm trong, Ánh xạ liên tục, không gian Compact, liên thông,

Tiểu luận này trên cơ sở tóm tắt những nội dung chính về lý thuyết “Không gian Mêtric - Không gian Tôpô”.Với hệ thống bài tập nhằm giúp sinh viên đi sâu vào nghiên cứu kỹ hơn phần “Không gian Mêtric” và “Khônggian Tôpô”

Với sự hướng dẫn của TS Nguyễn Thành Chung cùng những tài liệu, giáo trình và bài giảng của Thầy giúptôi hoàn thành được tập tài liệu này

Trong quá trình làm tiểu luận này, tôi đã cố gắng để nội dung của nó ngắn gọn mà vẫn đầy đủ, nhưng dokhả năng có hạn nên chắc chắn có những vấn đề còn thiếu sót mong nhận được sự bổ sung và ý kiến đóng gópcủa thầy cô và các bạn sinh viên để tiểu luận này hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Sinh viên

Tạ Minh Thanh

KHÔNG GIAN MÊTRIC

A LÝ THUYẾT

1.1.1 Không gian Mêtric

Cho X là một tập hợp Một hàm d : X2→ R là một mêtric trên X nếu thỏa mãn các điều kiện:

m1) d(x, y) ≥ 0; d(x, y) = 0 ⇔ x = y

m2) d(x, y) = d(y, x)

m3) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) với mọi x, y, z ∈ X

Không gian mêtric (X , d)là một tập X cùng với một mêtric d trên X Nếu (X , d) là một không gian mêtric

thì mỗi x ∈ X gọi là một điểm và với mọi x, y ∈ X ta gọi d(x, y) là khoảng cách từ x đến y.

= (d(x, y) + d(y, z))2

Từ đó suy ra d(y, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) và ta có m3)

b) Kí hiệu C[a, b] là tập các hàm thực liên tục trên đoạn [a, b] Với mọi x, y ∈ [a, b], đặt:

d(x, y) = max

t∈[a,b]|x(t) − y(t)|

Dễ thấy d thỏa mãn m1) và m2), ta kiểm tra m3)

Với mọi x, y, z ∈ C[a, b] ta có:

d(x, z) − max

t∈[a,b]|x(t) − y(t)| ≤ max

t∈[a,b](|x(t) − y(t)| + |y(t) − z(t)|)

Cho (X , d) là một không gian mêtric Dãy {xn} trong X gọi là hội tụ đến a ∈ M nếu:

lim d(xn, a) = 0, kí hiệu: lim

n∞xn= a; lim xn= a, hoặc xn→ aNếu lim xn= a thì a gọi là giới hạn của dãy xn

Nếu dãy {xn} không hội tụ đến a thì ta kí hiệu xn9 a.

Định lý 1. Giới hạn của một dãy hội tụ trong không gian mêtric là duy nhất

Chứng minh: Giả sử {xn} hội tụ và xn→ a, xn→ a0 Khi đó:

Vì vậy sự hội tụ mêtric Euclide trong Rnchính là sự hội tụ theo tọa độ

b) Xét dãy {xn} và x0∈ C[a, b] theo mêtric hội tụ đều ta có lim xn= x0

⇔ ∀ε > 0, ∃n0, ∀n > n0đều có d(xn, x0) < ε

⇔ maxt∈[a,b]|xn(t) − x0(t)| < ε

⇔ |xn(t) − x0(t)| < ε với mọi t ∈ [a, b]

⇔ dãy hàm {xn} hội tụ đều đến x0trên [a, b]

1.2 Tập mở và tập đóng Vị trí tương đối giữa điểm và tập con.

1.2.1 Tập mở, tập đóng.

Cho (X , d) là một không gian mêtric Với mỗi a ∈ và ε > 0, đặt B(a, ε) = {x ∈ X |d(x, a) < ε}

B(a, ε) gọi là hình cầu mở tâm a, bán kính ε hay ε-lân cận của a Tập con G của X gọi là tập mở nếu mọi

a∈ G, tồn tại ε > 0 sao cho B(a, ε) ⊂ G

Tập con F của X gọi là tập đóng nếu X \ F là tập mở.

Định lý 3. Trong họ các tập con của một không gian mêtric X ta có:

a) φ và X là tập mở

b) Hợp tùy ý các tập mở là tập mở

c) Giao hữu hạn các tập mở là tập mở

Ví dụ 3. Mọi a không thuộc không gian mêtric X và số r > 0, hình cầu mở B(a, r) là tập mở

Thật vậy, mọi x ∈ B(a, r) ta sẽ chỉ ra có ε > 0 sao cho B(x, ε) ⊂ B(a, r), chọn ε = r − d(x, a) Khi đó ε > 0

và mọi y ∈ B(x, ε) ta có:

d(y, a) ≤ d(y, x) + d(x, a)

≤ (r − d(x, a) + d(x, a) = r

Từ đó y ∈ B(a, r) Vậy B(x, ε) ⊂ B(a, r)

1.2.2 Phần trong và bao đóng của một tập.

Cho A là một tập con của không gian mêtric X Khi đó ta gọi hợp của tất cả các tập con mở của X được

chứa trong X là phần trong của A, kí hiệu làA.0

Giao của tất cả các tập con đóng của X chứa A là bao đóng của A, kí hiệu là A.

1.2.3 Điểm trong, điểm ngoài, điểm biên.

Cho không gian mêtric X và tập con của X

+) Điểm x ∈ X gọi là điểm trong của A nếu tồn tại ε > 0 sao cho B(x, ε) ⊂ A.

+) Điểm x ∈ X gọi là điểm ngoài của A nếu tồn tại ε > 0 sao cho B(x, ε) ⊂ X \ A.

+) Điểm x ∈ X gọi là điểm biên của A nếu tồn tại ε > 0 đều có A ∩ B(x, ε) 6= /0 và (X \ A) ∩ B(x, ε) 6= /0 Tập tất cả các điểm biên của A, kí hiệu ∂ A và gọi là biên của A.

1.2.4 Tập trù mật.

+) Tập con A của không gian mêtric X gọi là trù mật trong X nếu A = X

+) Tập con A của không gian mêtric X gọi là không đâu trù mật nếu (A)0= /0

+) Không gian mêtric X gọi là khả li nếu X có một tập con A đếm được và trù mật trong X

Định nghĩa ánh xạ liên tục. Cho hai không gian mêtric (X , d) và (Y, p) Một ánh xạ f : X → Y gọi là liêntục tại x0∈ X nếu mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho d(x, x0) < δ thì p( f (x), f (x0)) < ε

Ánh xạ f gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi x ∈ X

Ánh xạ f gọi là liên tục đều trên X nếu moi ε > 0, tồn tại δ0> 0 sao cho với x1, x2∈ X, d(x1, x2) < δ0thìp( f (x1), f (x2)) < ε

Định lý 4. Ánh xạ f : X → Y liên tục tại x0∈ X nếu và chỉ nếu mọi dãy {xn} ⊂ X, xn→ x0đều có

f(xn) → f (x0)

1.4.1 Không gian mêtric đầy đủ.

Cho (X , d) là một không gian mêtric Một dãy {xn} trong X gọi là dãy Cauchy (hay dãy cơ bản) nếu mọi

ε > 0, tồn tại n0sao cho d(xn, xm) < ε với mọi m, n ≥ n0 Điều này được viết dưới dạng giới hạn là:

d(xn, xm) → 0 khi n, m → ∞Không gian mêtric gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ

Không gian không thuộc phạm trù thứ nhất gọi là thuộc phạm trù thứ hai

Định lý 5 (Định lý Baire về phạm trù). Mọi không gian mêtric đầy đủ đều thuộc phạm trù thứ hai

1.5.1 Tập compact Tập hoàn toàn bị chặn.

Cho không gian mêtric X , tập con A của X gọi là tập compact nếu mọi dãy {xn} trong A đều có một dãycon {Xnk} hội tụ đến một điểm thuộc A

Tập con A gọi là compact tương đối nếu bao đóng A là tập compact trong X

Ví dụ 4. Với mọi a, b ∈ R, a < b, [a, b] là tập compact, (a, b) là tập compact tương đối; [a, b]∩Q là tập compacttương đối.

+) Tập con A của X gọi là tập bị chặn nếu đường kính của A:

d(A) = sup{d(x, y)|x, y ∈ A} < ∞Với mọi hình cầu B(x, r) trong không gian mêtric ta có:

d(B(x, r)) ≤ 2r+) Tập con A của X gọi là tập hoàn toàn bị chặn nếu mọi ε > 0, tồn tại hữu hạn điểm x1, x2, , xn∈ X saocho:

A⊂

n[

i=1

B(xi, ε)

Chú ý:

Mọi tập hoàn toàn bị chặn là bị chặn

Một tập bị chặn có thể không hoàn toàn bị chặn

1.5.2 Các điều kiện tương đương với tính compact.

α}α ∈Icủa A đều có một phủ mở con hữu hạn

Định lý 7. Cho ánh xạ f : X → Y liên tục và K là một tập con compact của X Khi đó f (K) là tập compactcủa Y

Chứng minh: Lấy tùy ý dãy {yn} ⊂ f (K) Chọn xn∈ K sao cho f (x0) = ynta được dãy {xn} ⊂ K Do Kcompact nên có dãy con {xnk}, xnk→ x0∈ K Vì f liên tục nên:

(A ∩ B)0⊂ B0 ⇒ (A ∩ B)0⊂ A0∩ B0;Mặt khác ta có: A0∩ B0⊂ A ∩ B và A0∩ B0là tập mở nên A0∩ B0= (A ∩ B)0.

Bài 2. Cho U,V là các tập mở không giao nhau của không gian mêtric X Chứng minh U ∩V = U ∩V = /0

Giải: Theo giả thiết ta có: U ∩V = /0 ⇒ U ⊂ X \V , vì V mở ⇒ X \V đóng ⇒ V ⊂ X \U ⇒ V ∩U = /0.Vậy U ∩V = V ∩U = /0 (đpcm)

Bài 3. Cho không gian mêtric X và tập con A của X Với mọi x ∈ X , đặt d(x, A) = inf{d(x, y)|y ∈ A} Chứngminh rằng:

• ∀ε > 0, ∀a ∈ A : d(a, b) < ε (Lấy ε = 1/n, n ∈ N)

Theo tính chất mêtric ta có: d(x, b) ≤ d(x, a) + d(a, b)

Bài 4. Với mọi a thuộc không gian mêtric X và r > 0 ta gọi tập B0(a, r) = {x ∈ X |d(x, a) ≤ r} là hình cầuđóng tâm a, bán kính r.

a) Chứng minh hình cầu đóng là tập đóng, B(a, r) ⊂ B0(a, r)

b) Cho một ví dụ B(a, r) 6= B0(a, r)

Vậy B(x, ε) ⊂ X \ B0(a, r) hay X \ B0(a, r) mở

b) Xét X là không gian mêtric rời rạc có nhiều hơn một điểm

+) Tương tự nếu x ∈ B thì x 6∈ A (vì B ∩ A = /0) nên f (x) > 0, tức là x ∈ V Vậy B ⊂ V

Bài 6. Kí hiệu l1là tập các dãy số x = {xk} có ∑∞

k=1

|xk| < ∞ Với x = {xk}, y = {yk} thuộc l1, đặtd(x, y) = ∑∞

Vậy d là một mêtric trên l1.

b) Giả sử {x(n)}, x(n)= {x(n)k } là dãy Cauchy, tức là d(x(n), x(m)) = ∑∞

n=1

|x(n)k − x(m)k | → khi m, n → ∞ Suy ravới mỗi k, {x(n)k } là dãy số Cauchy Vì vậy x(n)k → x(0)k

Đặt x(0)= x(0)k , ta có x(0)∈ l1 Vậy l1đầy đủ Kí hiệu Dnlà tập các dãy {xk} các số hữu tỉ và xk= 0 vớimọi k > n Khi đó Dnlà tập các dãy {xk} các số hữu tỉ và xk= 0 với mọi k > n Khi đó Dn⊂ l1và Dn

b) Ta chứng minh (l∞, d) là không gian mêtric đầy đủ:

Giả sử {x(n)}, x(m)= {x(m)k } là dãy Cauchy, tức là d(x(n), x(m)) = sup

k

|x(n)k − x(m)k | → 0 khi m, n → ∞.Suy ra với mỗi k, {x(n)k } là dãy Cauchy Vì vậy x(n)k → x(0)k Đặt x(0)= {x(0)k }, ta có x(0)∈ l∞và x(n)→ x(0).Vậy l∞đầy đủ

Ta chứng minh l∞không khả li Gọi A là tập các dãy nhận hai giá trị 0 và 1 Khi đó A không đếm được và

A⊂ l∞ Gọi D là một tập bất kì trù mật trong l∞ Với mọi a ∈ A, lấy cố định da∈ D sao cho d(a, da) <1

2.Nếu a, b ∈ A, a 6= b thì tồn tại n sao cho an6= bn Ta giả sử an= 0, bn= 1, khi đó da<1

2, d

a>1

2, tức là

da6= db Vậy ánh xạ a → datừ A vào D là đơn ánh Vì A không đếm được nên D không đếm được

Bài 8. Cho (X1, P1) và (X2, P2) là hai không gian mêtric Với mọi x = (x1, x2), y = (y1, y2) thuộc X1× X2, đặt:

Do đó các mêtric đó tương đương đều

b) Giả sử {x(n), c(n)− (x(n)1 , x(m)2 )} là dãy Cauchy (dãy hội tụ trong X ) ⇔ {x(n)1 } là dãy Cauchy (dãy hội tụ)trong X1, {x(n)2 } là dãy Cauchy (dãy hội tụ) trong X2

Bài 9. Cho X là một không gian mêtric đầy đủ {Gn} là một dãy các tập con mở của X, mỗi Gntrù mật trong

X Chứng minh

∞Tn=1

Gntrù mật trong X

Giải. Ta chứng minh mọi tập mở W 6= /0 của X đều có W ∩ (

∞Tn=1

G∞) 6= /0 Do W ∩ G1là mở và khác rỗng nêntồn tại B(x1, r1):

B(x1, rn) ⊂ W ∩ G1, 0 < r1< 1

Bằng quy nạp với mọi n có B(xn, rn) sao cho:

B(x1, r1) ⊂ B(xn−1, rn−1) ∩ Gn, 0 < rn<1

n

Vì {xn} là dãy Cauchy nên xn→ x0

Do mọi n ≥ N thì xn∈ B(xN, rN) nên x0∈ B(xN, rN) ⊂ W ∩ GNvới mọi N

Giải. Xét a, b ∈ X Đặt an= fn(a), bn= fn(b) Vì X compact nên ta có dãy tăng {nk} ⊂ N sao cho

{ank} và {bnk} hội tụ Vì các dãy hội tụ là dãy Cauchy nên mọi ε > 0 tồn tại các chỉ số nk, n1 sao chod(ank, an1) < ε, d(bnk, bn1) < ε và m = n1− nk≥ 2 Theo giả thiết về f ta có d(a, am) < ε và tương tự ta

có d(b, bm) ≤ d(a1, am+1) ≤ ≤ d(ank, an1) Vậy d(a, am) < ε và tương tự ta có d(am, bm< ε

Vì d( f (a), f (b)) ≤ d( fm(a), fm(b)) = d(am, bm)

≤ d(am, a) + d(a, b) + d(b, nm) < d(a, b) + 2ε

Nên suy ra d( f (a), f (b)) = d(a, b) Từ đó f là phép đẳng cự X lên f (X ) Ta còn phải chứng minh f (X ) = X

Vì X compact nên f (X ) compact và do đó là đóng Với mội a ∈ X và mọi ε > 0 ta có am∈ f (X) đểd(a, am) < ε nên f (x) trù mật trong X f (x) đóng và trù mật trong X nên f (X ) = X

Bài 11. Cho X là không gian mêtric compact và f : X → X là ánh xạ thỏa mãn d( f (x), f (y)) < d(x, y) với mọi

x, y ∈ X Chứng minh f có một điểm bất động duy nhất Cho ví dụ chứng tỏ X đầy đủ nhưng không compactthì kết quả không còn đúng

Giải. Dễ thấy hàm f liên tục đều Đặt ϕ(x) = d(x, f (x)) ta được một hàm liên tục trên X Giả sử trái lại fkhông có điểm bất động, khi đó ϕ(x) > 0 với mọi x nên tồn tại x0sao cho ϕ(x0) = inf

x∈Xd(x, f (x)) = r > 0 Đặt

x1= f (x0) ta có:

r≤ d(x1, f (x1)) < d(x0, f (x0)) = r

là mẫu thuẫn Vậy f có điểm bất động

Xét ánh xạ f : R → R, f (x) =π2− arctan x + x Vì phương trình f (x) = x ⇔ arctan x = π

2 vô nghiệm nên fkhông có điểm bất động theo định lý Lagrange

| f (x) − f (y)| = | arctan y − arctan x + x − y|

=

x− y − 1

1 + φ2(x − y)

=

φ2

1 + φ2(x − y)

= φ

2

1 + φ2|x − y| < |x − y| với mọi x ≥ yVậy | f (x) − f (y)| < |x − y| với mọi x, y ∈ R, x 6= y nhưng f không có điểm bất động

Cũng có thể lấy ví dụ khác là: X = [2, ∞), f (x) = x +1

x

Bài 12. Chứng minh hợp một số hữu hạn tập compact là một tập compact

Ai⊂

n[

KHÔNG GIAN TÔPÔ

A LÝ THUYẾT.

2.1.1 Tôpô Không gian Tôpô.

Cho một tập X , một họ τ các tập con của X gọi là một tôpô trên X nếu thảo mãn các điều kiện:

(τ1) X và /0 thuộc τ;

(τ2) Hợp của tùy ý các tập thuộc τ là thuộc τ;

(τ3) Giao của hữu hạn các tập thuộc τ là thuộc τ

+) Một tập X cùng một tôpô trên X gọi là một không gian tôpô Để chỉ rõ τ là tôpô của không gian X ta viết

b) Với mọi tập X , họ { /0, X } là một tôpô trên X , gọi là tôpô tầm thường Tập X với tôpô tầm thường gọi là

không gian tôpô tầm thường

2.1.2 So sánh tôpô.

Cho hai tôpô τ1và τ2trên X Nếu τ1⊂ τ2thì ta nói τ1yếu hơn τ2hoặc τ2mạnh hơn τ1

2.1.3 Cơ sở và tiền cơ sở.

- Cho τ là một tôpô trên X Một họ con β của τ gọi là một cơ sở của τ nếu một tập thuộc τ đều bằng hợp

của một họ các tập thuộc β Nói cách khác, họ con β của τ là cơ sở của τ nếu mọi G ∈ τ mọi x ∈ G tồntại V ∈ β sao cho x ∈ V ⊂ G

- Một họ con τ1của τ gọi là tiền cơ sở của τ nếu họ tất cả các giao hữu hạn các tập thuộc τ1là một cơ sởcủa τ.

2.1.4 Lân cận.

Cho X là một không gian tôpô và x ∈ X Tập con V của X được gọi là một lân cận V của x là tập mở thì V

gọi là lân cận của x

Ví dụ 2.

a) Họ tất cả các tập mở chứa x là một cơ sở lân cận của x

b) Trong không gian rời rạc, tập một điểm {x} là cơ sở lân cận của x

2.1.5 Phần trong và bao đóng.

Cho X là một không gian tôpô và tập con A của X Ta gọi phần trong của A hợp của tất cả các tập mở được

chứa trong A, kí hiệu là A0 A0là tập mở lớn nhất chứa trong A; A ⊂ B thì A0⊂ B0và A mở nếu và chỉ nếu

- Tập con A của X gọi là không đâu trù mật nếu (A)0= /0

Cho không gian tôpô X , tập con A của X và điểm x thuộc X

- Điểm x được gọi là điểm trong của A nếu x có một lân cận V sao cho V ∩ A.

- Điểm x gọi là điểm ngoài của A nếu x có một lân cận V sao cho V ∩ A = /0.

- Điểm x gọi là điểm biên của A nếu mọi lân cận V của x đều có V ∩ A = /0 và V ∩ (X \ A) = /0.

Tập tất cả các điểm biên của A gọi là biên của A, kí hiệu ∂ A

2.3.1 Ánh xạ liên tục.

Cho X và Y là các không gian tôpô và ánh xạ f : X → Y Ánh xạ f gọi là liên tục tại x ∈ X nếu mọi lân cận

V của f (x) trong Y đều tồn tại lân cận U của x trong X sao cho f (U ) ⊂ V , hay f−1(V ) là lân cận của x.Ánh xạ gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi x ∈ X

... Một tập X tôpô X gọi không gian tôpô Để rõ τ tôpô không gian X ta viết

b) Với tập X , họ { /0, X } tôpô X , gọi tôpô tầm thường Tập X với tôpô tầm thường gọi

không gian tôpô tầm...

- Tập A X gọi không đâu trù mật (A)0= /0

Cho không gian tôpô X , tập A X điểm x thuộc X

- Điểm x gọi điểm A x có lân cận V cho V ∩ A.

- Điểm... class="page_container" data-page="14">

Ai⊂

n[

KHÔNG GIAN TÔPÔ

A