Suy luận toán học

Suy luận toán học Bởi unknown Tổng quan về suy luận toán học & các phương pháp chứng minh Mục tiêu của chương Học xong chương này, sinh viên phải nắm bắt được các vấn đề sau Khái niệm về suy luận toán[.]

Suy luận toán học Suy luận toán học Bởi: unknown Tổng quan suy luận toán học & phương pháp chứng minh Mục tiêu chương Học xong chương này, sinh viên phải nắm bắt vấn đề sau: - Khái niệm suy luận toán học - Các phương pháp chứng minh biết vận dụng phương pháp để chứng minh toán cụ thể Kiến thức cần thiết Các kiến thức chương bao gồm: - Các phép tốn đại số, hình học để đưa ví dụ minh họa phương pháp - Hiểu rõ qui tắc phép kéo theo chương Tài liệu tham khảo Phạm văn Thiều, Đặng Hữu Thịnh Toán rời rạc ứng dụng tin học Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội - 1997 (chương 3, trang 208 - 228) Nội dung cốt lõi - Khái niệm suy luận toán học - Trình bày phương pháp chứng minh bao gồm: Chứng minh rỗng Chứng minh tầm thường 1/21 Suy luận toán học Chứng minh trực tiếp Chứng minh gián tiếp Chứng minh phản chứng Chứng minh qui nạp Suy luận toán học Khái niệm Suy luận xem tảng xây dựng nên ngành khoa học tự nhiên Từ xưa đến nay, nhờ suy luận mà người ta nhận thức chưa biết từ biết Suy luận sở sáng tạo Từ phán đoán, đưa đến chứng minh để chấp nhận hay bác bỏ vấn đề Suy luận tốn học dựa tảng phép toán mệnh đề, chủ yếu phép kéo theo Để chứng minh vấn đề đó, thông thường người ta phải xác định điểm ban đầu (có thể gọi giả thiết) điểm kết thúc (gọi kết luận) Quá trình từ giả thiết đến kết luận gọi trình chứng minh trình đươc thực thi cách gọi phương pháp chứng minh Các phương pháp chứng minh quan trọng khơng chúng thường sử dụng tốn học mà cịn áp dụng nhiều tin học Ví dụ, kiểm tra tính đắn chương trình, hệ điều hành, xây dựng luật suy diễn lĩnh vực trí tuệ nhận tạo Do đó, cần phải nắm vững phương pháp chứng minh Tuy nhên, có phương pháp chứng minh dựa sở mệnh đề (hằng đúng) có phương pháp chứng minh sai Các phương pháp chứng minh sai cố ý vô ý Khi phương pháp chứng minh dựa sai mang lại kết sai người ta cho gọi cố ý Đơi có phương pháp chứng minh dựa tiếp liên (có mệnh đề có lúc sai) mà người ta tưởng lầm nên cho kết trường hợp gọi vô ý (hay ngộ nhận) Sau đây, tìm hiểu qui tắc suy luận Các qui tắc suy luận Như giới thiệu trên, suy luận có dùng qui tắc suy diễn gọi suy luận có sở Khi tất suy luận có sở dẫn đến kết luận Một 2/21 Suy luận tốn học suy luận có sở dẫn đến kết luận sai mệnh đề dùng suy diễn sai Sau bảng qui tắc suy luận Trong phân số qui tắc giả thiết viết tử số, kết luận viết mẫu số Kí hiệu ?có nghĩa "vậy thì", "do đó", Ví dụ : Qui tắc suy luận sở suy diễn sau : • " Nếu hơm trời mưa ta khơng đến, Nếu ta khơng đến ngày mai ta đến, Vậy thì, hơm trời mưa ngày mai cô ta đến." Đây suy diễn dựa qui tắc tam đoạn luận giả định • "Nếu hơm tuyết rơi trường đại học đóng cửa Hơm trường đại học khơng đóng cửa Do đó, hơm khơng có tuyết rơi " 3/21 Suy luận tốn học Đây suy diễn dựa qui tắc Modus Tollens • " Alice giỏi tốn Do đó, Alice giỏi toán tin" Đây suy diễn dựa qui tắc cộng Ngụy biện Các phương pháp chứng minh sai gọi ngụy biện Ngụy biện giống qui tắc suy luận không dựa mà tiếp liên Đây khác suy luận suy luận sai Loại suy luận sai gọi ngộ nhận kết luận Ví dụ : Xét xem suy diễn sau có sở khơng ? " Nếu bạn giải hết tập sách tốn rời rạc bạn nắm vững logic Bạn nắm vững logic bạn giải hết tập sách toán rời rạc này" Nhận thấy suy diễn dựa mệnh đề sau : ((P→Q) ^ Q) → P Trong đó: P = "Bạn giải hết tập sách toán rời rạc 2" Q = "Bạn nắm vững logic" Mệnh đề ((P→Q) ^ Q) → P sai P F Q T Do đó, suy diễn khơng hồn tồn có sở Bởi vì, Q T nghĩa bạn nắm vững logic không bạn giải hết tập sách toán rời rạc mà giải sách khác (P F) Giới thiệu phương pháp chứng minh Như giới thiệu phần trên, toán cần chứng minh thơng thường có hai phần giả thiết kết luận Việc giả thiết, kết luận giúp cho việc chứng minh dễ dàng thông qua việc sử dụng phương pháp chứng minh thích hợp Do đó, phương pháp chứng minh dạng tốn có liên quan đến mệnh đề kéo theo Vậy, trước tìm hiểu phương pháp chứng minh, xem lại bảng chân trị mệnh đề P kéo theo Q ( với P giả thiết Q kết luận) Các trường hợp để 4/21 Suy luận toán học cho mệnh đề P kéo theo Q là phương pháp để chứng minh toán Nhận thấy rằng, P→Q có trường hợp Các trường hợp phương pháp chứng minh trình bày Trước vào phương pháp chứng minh, có khái niệm mà cần tìm hiểu, khái niệm "hàm mệnh đề" Hàm mệnh đề : ? Cho A tập họp không rỗng cho ứng với x∈A ta có mệnh đề, ký hiệu P(x) Bấy ta nói P (hay P(x)) hàm mệnh đề theo biến x∈A Như vậy, nói ứng với x∈A, ta có mệnh đề P(x), nghĩa tính sai P(x) hồn tồn xác định phụ thuộc vào giá trị x∈A Ví dụ : Cho hàm mệnh đề P(x) = { x số lẻ } ; x∈N Ta có : P(1) mệnh đề P(2) mệnh đề sai ? Tổng quát, với tập họp không rỗng A1, A2, , An, cho ứng với x1∈A1, x2∈A2, , xn∈An, ta có mệnh đề, ký hiệu P(x1, x2, ,xn ) Ta nói P(x1, x2, ,xn ) hàm mệnh đề theo n biến x Ví dụ : Cho hàm mệnh đề P(x,y,z) = { 2x + y - z = } x,y,z∈Z Ta có : P(x,y,z) mệnh đề x = 1, y = -1, z = 5/21 Suy luận toán học P(x,y,z) mệnh đề sai x = 1, y = 1, z = Phương pháp Chứng minh rỗng ( P sai) Dựa vào dòng cuối bảng chân trị, nhận thấy P sai, bất chấp kết luận Q mệnh đề P→Q Vậy, để chứng minh mệnh đề P→Q đúng, người ta cần chứng minh P sai Phương pháp chứng minh gọi chứng minh rỗng Phương pháp chứng minh rỗng thường sử dụng để chứng minh trường hợp đặc biệt định lý Trường hợp tổng quát định lý ln với số n ngun dương Ví dụ : Cho hàm mệnh đề P(n) = " Nếu n>1 n2 >n " Chứng minh P(1) Giải : Ta có P(1) = { Nếu >1 12 >1 } Nhận thấy giả thiết 1>1 sai, bất chấp kết luận 12 >1 hay sai P(1) Chứng minh tầm thường (Q đúng) Dựa vào dòng dòng bảng chân trị, nhận thấy Q đúng, bất chấp giả thiết P hay sai mệnh đề P→Q Vậy, để chứng minh mệnh đề P→Q đúng, người ta cần chứng minh Q Phương pháp chứng minh gọi chứng minh tầm thường Phương pháp chứng minh tầm thường sử dụng để chứng minh trường hợp đặc biệt định lý Trường hợp tổng qt định lý ln với số n nguyên dương Ví dụ : Cho hàm mệnh đề P(n) = { Nếu a b số nguyên dương a ≥ b an ≥ bn } Chứng minh P(0) Giải : Ta có a0 = b0 =1 Do a0 ≥ b0 Vậy P(0) bất chấp giả thiết a≥b hay sai 6/21 Suy luận toán học Chứng minh trực tiếp Trong dòng bảng chân trị, mệnh đề P kéo theo Q chứng minh cách P Q phải Nghĩa tổ hợp P Q sai không xảy Phương pháp gọi chứng minh trực tiếp Vậy để thực phương pháp chứng minh trực tiếp, người ta giả sử P đúng, sau sử dụng qui tắc suy luận hay định lý để Q kết luận P→Q Ví dụ 1: Chứng minh { Nếu n số lẻ n2 số lẻ } Giải : Giả sử giả thiết định lý đúng, tức n số lẻ Ta có n = 2k + ( k=0,1,2, ) ⇒ n2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + = 2(2k + 2k) + lẻ Vậy n số lẻ n2 số lẻ Ví dụ : Cho hàm mệnh đề P(n) = " Nếu n>1 n2 >n " Chứng minh P(n) với n số nguyên dương Giải : Giả sử n > đúng, ta có : n = + k ( k ≥ 1) ⇒ n2 = ( + k )2 = + 2k + k2 = (1 + k) + k + k2 > n Vậy Nếu n>1 n2 >n Chứng minh gián tiếp Vì mệnh đề P→Q ⇔ ?Q → ?P Do đó, để chứng minh mệnh đề P→Q đúng, người ta mệnh đề ?Q → ?P Ví dụ : Chứng minh định lý { Nếu 3n + số lẻ n số lẻ } Giải : Giả sử ngược lại kết luận phép kéo theo sai, tức n chẳn 7/21 Suy luận tốn học Ta có n = 2k ( k∈N ) ⇒ 3n + = 3.2k + = 2( 3k + ) số chẳn Vậy Nếu 3n + số lẻ n số lẻ Nhận xét • Có tốn sử dụng phương pháp chứng minh trực tiếp hay gián tiếp Tuy nhiên, có tốn khơng thể sử dụng phương pháp chứng minh trực tiếp sử dụng trực tiếp giải dài dòng phức tạp sử dụng chứng minh gián tiếp ( ngược lại) Đây khác biệt chứng minh trực tiếp chứng minh gián tiếp Ví dụ : Sử dụng chứng minh gián tiếp để chứng minh " Nếu n>1 n2 >n " Giải : Giả sử ngược lại kết luận phép kéo theo sai, tức n2 < n Vì n ngun dương nên ta chia vế cho n mà bất đẳng thức không đổi chiều Ta có : n < Vậy từ ?Q dẫn đến ?P Do đó, Nếu n>1 n2 >n Ví dụ : Sử dụng chứng minh trực tiếp để chứng minh " Nếu 3n + số lẻ n số lẻ " Giải : Giả sử 3n + số lẻ Nhận thấy số chẳn nên suy 3n số lẻ Vì số lẻ n số lẻ Vậy Nếu 3n + số lẻ n số lẻ Ở phải chứng minh thêm định lý tích số lẻ số lẻ giải chặt chẽ Do đó, toán việc sử dụng chứng minh gián tiếp hay dùng trực tiếp • Để chứng minh mệnh đề có dạng : (P1∨P2∨ ∨Pn) → Q 8/21 Suy luận tốn học Chúng ta sử dụng sau : ((P1∨P2∨ ∨Pn) →Q) ? ((P1→Q)∧(P2→Q)∧ ∧(Pn→Q)) Cách chứng minh gọi chứng minh trường hợp Ví dụ 3: Chứng minh rằng: " Nếu n khơng chia hết cho n2 khơng chia hết cho 3" Giải : Gọi P mệnh đề "n không chia hết cho 3" Q mệnh đề "n2 khơng chia hết cho 3" Khi đó, P tương đương với P1 ∨ P2 Trong đó: P1 = " n mod =1" P2 = " n mod =2" Vậy, để chứng minh P → Q đúng, chứng minh rằng: (P1 ∨ P2) → Q (P1 → Q ) ∧ ( P2→ Q) Giả sử P1 Ta có, n mod = Đặt n = 3k + ( k số nguyên đó) Suy n2 = ( 3k+1)2 = 9k2 + 6k + = 3(3k2 + 2k) + không chia chẳn cho Do đó, P1 → Q Tương tự, giả sử P2 Ta có, n mod = Đặt n = 3k + ( k số nguyên đó) Suy n2 = ( 3k+2)2 = 9k2 + 12k + = 3(3k2 + 4k + 1) + khơng chia chẳn cho Do đó, P2 → Q Do P1 → Q P2 → Q đúng, (P1 → Q ) ∧ ( P2→ Q) Vậy (P1 ∨ P2) → Q 9/21 Suy luận toán học Chứng minh phản chứng Chứng minh phản chứng thường sử dụng để chứng minh mệnh đề P Trước hết, người ta giả sử ngược lại P sai hay ?P Từ mệnh đề ?P dẫn đến kết luận Q cho ?P→Q phải Khi đó, người ta Q mâu thuẩn, nghĩa : Q = R ∧?R (Sở dĩ có mâu thuẩn ta giả sử P sai) Vì ?P→Q phải Q F, suy ?P = F ⇒ P = T Phương pháp chứng minh phản chứng thường sử dụng để chứng minh vấn đề điều quan trọng kỹ thuật tìm mâu thuẩn R∧?R Ví dụ 1: Chứng minh " √2 số vô tỉ " Giải : Gọi P mệnh đề " √2 số vô tỉ " Giả sử ngược lại ?P Vậy, √2 số hữu tỉ ( tập số thực gồm tập tập số vô tỉ tập số hữu tỉ Hai tập khơng có giao nhau) Khi ∃a,b (a,b∈N) cho: a √2 = b ( với a, b khơng có ước chung hay phân số tối giản (mệnh đề R)) Bình phương hai vế : = a2 b2 ⇒ 2b2 = a2 ⇒ a2 số chẳn ⇒ a số chẳn Đặt a = 2c, c ∈ N Ta có 2b2 = 4c2 ⇔ b2 = 2c2 ⇒ b2 số chẳn ⇒ b số chẳn Vậy a, b có ước chung (mệnh đề ?R) Điều mâu thuẩn a/b tối giản Từ ?P→ R∧?R Sở dĩ có mâu thuẩn ta giả sử √2 số hữu tỉ Vậy √2 phải số vơ tỉ Ví dụ : Một cách giải toán tồn dùng lập luận phản chứng Cho đoạn thẳng có độ dài lớn 10 nhỏ 100 Chứng minh ln tìm đoạn để ghép thành tam giác Giải : Trước hết xếp đoạn cho theo thứ tự tăng dần độ dài a1, a2, , a7, chứng minh dãy xếp ln tìm đoạn liên tiếp cho tổng đoạn đầu lớn đoạn cuối (vì điều kiện để đoạn ghép thành tam giác tổng đoạn nhỏ đoạn thứ ba) 10/21 Suy luận toán học Giả sử điều cần chứng minh không xảy ra, nghĩa đồng thời xảy bất đẳng thức sau: a1 + a ≤ a a2 + a ≤ a a3 + a ≤ a a4 + a ≤ a a5 + a ≤ a Từ giả thiết a1 , a2 có giá trị lớn 10, ta nhận a3 > 20 Từ a2 >10 a3 > 20 ta nhận a4 > 30 , a5 > 50, a6 > 80 a7 > 130 Điều a7 > 130 mâu thuẩn với giả thiết độ dài nhỏ 100 Có mâu thuẩn giả sử điểu cần chứng minh không xảy Vậy, tồn đoạn liên tiếp cho tổng đoạn đầu lớn đoạn cuối Hay nói cách khác đoạn ghép thành tam giác Chứng minh qui nạp Giả sử cần tính tổng n số nguyên lẻ Với n = 1,2,3,4,5 ta có : n = 1: = = 12 n = 2: + = = 22 n = 3: + + = = 32 n = 4: + + + = 16 = 42 n = 5: + + + + = 25 = 52 Từ kết ta dự đoán tổng n số nguyên lẻ n2 Tuy nhiên, cần có phương pháp chứng minh dự đoán Qui nạp toán học kỹ thuật chứng minh quan trọng Người ta dùng để chứng minh kết có dựa suy luận ví dụ Tuy nhiên, qui 11/21 Suy luận toán học nạp toán học dùng để chứng minh kết nhận cách khơng cơng cụ để phát cơng thức • Ngun lý chứng minh qui nạp yếu Nhiều định lý phát biểu P(n) ∀n nguyên dương, P(n) hàm mệnh đề, ký hiệu ∀nP(n) Qui nạp toán học kỹ thuật chứng minh định lý thuộc dạng Nói cách khác qui nạp toán học thường sử dụng để chứng minh mệnh đề dạng ∀nP(n) Nguyên lý chứng minh qui nạp yếu bao gồm bước : - Kiểm tra P(x0) với x0 giá trị dãy số n - Giả sử P(k) n=k Từ suy P(k+1) Ta có cách viết suy luận sau: [P(x0) ∧ (P(k)→P(k+1))] → ∀nP(n) Ví dụ 1: Chứng minh ∑ni = i = + + + +n = n(n + 1) Giải : Đặt P(n) = {∑ni = i = - Với n= : = 1(1 + 1) n(n + 1) } P(1) - Giả sử P(k) n=k Ta có : ∑ki = i = k(k + 1) Cần chứng minh P(k+1) Nghĩa ∑ki =+ 11 i = (k + 1)(k + 2) (điều phải chứng minh) Ta có : ∑Ki =+11 i = ∑Ki = i + (k + 1) = k(k + 1) + (k + 1) = (k + 1)(k + 2) (đpcm) Vậy ∀nP(n) Ví dụ 2: Chứng minh P(n) = {∑ni = (i +i 1)! = − (n + 1)! } 12/21 Suy luận toán học - Với n=1 : =1− P(1) - Giả sử P(k) n= k Ta có : i ∑Ki = (i + 1)! = − (k + 1)! Cần chứng minh : i ∑Ki =+11 (i + 1)! = − (k + 2)! Ta có : i i ∑Ki =+11 (i + 1)! = ∑Ki = (i + 1)! + =1− (k + 2) − (k + 1) (k + 2)! =1− k+1 (k + 2)! (k + 2)! =1− (k + 1)! + k+1 (k + 2)! (đpcm) Vậy ∀nP(n) Ví dụ : Chứng minh bất đẳng thức sau : n < 2n với n nguyên dương - Khi n=1 : < mệnh đề - Giả sử mệnh đề n=k, ta có k < 2k Cần chứng minh k + 1< 2k+1 Thật vậy, k < 2k ⇒ k +1 < 2k +1 < 2k + 2k = 2k+1 Do đó, n < 2n với n ngun dương • Chú ý 1: Khi sử dụng nguyên lý chứng minh qui nạp, không bỏ qua bước kiểm tra P(x) có (P(n)→P(n+1)) khơng đủ để kết luận ∀nP(n) Ví dụ : Xét P(n)= {∑ni = i = + + + + +n = (n + 3)(n − 2) } 13/21 Suy luận toán học Giả sử P(k) n=k Ta có : ∑Ki = i = + + + + +k = (k + 3)(k − 2) Cần chứng minh: ∑Ki =+01 i = + + + + +k + (k + 1) = (k + 3)(k − 1) Ta có : ∑Ki =+01 i = ∑Ki = i + (k + 1) = VT = k2 − 2k + 3k − + 2k + 2 VT = (k − 1)(k + 4) = (k + 3)(k − 2) + (k + 1) k2 + 3k − = P(k + 1) (đpcm) Ta có P(k)→P(k+1) Tuy nhiên, xét P(0): P(0) = {0 = 3} mệnh đề sai Vậy ∀nP(n) sai Trong trường hợp ta kết luận sau : Nếu P(k) ∀ n≥k(P(k) → P(k+1)) ∀ n≥k, P(n) • Chú ý : Đôi cần tính tốn biểu thức phụ thuộc vào n, bắt đầu việc đốn kết quả, cơng việc làm cách hay nhiều dựa vào kinh nghiệm Sau đó, sử dụng nguyên lý chứng minh qui nạp để chứng minh kết vừa tìm Ví dụ 1: Tính tổng n số lẻ S = 1+3+5+7+ +(2n-1) = ∑ni = (2i − 1) Khi n=1 : S = = 12 n=2 : S = 1+ = 22 n=3 : S = 1+3 + = 32 n=4 : S = 1+3+5+7 = 42 14/21 Suy luận toán học n=5 S = 1+3+5+7+9 = 52 Vậy dự đốn S = ∑ni = (2i − 1) = n2 Sau sử dụng chứng minh qui nạp để chứng minh kết vừa tìm Đặt P(n) = {∑ni = (2i − 1) = n2} - Khi n=1 : = P(1) - Giả sử P(k) n=k Ta có : ∑Ki = (2i − 1) = k2 cần chứng minh P(k+1) đúng, nghĩa : ∑Ki =+11 (2i − 1) = (k + 1)2 Vế trái = ∑Ki = (2i − 1) + (2(k + 1) − 1) = k2 + (2k + 1) = (k + 1)2 (đpcm) Vậy ∀nP(n) Ví dụ 2: Tổng tính tốn với cách khác sau : S = ∑ni = (2i − 1) = 2(∑ni = i − ∑ni = 1) = 2( n(n2+ 1) − n) = n(n + 1) − n = n2 Ví dụ 3: Tính tổng S = ∑ni = i(i +1 1) = 1+1 = n=2: S = 12 + 2.3 3+1 2.3 = n=3: S = 23 + 3.4 2.4 + 3.4 = = 3+1 = n=4: S = 34 + 4.5 3.5 + 4.5 = = 4+1 Khi n=1: S = = = 2+1 15/21 Suy luận tốn học Vậy dự đốn tổng S = n n+1 Sử dụng nguyên lý qui nạp để chứng minh công thức Đặt P(n) = {∑ni = i(i +1 1) = n n+1 } - Khi n=1 : 1/2 = 1/2 P(1) - Giả sử P(k) n=k Ta có ∑Ki = i(i + 1) = k k+1 Cần chứng minh P(k+1) Nghĩa : ∑Ki =+11 i(i + 1) = k+1 k+2 (đpcm) Vế trái = ∑Ki =+11 i(i +1 1) = ∑Ki = i(i +1 1) + (k + 1)(k + 2) = = k(k + 2) + (k + 1)(k + 2) = (k + 1)2 (k + 1)(k + 2) = k+1 k+2 k k+1 + (k + 1)(k + 2) (đpcm) Vậy ∀nP(n) • Nguyên lý chứng minh qui nạp mạnh Cho P(n) đẳng thức có chứa biến n, P(0) (P(0)∧ P(1)∧P(2)∧P(3)∧ P(k)) → P(k+1) P(n) mệnh đề ∀n (với phần tử đầu tiên) Chú ý rằng, để tạo giả thiết qui nạp với nguyên tắc qui nạp yếu, người ta giả thiết P(k) n=k Với nguyên tắc qui nạp mạnh, người ta giả thiết cho tất mệnh đề P(0)∧ P(1)∧P(2)∧P(3)∧ P(k) Đây khác biệt nguyên tắc qui nạp với giả thiết yếu giả thiết mạnh Ví dụ 1: Chứng minh tích số liên tiếp chia hết cho Giải : Đặt P(n) = {n.(n+1).(n+2) chia hết cho 6} (n nguyên dương) Ta có : P(1) = 1.2.3 chia hết cho Mệnh đề P(2) = 2.3.4 chia hết cho Mệnh đề P(3) = 3.4.5 chia hết cho Mệnh đề 16/21 Suy luận toán học Giả sử ∀n≤ k ta có P(k) Nghĩa : k.(k+1).(k+2) chia hết cho Cần chứng minh P(k+1) Nhận thấy: (k+1)(k+2)(k+3) = k.(k+1).(k+2) + 3.(k+1).(k+2) Trong : k.(k+1).(k+2) chia hết cho Và 3.(k+1).(k+2) chia hết cho = 2.3 (vì (k+1).(k+2) tích số tự nhiên liên tiếp nên chia chẳn cho 2) Vì tổng số chia hết cho chia hết cho (sinh viên tự chứng minh), (k+1).(k+2)(k+3) chia hết cho P(n) với n nguyên dương Ví dụ 2: Chứng minh n số nguyên lớn 1, n viết dạng tích số nguyên tố Giải : Đặt P(n) = { n = a.b c } (a, b, ,c số nguyên tố) Ta có P(2) = { 2= 2.1} P(3) = { 3= 3.1} P(4) = { 4= 2.4} P(18) = { 6.3= 3.2.3} mệnh đề Giả sử P(n) ∀n≥ ta có P(k) Cần chứng minh P(k+1) Với n = k+1 ta có trường hợp xảy sau: - k+1 số nguyên tố : k+1 = (k+1).1 P(k+1) - k+1 không số nguyên tố (hợp số): k+1 = a.b ( a,b,∈ [2,k] ) 17/21 Suy luận toán học Theo giả thiết qui nạp mạnh, a, b số nguyên tố tích số nguyên tố Vậy k+1 hợp số viết dạng tích số nguyên tố P(n) vói n ≥ Ví dụ 3: Chứng minh bưu phí hay lớn 12 xu tạo tem xu hay xu Giải : Đặt P(n) = { n = + + 5+ } Ta có : P(12) = { 12 = + + 4} P(13) = { 13 = + + 5} P(14) = { 14 = + + 5} P(15) = { 15 = 5+ + 5} P(16) = { 16 = + + + } P(17) = { 17 = + + + } Giả sử n > 15 P(n) Nhật thấy để tạo bưu phí (n+1) xu ta cần dùng tem n-3 xu cộng thêm tem xu Tổng kết chương Chúng ta mô tả phương pháp khác để chứng minh định lý Có thể thấy đưa phương pháp để chứng minh cho toán Nắm vững phương pháp chứng minh chuyện, biết áp dụng chúng để chứng minh toán kỹ thuật đòi hỏi người sử dụng phải thực tập nhiều lần cách thử trường hợp khác Bài tập suy luận toán học 1/ Quy tắc suy luận dùng lập luận sau : a Những kanguroo sống Australia loài thú có túi Do đó, kanguroo lồi thú có túi b Hoặc hơm trời nóng 100 độ ô nhiễm nguy hại Hôm nhiệt độ ngồi trời thấp 100 độ Do đó, nhiễm nguy hại c Steve làm việc công ty tin học vào mùa hè Do đó, mùa hè làm việc công ty tin học kẻ lang thang ngồi bể bơi 18/21 Suy luận tốn học d Nếu tơi làm tập đêm tơi trả lời tất tập Nếu tơi trả lời tất tập tơi hiểu tài liệu Do đó, tơi làm tập đêm tơi hiểu tài liệu 2/ Xác định xem suy luận sau có sở khơng Nếu suy luận có sở dùng qui tắc suy luận Nếu không ngụy biện sử dụng a Nếu n số thực lớn n2 > Giả sử n2 > Khi n > b Nếu n số thực n > 3, n2 > Giả sử n2 ≤ Khi đó, n ≤ c Một số nguyên dương số phương có số chẳn ước nguyên dương Giả sử, n số nguyên dương có số lẻ ước nguyên dương Khi đó, n số phương 3/ Chứng minh bình phương số chẳn số chẳn : a Chứng minh trực tiếp b Chứng minh gián tiếp c Chứng minh phản chứng 4/ Chứng minh tích số hữu tỷ số hữu tỷ 5/ Chứng minh số ngun khơng chia hết cho bình phương chia cho dư 6/ Chứng minh n số nguyên dương n lẻ 5n + lẻ 7/ Có giả thiết - Mơn logic khó khơng có nhiều sinh viên thích mơn logic - Nếu mơn tốn dễ thi logic khơng khó Bằng cách chuyển giả thiết thành mệnh đề chứa biến toán tử logic Hãy xác định xem khẳng định sau kết luận có sở giả thiết cho không : a/ Mơn tốn khơng dễ nhiều sinh viên thích mơn logic b/ Khơng có nhiều sinh viên thích mơn logic mơn tốn khơng dễ 19/21 Suy luận tốn học c/ Mơn tốn dễ mơn logic khó d/ Mơn logic khơng khó mơn tốn khơng dễ e/ Nếu khơng có nhiều sinh viên thích mơn logic mơn tốn khơng dễ logic khơng khó 8/ Dùng ngun lý qui nạp yếu, chứng minh biểu thức tổng sau : a ∑ni = i2 = n(n + 1)(n + 2) b ∑ni = i(i + 1)(i + 2) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) c ∑ni = i(i)! = (n + 1)!- d ∑ni = (i +i 1) = − (n + 1)! e ∑ni = (i + 1)(i + 2) = n(n + 3) 4(n + 1)(n + 2) f ∑ni = i.2i = + (n − 1).2n + g ∑ni = 2.3i − = 3n − h ∑ni = i(i + 2) = n(n + 1)(2n + 7) Tìm cơng thức tính tổng sau sử dụng nguyên lý qui nạp để chứng minh cơng thức vừa tìm a ∑ni = (2i − 1) b ∑ni = 2i − c ∑ni = i(3i − 1) d ∑ni = i(i +1 1) e ∑ni = (2i − 1)2 f ∑ni = i(i + 1) g ∑ni = xi 20/21 Suy luận toán học 10 Dùng nguyên lý qui nạp mạnh, chứng minh bất đẳng thức sau: a ∀n > : 2n < n! b ∀n > : n2 < 2n c ∀n > : n2 < 2n d ∀n >= : 4n < n2 - e ∀n > 10 : n - < (n2 - n)/12 21/21 ... qui tắc suy luận Các qui tắc suy luận Như giới thiệu trên, suy luận có dùng qui tắc suy diễn gọi suy luận có sở Khi tất suy luận có sở dẫn đến kết luận Một 2/21 Suy luận tốn học suy luận có sở.. .Suy luận toán học Chứng minh trực tiếp Chứng minh gián tiếp Chứng minh phản chứng Chứng minh qui nạp Suy luận toán học Khái niệm Suy luận xem tảng xây dựng nên ngành khoa học tự nhiên... chứng minh dự đoán Qui nạp toán học kỹ thuật chứng minh quan trọng Người ta dùng để chứng minh kết có dựa suy luận ví dụ Tuy nhiên, qui 11/21 Suy luận toán học nạp toán học dùng để chứng minh kết