(Luận văn thạc sĩ) nhiễu sinh ra đồng bộ hóa cho một số hệ thống đơn giản

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VN HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ LÊ BÁ DŨNG NHIỄU SINH RA ĐỒNG BỘ HÓA CHO MỘT SỐ HỆ ĐƠN GIẢN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VN HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ LÊ BÁ DŨNG NHIỄU SINH RA ĐỒNG BỘ HÓA CHO MỘT SỐ HỆ ĐƠN GIẢN Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TSKH Đoàn Thái Sơn Hà Nội - 2021 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan viết luận văn tìm tòi, học hỏi thân hướng dẫn tận tình PGS.TSKH Đồn Thái Sơn Mọi kết nghiên cứu ý tưởng tác giả khác, có trích dẫn cụ thể Đề tài luận văn chưa bảo vệ hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ chưa công bố phương tiện Tơi xin chịu trách nhiệm lời cam đoan Hà Nội, Ngày 20 tháng năm 2022 Học viên Lê Bá Dũng ii - LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, xin tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới PGS.TSKH Đồn Thái Sơn, người trực tiếp hướng dẫn tơi tìm hướng nghiên cứu Luận văn hồn thành hướng dẫn tận tình thầy thời gian dài Thầy quan tâm, giúp đỡ, động viên tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cơ, anh chị, bạn bè Viện Tốn học giúp đỡ, góp ý tạo điều kiện q trình học tập, nghiên cứu để tơi thực tốt luận văn Tơi xin trân trọng cảm ơn giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi sở đào tạo Học viện Khoa học Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học Cơng nghệ Việt Nam q trình thực luận văn Đặc biệt, tơi xin cảm ơn gia đình, người thân bạn bè sát cánh, động viên khích lệ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Hà Nội, Ngày 20 tháng năm 2022 Học viên Lê Bá Dũng iii Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Ánh xạ bảo toàn độ đo ánh xạ 1.2 Định lý hồi qui Poincaré 1.3 Định lý Birkhoff Nhiễu sinh tự đồng hệ rẽ nhánh Pitchfork 2.1 Hệ động lực ngẫu nhiên 2.1.1 Hệ động lực ngẫu nhiên 2.1.2 Tập hút hệ động lực n 2.1.3 Tính tập hút 2.2 Hệ rẽ nhánh Pitchfork với nhiễu n 2.2.1 Hệ động lực ngẫu nhiên sinh nhiễu ngẫu nhiên iv 2.2.2 Tập hút ngẫu nhiên hệ động lực ngẫu nhiên sinh rẽ nhánh Pitchfork với nhiễu ngẫu nhiên 2.2.3 Độ đo dừng hệ rẽ nhánh Pitchfork số mũ Lyapunov 2.2.4 Hiện tượng đồng hóa hệ rẽ nhánh Pitchfork Kết luận MỞ ĐẦU Đối tượng luận văn nghiên cứu tác động nhiễu trắng vào hệ rẽ nhánh Pitchfork Cụ thể, ta xét họ phương trình vi phân thường (ODEs) x = x x ; x R; tham số hóa R Điểm x = điểm cân với Nó điểm cân ổn định < Với > khơng điểm ổn định xuất hai điểm cân p Trường hợp biết đến tên gọi rẽ nhánh Pitchfork Nghiệm phương trình (1) nổ lùi lại theo thời gian Do sinh nửa dịng thay dịng Nhắc lại kiến thức tập hút tồn cục cho nửa dịng tất định [1], với cố định, hệ (1) có tập hút tồn cục, họ tập hút A ; R, cho A=A : Với = tập hút toàn cục gồm điểm f0g Với < dịng tác động vào giá trị ban đầu khiến chúng hội tụ tới điểm với tốc độ mũ theo thời gian Đặc biệt, với hai nghiệm toán giá trị ban đầu khác chúng bất khả phân biệt sau khoảng thời gian Với > 0, khoảng cách hai nghiệm xuất phát từ hai giá trị ban đầu với p dấu khác hội tụ tới số thực dương , ban đầu chúng gần Xét họ phương trình vi phân ngẫu nhiên (SDEs) sau dx = ( x x )dt + dWt R (Wt)t2R trình Wiener Phương trình (2) sinh Hệ động lực ngẫu nhiên Trong luận văn ta nhắc lại khái niệm tập hút toàn cục Hệ động lực ngẫu nhiên Tập hút đồng thời tập compact ngẫu nhiên, tức là, ánh xạ ! 7!A(!) nhận giá trị tập compact khơng gian trạng thái X = R Hơn bất biến, liên thông hút tập tất định bị chặn Với R phương trình có tập hút ngẫu nhiên tập compact + A(!) = A (!) = [a (!); a (!)]; với biến ngẫu nhiên ! 7!a (!): Ta chứng minh với R a (!) + = a (!) h.c.c Do tập hút ngẫu nhiên A gồm điểm Điều có nghĩa nghiệm phương trình (2) hội tụ tới dấu Khi ta nói nhiễu ngẫu nhiên sinh tượng đồng hóa Các kết nghiên cứu giới thiệu chứng minh công bố [2] H Crauel F Flandoli Cấu trúc luận văn sau: Chương 1: Chương dành để nhắc lại số định nghĩa, định lý tính chất quan trọng lý thuyết Ergodic phục vụ cho luận văn Chương 2: Nội dung phần trình bày tính chất nhiễu sinh tượng đồng hóa cho hệ rẽ nhánh Pitchfork Trong trình nghiên cứu luận văn, thân cố gắng nhiên khó tránh khỏi thiếu sót, hạn chế Rất mong nhận góp ý quý thầy bạn đọc để luận văn hồn thiện Chương Một số kiến thức chuẩn bị Nội dung chương giới thiệu số khái niệm ánh xạ bảo toàn độ đo, ánh xạ ergodic, giới thiệu chứng minh định lý Birkhoff ergodic Các kết khác lý thuyết ergodic đọc thêm [3] [4] 1.1 Ánh xạ bảo toàn độ đo ánh xạ ergodic Ta bắt đầu khái niệm ánh xạ bảo toàn độ đo ánh xạ ergodic Định nghĩa 1.1 (Ánh xạ bảo tồn độ đo) Cho khơng gian xác suất ( 1; F1; P1), ( 2; F2; P2) phép biến đổi T : ! gọi là: (i) đo với B2 F2 T B2 F1: (ii) bảo tồn độ đo T đo P1(T (B2)) = P2(B2); 8B2 F2: Định nghĩa 1.2 (Ánh xạ ergodic) Phép biến đổi bảo toàn độ đo T : ! không gian xác suất ( ; F; P) gọi ergodic với B F mà T B = B P(B) = P(B) = 2 yt (yt +z ( t!)) = 2rt(yy +z ( t!)) 2 4rt 40 Ngoài p ytz ( t!)(yt + z ( t!)) = 2rtz ( t!)(yt + z ( t!)) Khi với t ~ t 7!(t; !; jyj với giá trị ban đầu t0 a VÌ z ( t!) (a ) t t2R bt(!) := + 2jz ( t!)j ; ; (b ) t t2R p ct(!) := 2jz ( t!)j: biến ngẫu nhiên tăng hàm mũ, tất trình ngẫu nhiên (ct)t2R biến ngẫu nhiên tăng hàm mũ Chú ý s ~ t ~ t ~ t Do ~ at(!) t + bt(!) ~ t + ct(!) ~ t t(!) := 41 ~ biến ngẫu nhiên tăng hàm mũ Vậy nghiệm t phương trình (2.4) thỏa mãn (2.5) Ta có điều phải chứng minh Định lý sau tồn tập hấp thụ Định lý 2.33 Với R; RDS sinh (2.1) có tập hấp thụ compact Do kết hợp với Định lý 2.21 dẫn đến tồn + tập hút compact ! 7!A ; (!) = [a ; (!); a ; (!)]: Chứng minh Cho D F B(R) tăng hàm mũ Khi tồn biến + ngẫu nhiên tăng hàm mũ R : ! R cho D(!) BR(!)(0) Theo bổ đề trên, với x D( t!) ta có j (t; t!; y)j ~ t t(t; t!; R( t!)) 2e R( t!) + ta sử dụng (2.5) bất đẳng thức cuối Vì ( t)t2R biến ngẫu nhiên tăng hàm mũ, nên R s e s(!)ds tồn Ngược lại, R t biến ngẫu nhiên tăng hàm mũ nên lim e R( t!) = 0: Đặt t!1 r(!) := s Z0 1+2 s e s(!)ds: Khi đó, P- h.c.c, tồn thời điểm T > cho (t; t!; D( t!)) Br(!)(0); 8t T: Điều có nghĩa Br(!)(0) tập hấp thụ + Nhận xét 2.34 Với R phương trình (2.1) có nghiệm với giá trị ban đầu nghiệm tồn với thời điểm dương cách sử dụng điều kiện Lipschitz đơn điệu Định lý tồn 42 2 nghiệm [7] với Kn = 2n (3n + ) K3 = : Khi (2.1) định nghĩa hệ động lực ngẫu nhiên ’ (phụ thuộc vào ) với không gian + trạng thái đường thẳng thực tham số thời gian chiều I = R ; ’ biến (t; !; x) thành nghiệm phương trình (2.1) với điều kiện giá trị ban đầu x(t0) = x0, có quỹ đạo (Ws)s2R: 2.2.3 Độ đo dừng hệ rẽ nhánh Pitchfork số mũ Lyapunov Định lý 2.35 Với R; > nửa nhóm Markov sinh (2.1) có độ đo xác suất bất biến R giải phương trình FokkerPlank ta có hàm mật độ p(x) = c exp + Chứng minh Gọi : R R ! R; (t; !; x) 7!Dx’(t; !; x) hệ động lực tuyến tính thỏa mãn (0; !; x) =id (ánh xạ đồng nhất) _ (t; !; x) = Df(’(t; !; x)) (t; !; x): Khi đồng chu trình tuyến tính dịng tích chéo ( t)t2R+0 xác định R cho t(!; x) := ( t!; ’(t; !; x)): ( ; ) hệ động lực ngẫu nhiên tuyến tính, với hệ động lực ergodic ( t)t2R thay ( t)t2R+0 : Ta thu độ đo xác suất ergodic cho tích chéo ( t)t2R+0 cách tồn tương ứng một-một độ đo dừng cho nửa nhóm Markov liên kết với (2.1) độ đo bất biến ( t)t2R+0 43 Trước hết ta giải phương trình Fokker- Planck tìm hàm mật độ cho phân phối dừng phương trình (2.1), hệ số định hướng x x hệ số khuếch tán Ta có @t Vì hàm phân phối dừng nên p(x; t) = p(x), viết lại phương trình Tích phân vế ta từ tìm nghiệm phương trình cho Độ đo dừng dẫn tới độ đo bất biến ( t)t2R0+ Xét giới hạn tồn P- hầu chắn độ đo ngẫu nhiên F 0- đo được, tức là, với B ( B(R) ! 7! !(B) F 0- đo Từ ta định nghĩa độ đo Markov R; F B(R)) Z )dP(!); 8C F (C) := C! := x2R ! B(R); (C! : (!; x) p(x; t) = độ đo dừng cho C , bất biến với ( t)t2R+0 Ngược lại, Z (B) = !(B)dP(!); 8B B(R): 44 Tính độ đo dừng với hàm mật độ p(x) dẫn đến độ đo bất biến ergodic Ta có điều phải chứng minh Tiếp theo ta hệ tuyến tính định nghĩa (2.8) thỏa mãn điều kiện khả tích + sup ln k (t; !; x)k L ( ): t Từ ta tính số mũ Lyapunov cho RDS tuyến tính ( ; ) Bổ đề 2.36 Khi P- hầu chắn ! hệ động lực tuyến tính thỏa mãn điều kiện khả tích Chứng minh Áp dụng trực tiếp vào tốn rẽ nhánh Pitchfork ta có j Từ Z R0 t với p(x) hàm mật độ cho (2.7) Vậy hệ động lực tuyến tính thỏa mãn điều kiện khả tích Xét tốn (2.1) với hệ động lực (2.8) ta có _ (t; !; x) = Df(’(t; !; x) (t; !; x) = ( 3’(t; !; x) nên (t; !; x) = exp Z Áp dụng định lý Birkhoff cho dòng ta chọn hàm f(!; x) = 3x ta tính số mũ Lyapunov hệ động lực ngẫu nhiên tuyến tính ( ; ) = lim = Z = Ta số mũ Lyapunov âm Thật vậy, = A!1 lim = 2.2.4 Hiện tượng đồng hóa hệ rẽ nhánh Pitchfork Định lý sau trình bày kết luận văn Định lý 2.37 Giả sử ’ RDS sinh phương trình vi phân ngẫu nhiên R cho nửa nhóm Markov liên kết có độ đo xác suất bất biến Giả sử ! 7!D(!) tập compact ngẫu nhiên bất biến chặt P -h.c.c mà đo với F Khi D gồm điểm P- h.c.c ( Chứng minh Vì D đo với F 0, - đại số khứ hệ, nên + đo với fWt : t 0g Đặt x (!) = max D(!) x (!) = D(!) ta thu hai biến ngẫu nhiên đo với fW t : t 0g hiển nhiên 46 x + + x (để kiểm tra tính đo x x , ta chọn dãy đếm ! ! kn(!) đo với Ft thỏa mãn (i) mục D bất biến chặt nên với t > + + ’(t; !)x (!) = x ( t!); ’(t; !)x + Tính đo với Ft x x dẫn đến hai độ đo xác suất ngẫu nhiên x (! ) d ( !) + = ! + x (!) R P + độ đo bất biến nên hàm phân phối x x thông qua giải phương Fokker-Plank Kết hợp với tính bảo tồn với x = x+ = x : thứ tự ’ x Áp dụng Định lý 2.37 cho RDS sinh phương trình (2.1) ta có kết sau Hệ 2.38 Với R > tập hút ngẫu nhiên ! 7!A ; (!) cho Định lý 2.21 gồm điểm hầu chắn, A ; (!) = A(!) = a(!) : Hơn độ đo ngẫu nhiên R ! = a(!) độ đo Markov bất biến =E, tức (B) = !(B)dP(!), độ đo bất biến liên kết với nửa nhóm Markov với hàm mật đo cho (2.7) Chứng minh Cố định R > Theo Định lý 2.21, tập hút ngẫu nhiên A =A ; bất biến chặt, compact h.c.c đo với F ; Nửa nhóm Markov có độ đo bất biến nhờ giải phương trình Fokker- Planck Áp dụng Định lý 2.37 dẫn đến tập A gồm điểm h.c.c, A(!) = bất biến 47 ! 7!a(!) F 0- đo được, ! 7! ! độ đo Markov, = E bất biến với nửa nhóm Markov Hệ 2.39 Với R > 0, độ đo bất biến Markov ! 7!a(!), với A ; = a(!) tập hút, cịn độ đo bất biến RDS sinh SDE (2.1) Chứng minh Vì RDS sinh phương trình 2.1 có tập hút toàn cục ! 7!A(!) nên độ đo xác suất bất biến ! 7!! RDS có giá tập hút, tức là, (A) = Z !(A(!))dP(!) =1 [8] Do đó, với tập hút tồn cục A chứa điểm, A(!) = a(!) , độ đo Dirac ! 7!a(!) độ đo bất biến RDS Hệ 2.40 Hai nghiệm SDE (2.1) hội tụ tới theo tốc mũ với giá trị tham số R: Chứng minh Suy trực tiếp từ số mũ Lyapunov < 48 KẾT LUẬN Các kết đạt đề tài: - Trình bày khái niệm Hệ động lực ngẫu nhiên, tập hút hệ động lực ngẫu nhiên chứng minh tính tập hút ngẫu nhiên - Trình bày hệ động lực ngẫu nhiên sinh rẽ nhánh Pitchfork với nhiễu ngẫu nhiên cách tìm tập hút ngẫu nhiên với hệ Bằng cách sử dụng định lý Birkhoff định lý nhân tính Oseledet ta số mũ Lyapunov độ đo dừng hệ Trình bày tượng đồng hóa hệ rẽ nhánh Pitchfork Các hướng nghiên cứu - Nghiên cứu cấu trúc tập hút ngẫu nhiên cho Hệ động lực sinh Phương trình Vi phân ngẫu nhiên phức tạp 49 Tài liệu tham khảo [1] Perko, L (2006) Differential Equations and Dynamical Systems, Third Edition Springer, New York [2] Crauel, H., and Flandoli, F (1998) Additive noise destroys a Pitchfork bifurcation Journal of Dynamics and Differential Equations, Vol 10, No 2, 259-274 [3] Krengel U (1985) Ergodic Theory Walter de Gruyter, Berlin [4] N.D Cong (2002) Lý Thuyết Hệ Động Lực Nhà Xuất Bản Đại Học Quốc Gia Hà Nội [5] Arnold, L (1998) Random Dynamical Systems, Spinger, Berlin [6] Crauel, H (1991) Markov measures for random dynamical systems Stochast Stochast Rep 37, 153-173 [7] Mao, X (2011) Stochastic Differential Equations and Applications Wood-head Publishing Limited [8] Crauel, H (1999) Global random attractors are uniquely determined by attracting deterministic compact sets Annali di Matematica pura ed Apli-cata, Vol CLXXVI, 57-72 ...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VN HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ LÊ BÁ DŨNG NHIỄU SINH RA ĐỒNG BỘ HĨA CHO MỘT SỐ HỆ ĐƠN GIẢN Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8.46.01.02... lý thuyết Ergodic phục vụ cho luận văn Chương 2: Nội dung phần trình bày tính chất nhiễu sinh tượng đồng hóa cho hệ rẽ nhánh Pitchfork Trong q trình nghiên cứu luận văn, thân cố gắng nhiên khó... Tập hút ngẫu nhiên hệ động lực ngẫu nhiên sinh rẽ nhánh Pitchfork với nhiễu ngẫu nhiên 2.2.3 Độ đo dừng hệ rẽ nhánh Pitchfork số mũ Lyapunov 2.2.4 Hiện tượng đồng hóa hệ rẽ nhánh Pitchfork