1. P(X 02 B )= (B); 8B 2 B(R);
2.2.2. Tập hút ngẫu nhiên của hệ động lực ngẫu nhiên sinh bởi rẽ nhánh Pitchfork với nhiễu ngẫu nhiên
Pitchfork với nhiễu ngẫu nhiên
Tiếp theo ta nhắc lại định nghĩa biến ngẫu nhiên tăng dưới hàm mũ dùng trong chứng minh sự tồn tại của tập hấp thụ.
Định nghĩa 2.29 ( Biến ngẫu nhiên tăng dưới hàm mũ). Một biến ngẫu nhiên R : ! R được gọi là biến ngẫu nhiên tăng dưới hàm mũ nếu ,
lim
t! 1 jtj
Một tập D 2 F B(R) được gọi là tăng dưới hàm mũ nếu tồn tại biến ngẫu nhiên tăng dưới hàm mũ R sao cho P- hầu chắc chắn thì
D(!) BR(!)(0);
trong đó D(!) = x 2 R : (!; x) 2 D là tập ngẫu nhiên compact.
Nhận xét 2.30. Ta chứng minh được nếu RDS có tập hút ngẫu nhiên, thì RDS xt cũng có tập hút ngẫu nhiên. Điều này suy ra trực tiếp từ định nghĩa của tập hút ngẫu nhiên và biến ngẫu nhiên z ( t!) là biến ngẫu nhiên tăng dưới hàm mũ và các nhận xét sau.
Nhận xét 2.31. Trị tuyệt đối của nghiệm của phương trình (2.3) bị chặn bởi nghiệm của phương trình
_ = t(!)
trong đó quá trình ngẫu nhiên ( (t))t2R được chọn trước. Hơn nữa với mỗi giá trị ban đầu 0 2 R thì nghiệm của phương trình (2.4) là
Bổ đề 2.32. Tồn tại biến ngẫu nhiên tăng dưới hàm mũ ( t)t2R sao cho
dẫn đến nghiệm (t; !; y) của phương trình (2.3) tồn tại với mọi t 0:
Chứng minh. Thay xt yt = (y Đặt rt = 1 2 rt = ytyt = yt(yt + z ( t!)) + cytz ( t!) (yt + z ( t!))3yt = 2 rt + (c + )ytz ( t!) yt2(yt + z ( t!))2 ytz ( t!)(yt + z ( t!))2: Ta có z ( y t+ ( ! t nên hay
Ngoài ra
ytz ( t!)(yt + z ( t!))2 = p
2rtz ( t!)(yt + z ( t!))2
Khi đó với mọi t
~
t 7!(t; !; jyj
với giá trị ban đầu t0
a bt(!) := 2 + 2jz ( t!)j2;
p ct(!) := 6 2jz ( t!)j:
là biến ngẫu nhiên tăng dưới hàm mũ, tất cả các quá trình ngẫu nhiên và (ct)t2R cũng là biến ngẫu nhiên tăng dưới hàm mũ. Chú ý
s ~ t ~ t ~ t Do đó 1 at(!)~ t 2 + bt(!)~ t + ct(!)~ t 2 (a t) t2R; (b t) t2R VÌ z ( t!)
trong đó
là biến ngẫu nhiên tăng dưới hàm mũ. Vậy nghiệm t của phương trình (2.4) thỏa mãn (2.5). Ta có điều phải chứng minh.
Định lý sau đây chỉ ra sự tồn tại của tập hấp thụ.
Định lý 2.33. Với mọi 2 R; 0 thì RDS sinh bởi (2.1) có tập hấp thụ compact. Do đó kết hợp với Định lý 2.21 dẫn đến sự tồn tại duy nhất tập hút compact ! 7!A ; (!) = [a ; (!); a+; (!)]:
Chứng minh. Cho D 2 F B(R) tăng dưới hàm mũ. Khi đó tồn tại biến ngẫu nhiên tăng dưới hàm mũ R : ! R+ sao cho D(!) BR(!)(0). Theo bổ đề trên, với mọi x 2 D( t!) ta có
j (t; t!; y)j2 2~
t(t; t!; R( t!)) 2e tR( t!) + 2
trong đó ta sử dụng (2.5) ở bất đẳng thức cuối. Vì ( t)t2R là biến ngẫu nhiên tăng dưới hàm mũ, nên R 0
es s(!)ds tồn tại. Ngược lại, vì R là biến ngẫu nhiên tăng dưới hàm mũ nên lim e tR( t!) = 0: Đặt
t!1
s
Z 0
r(!) := 1 + 2 es s(!)ds: Khi đó, P- h.c.c, tồn tại thời điểm T > 0 sao cho
(t; t!; D( t!)) Br(!)(0); 8t T: Điều này có nghĩa rằng Br(!)(0) là tập hấp thụ.
Nhận xét 2.34. Với mọi 2 R+ thì phương trình (2.1) có duy nhất nghiệm với
mọi giá trị ban đầu và nghiệm tồn tại với mọi thời điểm dương bằng cách sử dụng các điều kiện Lipschitz và đơn điệu của Định lý tồn tại và duy nhất
42
nghiệm của [7] với Kn = 2n2(3n2 + )2 và K3 = 3 : Khi đó (2.1) định nghĩa một hệ động lực ngẫu nhiên ’ (phụ thuộc vào và ) với không gian trạng thái là đường thẳng thực và tham số thời gian một chiều I = R+;
’
biến (t; !; x) thành nghiệm của phương trình (2.1) với điều kiện giá trị ban đầu x(t0) = x0, có quỹ đạo là (Ws)s2R: