1. P(X 02 B )= (B); 8B 2 B(R);
2.2.4. Hiện tượng đồng bộ hóa của hệ rẽ nhánh Pitchfork
Định lý sau đây trình bày kết quả chính của luận văn.
Định lý 2.37. Giả sử ’ là RDS sinh ra bởi một phương trình vi phân ngẫu
nhiên trên R sao cho nửa nhóm Markov liên kết có duy nhất một độ đo xác suất bất biến. Giả sử ! 7!D(!) là tập compact ngẫu nhiên bất biến chặt
cũng đo được với fWt : t 0g. Đặt x+(!) = max D(!) và x (!) = min D(!) ta thu được hai biến ngẫu nhiên đo được với fWt : t 0g và hiển nhiên
46
x x+ (để kiểm tra tính đo được của x+ và x , ta chọn một dãy đếm được
! ! kn(!) đo được với Ft 0 và thỏa mãn
trong mục (i)
D là bất biến chặt nên với mọi t > 0 ’(t; !)x+(!) = x+( t!); ’(t; !)x
Tính đo được với Ft 0 của x+ và xdẫn đến hai độ đo xác suất ngẫu nhiên
+ = = x d (!()!) ! + đóR x (!) P
các độ đo bất biến này là duy nhất nên hàm phân phối của x+ và x
thông qua giải phương Fokker-Plank cũng là duy nhất. Kết hợp với tính bảo toàn
với x = x+ = x:
thứ tự của ’ và x
Áp dụng Định lý 2.37 cho RDS sinh bởi phương trình (2.1) ta có các kết quả sau.
Hệ quả 2.38. Với mọi 2 R và > 0 thì tập hút ngẫu nhiên ! 7!A ; (!) cho
bởi Định lý 2.21 chỉ gồm một điểm hầu chắc chắn, A ; (!) = A(!) = a(!) : Hơn nữa độ đo ngẫu nhiên != a(!) là độ đo Markov bất biến và = E ,
R
tức là (B) = !(B)dP(!), là độ đo bất biến duy nhất liên kết với nửa nhóm Markov với hàm mật đo cho bởi (2.7).
Chứng minh. Cố định 2 R và > 0. Theo Định lý 2.21, tập hút ngẫu nhiên
A = A ; là bất biến chặt, compact h.c.c và đo được với F 0; . Nửa nhóm
47
và ! 7!a(!) là F 0- đo được, ! 7! ! là độ đo Markov, do đó = E là bất biến với nửa nhóm Markov.
Hệ quả 2.39. Với mọi 2 R và > 0, độ đo bất biến Markov ! 7!a(!), với
A ; = a(!) là tập hút, hơn nữa nó còn là độ đo bất biến duy nhất của RDS sinh bởi SDE (2.1).
Chứng minh. Vì RDS sinh bởi phương trình 2.1 có tập hút toàn cục ! 7!A(!) nên mọi độ đo xác suất bất biến ! 7!! của RDS có giá là tập hút, tức là,
Z
(A) = !(A(!))dP(!) = 1
bởi [8]. Do đó, với tập hút toàn cục A chỉ chứa duy nhất một điểm, A(!) = a(!) , độ đo Dirac ! 7!a(!) là độ đo bất biến duy nhất của RDS.
Hệ quả 2.40. Hai nghiệm bất kì của SDE (2.1) hội tụ tới nhau theo tốc mũ với mọi giá trị của tham số 2 R: