1. P(X 02 B )= (B); 8B 2 B(R);
2.1.2. Tập hút của hệ động lực ngẫu nhiên
Định nghĩa 2.11. Một ánh xạ K : ! 2R nhận giá trị tập con của R được gọi là đo được nếu với mỗi x 2 R thì ánh xạ từ ! R, ! 7!d(x; K(!)) là ánh xạ đo được. Trong đó,
n o
d(A; B) = sup inf d(x; y) : y 2 B : x 2 A là nửa metric Hausdorff.
Một ánh xạ nhận giá trị tập đóng, đo được được gọi là một tập đóng ngẫu nhiên.
Một tập ngẫu nhiên K được gọi bất biến (chặt) ’- forward nếu với mọi t > 0,
’(t; !; K(!)) K( t!) (’(t; !; K(!)) = K( t!)); h:c:c:
Chú ý 2.12. (i) Tập đóng ngẫu nhiên không phụ thuộc vào việc chọn metric d. Hơn nữa với mọi tập đóng ngẫu nhiên khác rỗng ! ! K(!) tồn tại dãy
đo được kn : ! R; n 2 N sao cho K(!) = kn(!) : n 2 N .
(ii)Trong trường hợp tổng quát, giao bất kì các tập đóng ngẫu nhiên thì chưa chắc là một tập đóng ngẫu nhiên. Tuy nhiên nếu (Kt)t2I là một dãy giảm
T
các tập compact ngẫu nhiên thì K = lim Kt = Kt là một tập đóng
t2I t
ngẫu nhiên.
Định nghĩa 2.13. Cho một tập đóng ngẫu nhiên K, tập hợp (K; !) = K(!) =
’(s; s!)K( s!);
được gọi là tập- giới hạn của K. Theo định nghĩa trênK(!) là tập đóng. Tương tự như định nghĩa tập - giới hạn trong tất định ta cũng có định nghĩa
tương đương sau
n o
n!1
K(!) = y 2 R : 9 tn ! 1; xn 2 K( tn !) : ’(tn; tn !; xn!) y : Tập - chuyển của một tập - giới hạn là
K( ) t = (K; t!) = fy 2 R
’(tn; tn+t!; xn!) n!1 yg: Nhận xét sau chứng minh hoàn toàn tương tự như trong trường hợp tất định, trong đó ta sử dụng giả thiết về tính liên tục của ’(t; !; x).
Nhận xét 2.14. Tập- giới hạn của một tập đóng ngẫu nhiên K là bất biến.
Chứng minh. Với y 2 cho y = lim ’(tn;
n!1
K(!), tồn tại các dãy tn ! 1 và xn 2 K( tn !) sao tn!; xn). Với t > 0 điều này dẫn đến
’(t; !; y) = lim ’(t + tn; n!1 = lim ’(t + tn; n!1 = lim ’(t~n; ~ t!; xn); n!1 với t~ n = t + tn ! 1 và xn 2 K( tập - chuyển mà ta có ’(t; !; y) 2
Ngoài cách chứng minh trên, ta còn có cách chứng minh thuần "tất định" như sau
Chứng minh Nhận xét 2.14. Với mọi BR; t 0 và ! 2 ;
\[ ’ t; !; ’(s; s!)K( s!) ’ t; !; ’(s; s!)K( s!) t 0 s t \ [ ’(t; !; ’(s; s!)K( s!)) t 0 s t \ [ = ’(t + s; s!; K( s!)) t 0 s t \ [ = ’(t + s; t s! t!; K( t s! t!)) t 0 s t \ [ =’( ;t!; K( t(!)) t 0 s+t \ [ = ’( ; s t s
Ở đây ta sử dụng f
với
f
là hàm bị chặn
Định nghĩa 2.15 (Tập hút ngẫu nhiên). Một tập ngẫu nhiên A được gọi là hút tập ngẫu nhiên B nếu
d(’(t; t!; B( t!)); A(!!)) t!1 0; h:c:c:
Định nghĩa 2.16 (Tập hấp thụ ngẫu nhiên). Nếu 2 tập ngẫu nhiên A; B sao cho P- h.c.c tồn tại thời điểm tB(!) mà với mọi t tB(!)
’(t; t!; B( t!)) A(!);
thì A được gọi hấp thụ B, và tB được gọi thời điểm hấp thụ.
Nhận xét 2.17. Nếu một tập ngẫu nhiên A hút tập ngẫu nhiên B thì B A; h:c:c:
Chứng minh. Vì A hút B, theo định nghĩa ta có với mọi > 0, tồn tại thời điểm
= ( (!)) sao cho d(’(t; t!; B( t!)); A(!)) < với mọi t > . Cùng với nhận xét d(A; B) = d(A; B), ta có
d s ’(s; s!; B( s!)) [ = sup d ’(s; s!; B( s!)); A(!): s Mặt khác, [ B(!) ’(s; s!; B( s!)); 8t 0; s t
nên d( B(!); A(!)) < . Vậy B A:
Mệnh đề sau đưa ra một số tính chất của một tập -giới hạn B của tập ngẫu nhiên B trong trường hợp tồn tại một tập compact ngẫu nhiên A hấp thụ B.
Mệnh đề 2.18. Giả sử A; B là hai tập ngẫu nhiên mà A hấp thụ B, và A
là tập compact P- h.c.c. Khi đó P- hầu chắc chắn
(i) B(!) khác rỗng, và B(!) A(!), do đó nó là tập compact.
(ii) B(!) là bất biến chặt.
(iii) B(!) hút B.
Chứng minh. Từ giả thiết A hấp thụ B, tồn tại thời điểm tB(!) sao cho với mọi
t tB(!) :
’(t;t!; B( t!)) A(!):
Do đó với dãy (tn)n 2N tiến tới vô cùng và dãy (bn)n2N B( tn !) thì với n đủ lớn sao cho tn tB(!) ta có
Vì A(!) là tập compact nên với dãy ’(tn; tn !; bn) như trên tồn tại dãy con hội tụ tới điểm y 2 X:
Chứng minh (i): Với mọi dãy tn và bn xác định như trên, ta có điểm giới hạn
t 0 s t
A(!);
nênB(!) là tập con đóng của một tập compact nên nó là tập compact.
Chứng minh (ii): Từ Nhận xét 2.14 và từ định nghĩa tính bất biến chặt, ta chỉ
cần chứng minh với mọi s 0 thì B( s!) ’(s; !) B(!): Thật vậy, giả sử y 2 B( s!) với s 0. Khi đó y = lim ’(tn; tn+s!; bn) với các dãy
n!1 tn ! 1 và bn 2 B( tn+s!), cho nên y = lim ’(s; !)’(tn s; tn+s!; bn): n!1 Với n đủ lớn tn s tB(!) đặt kn := ’(tn s; tn+s!; bn) 2 A(!):
Khi đó ta trích ra được một dãy con knj hội tụ tới u 2 B(!). Vì ’(t; !) là hàm liên tục nên y = lim n!1’(s; !)’(tn s; tn+s!; bn) = ’(s; !) lim n!1’(tn s; tn+s!; bn) = ’(s; !; u); hay y 2 ’(s; !) B(!).
Chứng minh (iii): Nếu B(!) không hút B thì từ định nghĩa tồn tại > 0, dãy tn ! 1 và dãy bn 2 B( tn !) sao cho với mọi n 2 N
Nhưng dãy ’(tn; tn !; bn) n2N có dãy con hội tụ tới một điểm trong cùng với tính liên tục của hàm ’(t; !) mẫu thuẫn với giả thiết phản chứng.
Mệnh đề sau đưa ra một số tính chất của một tập - giới hạn của một tập compact ngẫu nhiên A mà hấp thụ một tập ngẫu nhiên B nào đó.
Mệnh đề 2.19. Giả sử A; B là các tập ngẫu nhiên sao cho A là compact P-h.c.c
và A hấp thụ B. Khi đó
và A hút B.
B A, P- h.c.c. Hơn nữa, A khác rỗng P- h.c.c
Chứng minh. Lấy y 2 B(!) thì theo định nghĩa y = lim ’(tn;
n!1 với các dãy tn ! 1 và bn 2 B( t !): Chọn T 0 và đặt n t !; bn)n N0 = min n 2 N : tn T + tB( tn !) : Khi đó với mọi n N0
’(tn; tn !; bn) = ’(T; T !)’(tn T; tn !; bn); và tn+ T tB( T !). Kết hợp với chú ý bn 2 B( tn !) = B( (tn T ) T !) nên dãy kn := ’(tn T; tn!; bn) = ’(tn T; (tn T ) T!; bn) 2 A( T !): Do đó, với mọi n N0 [ ’(tn; tn!; bn) 2 ’(T; T !; A( T !)) ’(t; t!; A( t!)); t T
hay y 2 A(!). Vì B(!) khác rỗng bởi tính chất (i) của Mệnh đề 2.18 nên
A(!) khác rỗng.
Định nghĩa 2.20 (Tập hút toàn cục). Giả sử ’ là một hệ động lực ngẫu nhiên
và tồn tại một tập compact ngẫu nhiên ! 7!A(!) thỏa mãn các điều kiện sau:
29
(i)’(t; !; A(!)) = A( t!) với mọi t > 0;
(ii) A hút mọi tập bị chặn tất định B X: Khi đó A được gọi là tập hút toàn cục của ’.
Định lý 2.21. Giả sử ’ là một hệ động lực ngẫu nhiên và giả thiết rằng tồn tại một tập compact ngẫu nhiên ! 7!K(!) hấp thụ mọi tập đóng tất định B R. Khi đó tập có dạng
[
A(!) = B(!);
B R
là một tập hút toàn cục của ’. Hơn nữa, A là đo được với F nếu I là thời gian rời rạc, và nó là đo được với F (tương ứng với P) nếu I là liên tục. Chứng minh. Với tập đóng B R bất kì, theo tính chất (i) của Mệnh đề 2.18
ta có B K và Blà tập compac nên A là tập compact. Vì ! 7!S
B(!)
B R
là bất biến chặt theo tính chất (ii) của Mệnh đề 2.18 và vì ’ là ánh xạ liên tục (’(A) ’(A)) suy ra tính bất biến của A. Hơn nữa A là bất biến chặt được suy ra tiếp từ tính compact của nó.
Để chứng minh tính đo được, chú ý rằng với bất kì x 2 R và mọi tập tất định
B R thì ánh xạ
là ánh xạ đo được nhờ tính khả ly của R và liên tục của ’. Với mọi0
Nếu thời gian I là rời rạc, ta có ngay tính đo được của I, chú ý rằng với 2 R bất kì
f
trong đó là phép chiếu chính tắc từ I vào . Tính đo được của ánh xạ
! 7!d(x; [t ’(t; t!; B)) tương ứng với P-đầy đủ của F. Lấy giao
\ [
’(t; t!; B)
0 t
trên thuộc các tập đếm được bị chặn, chẳng hạn 2 N, thì B là tập đo được.
Và vì A có thể lấy trên hợp đếm được các tập bị chặn B, ta có điều phải chứng minh.