hệ rẽ nhánh Pitchfork
Trong chương này, chúng tôi giới thiệu kết quả về hiện tượng nhiễu sinh ra hiện tượng đồng bộ hóa trên hệ rẽ nhánh Pitchfork trong [2] ở Mục 2.2. Để phát biểu và chứng minh kết quả đó, chúng tôi sẽ nhắc lại một số khái niệm và kết quả về tập hút ngẫu nhiên của hệ động lực ngẫu nhiên ở Mục 2.1.
2.1 Hệ động lực ngẫu nhiên
Trong mục này, ta giới thiệu một số khái niệm của hệ động lực ngẫu nhiên và điều kiện để một hệ động lực ngẫu nhiêu có tập hút ngẫu nhiên toàn cục.
2.1.1. Hệ động lực ngẫu nhiên
Trong mục này chúng ta xét thời gian I = R hoặc I = R+ và -đại số trên I là
-đại số Borel, kí hiệu bởi B(I).
Định nghĩa 2.1 (Hệ động lực Metric). Giả
kiện sau.
(i) (t; !) 7!(t; !) là ánh xạ đo được, (ii) (0; ) = id
(iii) Tính chất dòng (nửa dòng): (t + s) = (t) (s); với mọi t; s 2 R.
Ví dụ 2.2. Cho không gian chính tắc các quỹ đạo:
Trên , ta xác định metric cảm sinh bởi tôpô của các tập mở compact sau
d(!; !) := 1 F
Kí hiệu blà
Cho quá trình ngẫu nhiên Wt :
đo Wiener P sao cho quá trình ngẫu nhiên fWtgt2R là chuyển động Brown một chiều. Sau đây, ta định nghĩa hàm chuyển thời gian:
t!( ) = !( + t)!(t); t 2 R:
Khi đó, ( ; F; P; ( t)t2R) là một hệ động lực metric với họ các biến ngẫu nhiên fWtgt2R là chuyển động Brown, xem [5].
Định nghĩa 2.3 (Hệ động lực ngẫu nhiên). Cho ( ; F; P; (t) t2I) là một hệ động lực Metric với thời gian t. Một hệ động lực ngẫu nhiên (RDS) trên không gian đo được (R; B(R)) liên kết với hệ động lực Metric ( ) là một ánh xạ
’: T R! R;
(t; !; x) 7! ’(t; !; x) thỏa mãn các tính chất sau:
20
(i) Tính đo được: ’ là B(I) F B(R)=B(R)- đo được.
(ii) Tính đồng chu trình: Các ánh xạ ’(t; !) := ’(t; !; ) : R ! R lập nên một chu trình trên ( ), tức là, chúng thỏa mãn
’(0; !) = idR (ánh xạ đồng nhất trên R);
’(t + s; !) = ’(t; s!) ’(s; !); 8s; t 2 I; ! 2 :
Định nghĩa 2.4 (Tích chéo). Cho hệ động lực ngẫu nhiên ’. Khi đó ánh xạ
(!; x) 7!( t!; ’(t; !; x)) =: (t)(!; x); t 2 I;
là một hệ động lực đo được trên ( R; F B(R)) và được gọi là tích
chéo.
Cho hệ động lực ngẫu nhiên ’, sinh ra một tích chéo . Giả sử độ đo xác suất trên ( R; F B(R)) là bất biến với , tức là
:
R ! ; (!; x) = ! là phép chiếu vào nên
= = (( (t)) 1) = (( (t) ) 1) = (t)( ):
Do đó marginal của là - bất biến. Tiếp theo ta sẽ định nghĩa một độ đo
sao cho= P.
Định nghĩa 2.5 (Độ đo bất biến). Cho hệ động lực ngẫu nhiên ’, một độ đo xác suất trên ( R; F B(R)) được gọi là độ đo bất biến với hệ động lực ngẫu nhiên ’, hay ’- bất biến, nếu nó thỏa mãn
(i) (t) = , với mọi t 2 I;
Định nghĩa 2.6. Giả sử là độ đo xác suất trên ( R; F B(R)) với marginal P trên ( ; F). Ta gọi hàm ( ) : B(R) ! [0; 1] là độ đo mẫu của tương ứng với P nếu
(i)với mọi B 2 B(R); ! 7! !(B) là F- đo được,
(ii) B 7! !(B) là độ đo xác suất trên (R; B(R)), h.c.c. (iii) với mọi A 2 F B(R),
Z Z
(A) = 1A(!; x) !(dx)P(d!):
R
Định nghĩa 2.7 (Quá khứ, tương lai của hệ động lực ngẫu nhiên). Cho hệ động lực ngẫu nhiên đo được ’ trên (R; B(R)) với thời gian 2 chiều. Ta gọi - đại số con F F là quá khứ của ’ nếu nó thỏa mãn với mọi t 0 (1) ’( t; ) là F - đo được,
(2) ( t) 1FF :
Tương tự F+ F được gọi là tương lai của ’ nếu nó thỏa mãn với mọi t 0
(1) ’(t; ) là F+- đo được,
(2) (t) 1FF+:
Ta có thể xây dựng Fbé nhất như sau
F = ’( t; ; x) : t 0; x 2 R ; F+ = ’(t; ; x) : t 0; x 2 R :
Định nghĩa 2.8 (Độ đo Markov). Cho hệ động lực ngẫu nhiên đo được ’ với
22
( R; F B(R)) với marginal P trên là F - đo được hoặc F+- đo được, tức là đo Markov.
( ; F) sao cho độ đo mẫu ! 7! ! E( jF ) = , h.c.c, được gọi là độ
Tiếp theo ta sẽ trình bày định nghĩa về quá trình Markov phục vụ cho phần sau.
Định nghĩa 2.9. Cho là độ đo xác suất trên không gian (R; B(R)) với bộ lọc tự nhiên (F)t 0. Cho X = fXt; Ft; t 0g là quá trình liên tục, tương thích nhận giá trị thực. Quá trình này được gọi chuyển động Brown với phân phối ban đầu nếu