1. P(X 02 B )= (B); 8B 2 B(R);
2.2.3. đo dừng của hệ rẽ nhánh Pitchfork và số mũ Lyapuno
Định lý 2.35. Với mọi 2 R; > 0 thì nửa nhóm Markov sinh bởi (2.1) có duy nhất độ đo xác suất bất biến trên R và giải phương trình Fokker- Plank ta có hàm mật độ
p(x) = c exp 1 2
Chứng minh. Gọi : R+0 R ! R; (t; !; x) 7!Dx’(t; !; x) là hệ động lực tuyến tính thỏa mãn (0; !; x) =id (ánh xạ đồng nhất) và
_
(t; !; x) = Df(’(t; !; x)) (t; !; x):
Khi đó là đồng chu trình tuyến tính trên dòng các tích chéo ( t)t2R+0 xác định trên R cho bởi
t(!; x) := ( t!; ’(t; !; x)):
( ; ) là hệ động lực ngẫu nhiên tuyến tính, với hệ động lực ergodic ( t)t2R thay thế bởi ( t)t2R+0 : Ta thu được một độ đo xác suất ergodic cho tích chéo ( t)t2R+0 bằng cách chỉ ra tồn tại tương ứng một-một giữa độ đo dừng cho nửa nhóm Markov liên kết với (2.1) và một độ đo bất biến của ( t)t2R+0 .
Trước hết ta giải phương trình Fokker- Planck tìm hàm mật độ cho phân phối
dừng duy nhất của phương trình (2.1), ở đây hệ số định hướng là x x3 và
2
hệ số khuếch tán là 2 . Ta có
@tp(x; t) =
Vì hàm phân phối là dừng nên p(x; t) = p(x), viết lại phương trình trên
Tích phân 2 vế ta được
từ đó tìm được nghiệm của phương trình trên cho bởi
Độ đo dừng dẫn tới độ đo bất biến của ( t)t2R0+ trên Xét giới hạn
tồn tại P- hầu chắc chắn và là độ đo ngẫu nhiên F 0- đo được, tức là, với mọi
B 2 B(R) thì ! 7!!(B) là F0- đo được. Từ đó ta định nghĩa độ đo Markov
trên ( R; F B(R)) bởi Z
(C) := ! (C!
)dP(!); 8C 2 F B(R);
2 C , là bất biến với ( t)t2R+0 . Ngược lại, độ đo dừng cho bởi
Z
Tính duy nhất của độ đo dừng với hàm mật độ p(x) dẫn đến độ đo bất biến là ergodic. Ta có điều phải chứng minh.
Tiếp theo ta chỉ ra rằng hệ tuyến tính được định nghĩa như (2.8) thỏa mãn điều kiện khả tích
sup ln+ k (t; !; x)k 2 L1( ):
0 t 1
Từ đó ta có thể tính số mũ Lyapunov cho RDS tuyến tính ( ; ).
Bổ đề 2.36.
Khi đó P- hầu chắc chắn các ! 2
và hệ động lực tuyến tính thỏa mãn điều kiện khả tích.
Chứng minh. Áp dụng trực tiếp vào bài toán rẽ nhánh Pitchfork ta có
j Từ đó
Z
R 0 t 1
với p(x) là hàm mật độ cho bởi (2.7). Vậy hệ động lực tuyến tính thỏa mãn điều kiện khả tích.
Xét bài toán (2.1) cùng với hệ động lực (2.8) ta có _
nên
(t; !; x) = exp Z
Áp dụng định lý Birkhoff cho dòng ở đây ta chọn hàm f(!; x) = 3x2 ta tính được số mũ Lyapunov của hệ động lực ngẫu nhiên tuyến tính ( ; )
= lim
=
= Z (
Ta chỉ ra số mũ Lyapunov luôn âm. Thật vậy,
= A!1
lim
=