1. P(X 02 B )= (B); 8B 2 B(R);
2.1.3. Tính duy nhất của tập hút ngẫu nhiên
Giả sử ’ là hệ động lực ngẫu nhiên trên R với tập hút ngẫu nhiên A. Ta muốn chỉ ra với mọi > 0 tồn tại một tập compact tất định K R sao cho A đồng
nhất với tập- giới hạn của K với xác suất không nhỏ hơn 1 : Hơn nữa, nếu là ergodic, thì tồn tại tập compact K R sao cho A = K với xác suất 1:
Mệnh đề 2.22. Giả sử ! 7!I(!) là tập bất biến chặt, tức là, với mọi t 0
’(t; !; I(!)) = I( t!); h.c.c.
Khi đó, P ! : I(!) D(!)
với tập ngẫu nhiên bất kì D 2 F
thỏa mãn P(F1) P(F ). Với mỗi ! 2 F1 thì I( n!) D( n!) kể từ n 2 N nào đó trở đi, nên theo tính bất biến chặt của I,
I(!) = ’(n; n!; I( n!)) ’(n; n!; D( n!)): Khi đó, với mọi N 2 N,
[ I(!) ’(n; n!; D( n!)): n N Vậy I(!) N2N n N \ [ ’(; s!; D( s!)) = D(!): N2N s N
Điều này có nghĩa rằng F1 ! : I(!) D(!) , hay P(I D) P(F1) P(F) = P(I D):
Ta có điều phải chứng minh. Hệ quả 2.23. Giả sử ’ là RDS liên kết với dòng ergodic . Nếu I là tập bất biến chặt thì P(I D) = 1 với mọi D 2 F B(R) mà P(I D) > 0:
Chứng minh. Giả sử D là tập ngẫu nhiên mà P(I D) > 0: Đặt F = !:I(!) D(!) :
Với mỗi ! 2 F , vì I là bất biến chặt và tập D cũng bất biến( theo Chú ý 2.14), ta có
32
Từ đó F t 1F; với mọi t 0 nên P(F t 1F n F ) = 0. Khi đó F là tập con của - đại số của các tập - bất biến. Mệnh đề 2.1.3. dẫn đến
P(F) = P(I D) P(I D) > 0:
Vì là ergodic, mọi tập có độ đo dương sẽ có độ đo đủ hay P(I D) = 1:
Hệ quả 2.24. Giả sử ’ là RDS và I là tập compact bất biến chặt. Khi đó với mọi > 0 tồn tại một tập compact tất định K R mà
P(IK) 1 :
Khi là ergodic thì tồn tại tập compact tất định K sao cho P(I K) = 1 và
điều này cũng đúng với mọi tập compact tất định K sao cho P(I K) 6= 0:
Chứng minh. Vì I(!) là tập compact ngẫu nhiên nên với mọi > 0 tồn tại tập
compact tất định K = K Mệnh đề 2.1.3.
P(I K) P(I K) 1
Khi là ergodic thì kết luận P(I K ) = 1 với mọi tập K mà P(I K) 6= 0 suy ra trực tiếp từ Hệ quả 2.23.
Hệ quả 2.25. Giả sử ’ là RDS có tập hút toàn cục ! 7!A(!) hút các tập compact. Khi đó mọi tập ngẫu nhiên compact bất biến chặt ! 7!I(!) thỏa mãn
P(I A) = 1:
Chứng minh. Theo Bổ đề 2.24, với mọi > 0 cho trước tồn tại tập compact K = K R sao cho P(I K ) 1 : Hơn nữa vì A hút K nên K A (theo mục (i) của Mệnh đề 2.18) hay P( K A) = 1. Từ đó
33
Điều này đúng với> 0 bất kì nên I A h.c.c.
Hệ quả 2.26. Giả sử ’ là RDS. Nếu A1 và A2 là các tập hút ngẫu nhiên hút các tập compact tất định thì A1 = A2; h.c.c. Do đó một tập hút ngẫu nhiên thì tồn tại duy nhất h.c.c.
Chứng minh. Từ Bổ đề 2.24 suy ra P(A1 A2) = 1 và P(A2 A1) = 1. Ta có điều phải chứng minh.