1. P(X 02 B )= (B); 8B 2 B(R);
2.2.1. Hệ động lực ngẫu nhiên sinh bởi rẽ nhánh Pitchfork với nhiễu
ngẫu nhiên
Tiếp theo ta chứng minh phương trình (2.1) sinh ra RDS. Với mỗi ! 2
và giá trị ban đầu xt0 = x0 và T > 0, ta nói rằng hàm liên tục x( ; !; x0) : [t0; T ] ! R là nghiệm của phương trình (2.1) nếu nó thỏa mãn phương trình tích phân sau
xt := x(t; !; x0) = x0 + Z
0
Với c > 0, xét quá trình ngẫu nhiên Ornstein-Uhlenbeck dzt =
Bằng phương pháp biến thiên hằng số, ta biết rằng phương trình trên có nghiệm duy nhất cho bởi
t Z
zt = e ct z0 + ecsdWs :
0
Định nghĩa quá trình ngẫu nhiên z := R
0
nghiệm của phương trình (2.2), tức là,
ecsdWs. Khi đó t 7!z ( t!) là
z ( t!) = z (!) c Z
0
35t t = ect Z t Z = e ct z0 + ecsdWs : 0 Bằng phép thế biến yt = x(t; !; x0) z ( t!), ta chỉ ra rằng yt thỏa mãn phương trình tích phân sau
dyt = h( t!; yt)dt; h( t!; yt) = xt xt3 + cz ( t!): Thật vậy, yt = x(t; !; x0) z ( t!) t Z = x0 + ( xs x3s)ds + !(t) z (!) t Z cz ( s!)ds + !(t) = (x0 Z = y0 + h( s!; ys)ds: 0
Phương trình (2.3) chính là RDE cần tìm. Định lý sau phát biểu về tính chất đồng chu trình của nghiệm phương trình RDE vừa tìm được.
Định lý 2.27. Hàm số liên tục (t; !; y) được gọi là nghiệm của phương trình RDE nếu nó thỏa mãn phương trình tích phân
yt := (t; !; y0) = y0 + Z
0
với mọi t 2 I(!; y0) là miền tồn tại cực đại và y(t0) = y0. Khi đó (t; !; y0) là một đồng chu trình.
36
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh (t; !; y) thỏa mãn tính chất đồng chu trình, tức là thỏa mãn các tính chất sau:
(i) s + t 2 I(!; y0) , t 2 I( s!;
(ii) (t + s; !; y0) =
Chứng minh (i): Giả sử t 2 I( s!; (t; s!; (s; !; y0)) =
Khi đó
Vậy t + s 2 I(!; y0) và bởi tính duy nhất nghiệm ta có
(t + s; !; y0) = k(t + s; !; u) = (t; s!; (s; !; y0)):
37s s Z =y0 + h( u!; (u; !; y0))du 0 t+s Z + h( u!; (u; !; y0))du s = (s; !; y0) + Z 0 Đặt ! := s!(y0) = (s; !; y0) và g(t; !; y0) = y0 + Z 0
tức là, t 2 I(!; y0) = I( s!;(s; !; y0)) và vì tính tồn tại duy nhất nghiệm, (t; !; y0) = (t; s!; (s; !; y0)) = k(t; !; y0) = (t + s; !; y0):
Ta có điều phải chứng minh.
Bổ đề 2.28. Hệ động lực ngẫu nhiên x : R0+R ! R cho bởi
x(t; !; x0) := (t; !; y0) + z ( t!);
sinh bởi phương trình vi phân ngẫu nhiên (2.1). Chứng minh. Vì là nghiệm của phương trình (2.3) nên
x(t; !; x0) = (t; !; y0) + z ( t!)
= x0 z (!) + Z
38= x0 + Z = x0 + Z 0 = x0 + Z h( s!; xs t Z = x0 + f( s!; x(s; !; x0))ds + !(t): 0
Ta có điều phải chứng minh.