Sự đồng bộ hóa trong mạng lưới gồm hai hệ phương trình Fitzhugh-nagumo khi có dòng điện kích hoạt từ bên ngoài

Bài viết nghiên cứu điều kiện cần và đủ cho độ mạnh liên kết để xảy ra sự đồng bộ hóa của mạng lưới gồm hai phương trình FitzHugh-Nagumo (FHN) khi chịu ảnh hưởng của một tham số, cụ thể là tần số của dòng điện tác động từ bên ngoài. Bằng cách sử dụng phương pháp hàm số Lyapunov sẽ tìm được điều kiện đủ và bằng số mũ Lyapunov xuyên ngang lớn nhất sẽ tìm được điều kiện cần cho độ mạnh liên kết.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP Tạp chí Khoa học số 38 (06-2019) SỰ ĐỒNG BỘ HÓA TRONG MẠNG LƢỚI GỒM HAI HỆ PHƢƠNG TRÌNH FITZHUGH-NAGUMO KHI CĨ DỊNG ĐIỆN KÍCH HOẠT TỪ BÊN NGỒI  Phan Văn Long Em(*) Tóm taét Bài báo nghiên cứu điều kiện cần đủ cho độ mạnh liên kết để xảy đồng hóa mạng lưới gồm hai phương trình FitzHugh-Nagumo (FHN) chịu ảnh hưởng tham số, cụ thể tần số dòng điện tác động từ bên Bằng cách sử dụng phương pháp hàm số Lyapunov tìm điều kiện đủ số mũ Lyapunov xuyên ngang lớn tìm điều kiện cần cho độ mạnh liên kết Kết thu cho thấy đồng hóa xảy độ mạnh liên kết đủ lớn Bài báo cịn trình bày kết phương pháp số để kiểm tra lại kết lý thuyết thu Từ khóa: Độ mạnh liên kết, hệ phương trình FitzHugh-Nagumo, hàm số Lyapunov, số mũ Lyapunov xuyên ngang lớn nhất, đồng hóa Đặt vấn đề Sự đồng hóa tượng vô quan trọng tự nhiên khoa học phi tuyến, đặc biệt mạng lưới hệ phương trình dao động liên kết yếu với [8], [9] Điều có nghĩa hệ phương trình có đặc tính thời điểm Do đó, mạng lưới gồm hai hệ phương trình đồng hóa có nghĩa hệ phương trình chép đặc tính hệ phương trình kể từ thời điểm Khi đó, mạng lưới hệ phương trình gọi đồng Trong não người có nhiều tế bào, chúng liên kết với tạo thành mạng lưới tế bào Một mạng lưới tế bào hệ thống tế bào liên kết với mặt sinh lý học Sự trao đổi chúng chủ yếu dựa vào q trình điện hóa Bài báo trình bày đồng hóa hệ thống hai tế bào liên kết tuyến tính với Trong đó, tế bào mơ tả hệ phương trình vi phân FitzHugh-Nagumo (FHN) Năm 1952, Hodgkin Huxley đưa mơ hình tốn học bốn chiều xấp xỉ tính chất hoạt náo điện áp tế bào [4] Dựa mô hình này, nhiều mơ hình đơn giản công bố nhằm mô tả hoạt náo điện áp tế bào Năm 1962, FitzHugh R Nagumo J cơng bố mơ hình mang tên Mơ hình FitzHugh-Nagumo (FHN) biết mơ hình hai chiều đơn giản hóa từ hệ phương trình tiếng HodgkinHuxley [2], [7] Tuy mơ hình đơn giản hơn, có nhiều kết giải tích đáng ý (*) Trường Đại học An Giang 74 giữ tính chất, ý nghĩa mặt sinh học Mơ hình tạo thành từ hai phương trình hai biến u v Biến biến nhanh, gọi biến hoạt náo, thể cho điện áp màng tế bào Biến thứ hai biến chậm, thể cho số đại lượng vật lí phụ thuộc thời gian độ dẫn điện dòng ion ngang qua màng tế bào Hệ phương trình FitzHugh-Nagumo biểu diễn hệ sau:  du  dt  u (u  1)(1  bu )  v  s (t ), (1)   dv  cu,  dt đó, b, c số dương, s(t ) dịng điện kích hoạt từ bên ngồi cho công thức: a s(t )  cos2 ft , (2) 2 f với a f tương ứng biên độ tần số dịng điện kích hoạt từ bên Trong năm gần đây, đồng hóa nghiên cứu rộng rãi nhiều lĩnh vực, nhiều tượng tự nhiên phản ánh đồng hóa di chuyển tạo thành đám mây đàn chim, di chuyển đàn cá chép hồ, di chuyển đoàn diễu hành, nhận truyền thông tin nhóm tế bào… [1], [2], [7] Chính việc nghiên cứu đồng hóa mạng lưới tế bào cần thiết Để cho việc nghiên cứu trở nên dễ dàng hơn, báo xét mạng lưới hai tế bào liên kết tuyến tính với nhau, nghiên Tạp chí Khoa học số 38 (06-2019) TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP cứu tìm điều kiện cần đủ cho đồng hóa xảy mạng lưới xét Sự đồng hóa mạng lƣới gồm hai hệ phƣơng trình FitzHugh-Nagumo Từ hệ phương trình (1), mạng lưới hai hệ phương trình FitzHugh-Nagumo liên kết tuyến tính với biểu diễn sau:  du1  dt   dv1  dt   du2  dt  dv   dt  u1 (u1  1)(1  bu1 )  v1  g (u1  u2 )  s (t ),  cu1 , (3)  u2 (u2  1)(1  bu2 )  v2  g (u2  u1 )  s (t ),  cu2 , đó, ui , vi , i  1,2 biến tế bào thứ i g độ mạnh liên kết ( g  0) Định nghĩa Hệ phương trình (3) gọi đồng hóa với điều kiện ban đầu ui (0), vi (0), i  1,2, ta có: lim u1 (t )  u2 (t )  lim v1 (t )  v2 (t )  t  t  a Điều kiện đủ cho đồng hóa Đặt e1  u2  u1 , e2  v2  v1 sai số đồng hóa biến hệ phương trình (3) Khi đó, hệ phương trình vi phân sai số cho bởi:  de1  2  dt   1  g  (1  b)(u1  u2 )  b(u1  u1u2  u2 )  e1  e2 , (4)   de2  ce  dt Định lí Nếu độ mạnh liên kết g thỏa mãn điều kiện g  M (2(1  b)  3Mb  , M cận giá trị tuyệt đối điện màng tế bào, với điều kiện ban đầu ui (0), vi (0), i  1,2, hệ phương trình (3) đồng hóa Chứng minh Chú ý (0,0) điểm kì dị hệ phương trình (4) Chọn hàm số Lyapunov sau: E (e1 , e2 )  c e12   e22 , đó,  số dương Lấy đạo hàm theo thời gian hàm số Lyapunov trên, ta dE (e1 , e2 ) dt de de  2c e1  2 e2 (5) dt dt  2  1  g  (1  b)(u1  u2 )  b(u12  u1u2  u22 )  e12 Vì nghiệm hệ phương trình (4) bị chặn [6], đặt cận M (tức ui  M , i  1,2 ) Nên dE (e1 , e2 )  2 1  g  M (2(1  b)  3Mb) e12 dt Do đó,  g  M (2(1  b)  3Mb)  dE (e1 , e2 ) dE (e1 , e2 )      Đặt   (e1 , e2 ) : dt dt   Từ (5),   (e1 , e2 ) : e1  0 Trong tập bất biến de1  Suy e2  Do đó, dt (0,0) nghiệm hệ phương trình (4) Sử dụng Định lí LaSalle [5], ta có (0,0) điểm ổn định tiệm cận tồn cục Định lí chứng minh Định lí cung cấp điều kiện đủ đồng hóa hệ (4), khơng phải điều kiện cần Nói cách khác, độ mạnh liên kết khơng thỏa mãn Định lí khơng có nghĩa hệ phương trình (4) khơng có đồng hóa Thật vậy, phương pháp số ta kiểm tra độ mạnh liên kết khơng thỏa mãn điều kiện đủ nói trên, hệ phương trình (4) đồng hóa (xem Hình 3) b Điều kiện cần cho đồng hóa Theo nghiên cứu [8], [9], [10] điều kiện cần thiết cho đồng hóa số mũ Lyapunov xuyên ngang lớn Lmax nhận giá , ta ln có   trị âm Bằng phương pháp số, ta tính số mũ Lyapunov xuyên ngang lớn biểu diễn Hình Theo Hình 1, số mũ Lyapunov xuyên ngang lớn nhận giá trị âm g  0,07 Nghĩa là, giá trị độ mạnh liên kết thỏa mãn điều kiện hệ phương trình (4) đồng hóa Hình Mối tƣơng quan số mũ Lyapunov xuyên ngang lớn độ mạnh liên kết (sự đồng hóa xảy g  0,07, với b  10, c  1, a  0,1, f  0,129 ) 75 Tạp chí Khoa học số 38 (06-2019) TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP Có ý quan trọng rằng, điều kiện cần điều kiện đủ cho đồng hóa Theo kết nghiên cứu báo [4] khơng đồng hóa xảy số mũ Lyapunov xuyên ngang lớn nhận giá trị âm Mô Để kiểm tra hiệu điều kiện cần đủ nói trên, so sánh điều kiện này, kết tính tốn báo thực C++ dùng thuật toán Runge-Kutta để lấy tích phân hệ phương trình (4) với bước thời gian t  0,005 Các giá trị tham số chọn sau: b  10, c  1, a  0,1, f  0,129, với điều kiện ban đầu: u1 (0); v1 (0);u2 (0); v2 (0)    0,1; 0;  0,1; 0,1 Với g  0,05, hai điều kiện cần đủ không thỏa mãn (xem Hình 2) Sự đồng hóa khơng xảy mạng lưới (4) Hình Sự khơng đồng hóa hệ phƣơng trình (4) với g  0,05 : (a) tƣơng quan u1 u2 , (b) sai số đồng hóa e1  u2  u1 , e2  v2  v1 Với g  2, điều kiện đủ không thỏa mãn, điều kiện cần thỏa mãn Lmax  0,2321 Xem Hình 3, ta thấy có   đồng hóa xảy hệ phương trình (4), điều kiện đủ khơng thỏa mãn Hình Sự đồng hóa hệ phƣơng trình (4) với g  2, (a) tƣơng quan u1 u2 , (b) sai số đồng hóa e1  u2  u1 , e2  v2  v1 Kết luận Bài báo đưa kết đồng hóa mạng lưới hai hệ phương trình FitzHughNagumo liên kết tuyến tính với Sự đồng hóa xảy độ mạnh liên kết đủ lớn Ngồi ra, nghiên cứu cịn đưa điều kiện cần đủ độ mạnh liên kết để đạt đồng hóa mạng lưới xét Sự đồng hóa mạng lưới tế bào quan trọng thường diễn não người, đóng vai trị việc truyền đạt thông tin Nghiên cứu cung cấp hiểu biết tượng đồng hóa hai tế bào, đặc biệt việc nghiên cứu phát triển lên việc nghiên cứu đồng hóa hệ thống nhiều tế bào liên kết với nhau./ Tài liệu tham khảo [1] Braun, H A., Wissing, H., Schäfer, K., & Hirsch, M C (1994), “Oscillation and noise determine signal transduction in shark multimodel sensory cells”, Nature, (Vol 367), pp 270-273 [2] Fitzhugh, R (1960), “Thresholds and plateaus in the Hodgkin–Huxley nerve equations”, J Gen Physiol., (Vol 43), pp 867-896 [3] Heagy, J F., Carroll, T L., & Pecora, L M (1995), “Desynchronization by periodic orbits”, Phys Rev E., (Vol 52), pp 1253-1256 [4] Hodgkin, A L., & Huxley, A F (1952), “A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve”, J Physiol., (Vol 117), pp 500-544 [5] Khalil, H K (2002), Nonlinear Systems, third ed., Prentice Hall, New York [6] Kostova, T., Ravindran, R., Schonbek, M (2004), “FitzHugh–Nagumo revisited: types of bifurcations, periodical forcing and stability regions by a Lyapunov functional”, Int J Bifurcat Chaos 14, (Vol 3), pp 913-925 [7] Nagumo, J., Arimoto, S., & Yoshizawa, S (1962), “An active pulse transmission line simulating nerve axon”, Proc IRE., (Vol 50), pp 2061-2070 76 TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP Tạp chí Khoa học số 38 (06-2019) [8] Pecora, L M., & Carroll, T L (1998), “Master stability functions for synchronized coupled systems”, Phys Rev Lett., (Vol 80), pp 2109-2112 [9] Yanchuk, S., Maistrenko, Y., Lading, B., & Mosekilde, E (2000), “Effects of a parameter mismatch on the synchronization of two coupled chaotic oscillators”, Int J Bifurcat Chaos, (Vol 10), pp 2629-2648 [10] Wolf, A., Swift, J B., Swinney, H L., & Vastano, J A (1985), “Determining Lyapunov exponents from a time series”, Physica D., (Vol 16), pp 285-317 SYNCHRONIZATION ON THE NETWORK OF TWO FITZHUGH-NAGUMO SYSTEMS WITH THE EFFECT OF THE EXTERNAL ELECTRICAL STIMULATION Summary This paper investigates both necessary and sufficient conditions of the coupling strength in order to cause the synchronization of two interacting FitzHugh-Nagumo systems (FHN) with the effect of one parameter, namely the frequency of the external electrical stimulation The Lyapunov function method is used to identify the sufficient condition, while the largest transverse Lyapunov exponent helps to find out the necessary condition of the coupling strength The result shows that the synchronization occurs when the coupling strength is large enough Moreover, the numerical results are presented to test the theoretical one Keywords: Coupling strength, FitzHugh-Nagumo system, Lyapunov function method, largest transverse Lyapunov exponent, synchronization Ngày nhận bài: 25/01/2019; Ngày nhận lại: 28/02/2019; Ngày duyệt đăng: 07/5/2019 77 ... HỌC ĐỒNG THÁP cứu tìm điều kiện cần đủ cho đồng hóa xảy mạng lưới xét Sự đồng hóa mạng lƣới gồm hai hệ phƣơng trình FitzHugh-Nagumo Từ hệ phương trình (1), mạng lưới hai hệ phương trình FitzHugh-Nagumo. .. 0,05, hai điều kiện cần đủ khơng thỏa mãn (xem Hình 2) Sự đồng hóa khơng xảy mạng lưới (4) Hình Sự khơng đồng hóa hệ phƣơng trình (4) với g  0,05 : (a) tƣơng quan u1 u2 , (b) sai số đồng hóa e1... Xem Hình 3, ta thấy có   đồng hóa xảy hệ phương trình (4), điều kiện đủ khơng thỏa mãn Hình Sự đồng hóa hệ phƣơng trình (4) với g  2, (a) tƣơng quan u1 u2 , (b) sai số đồng hóa e1  u2  u1 ,