Về môđun và vành s nội xạ

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– NGUYỄN THỊ DIỄM CHI VỀ MÔĐUN VÀ VÀNH S- NỘI XẠ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Đà Nẵng - Năm 2017 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– NGUYỄN THỊ DIỄM CHI VỀ MÔĐUN VÀ VÀNH S- NỘI XẠ Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS TS LÊ VĂN THUYẾT Đà Nẵng - Năm 2017 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả Nguyễn Thị Diễm Chi LỜI CẢM ƠN Lời luận văn xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn GS TS Lê Văn Thuyết tận tình hướng dẫn tơi suốt q trình thực để tơi hồn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất thầy cô giáo tận tình dạy bảo tơi suốt thời gian học tập khóa học Đồng thời xin gửi lời cảm ơn đến bạn lớp cao học khóa 31 nhiệt tình giúp đỡ tơi q trình học tập lớp Nguyễn Thị Diễm Chi DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU N Tập hợp số tự nhiên Z Tập hợp số nguyên Im(f ), Ker(f ) Ảnh, hạt nhân đồng cấu f (tương ứng) MR (R M ) M R-môđun phải, trái (tương ứng) soc(M ) Đế M rad(M ) Căn M J, J(R) Sr , Sl Căn vành R soc(RR ), soc(R R) Z(M ) Môđun suy biến M Z2 (M ) Môđun suy biến thứ hai M rR (X) , lR (X) Linh hóa tử phải, linh hóa tử trái X R K≤M K môđun môđun M K≤e M K môđun cốt yếu môđun M K≤⊕ M K hạng tử trực tiếp môđun M E(M ) Bao nội xạ môđun M N 'M N đẳng cấu với môđun M N ⊕M Tổng trực tiếp môđun N môđun M MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các kiến thức vành môđun 1.2 Môđun xạ ảnh nội xạ 1.3 Môđun vành Nơte 1.4 Môđun suy biến vành suy biến 13 1.5 Vành nửa hoàn chỉnh 14 1.6 Bất biến Morita 14 1.7 Các lớp môđun, vành khác 16 CHƯƠNG MÔĐUN VÀ VÀNH S-NỘI XẠ 19 2.1 Định nghĩa ví dụ 19 2.2 Tính chất 22 2.3 Tính chất s-nội xạ môđun số vành 35 KẾT LUẬN 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO 55 MỞ ĐẦU 1.Tính cấp thiết đề tài Lý thuyết vành môđun lý thuyết toán học phát triển mạnh mẽ, với quan tâm nhiều nhà toán học Vào năm 1960, 1970 kỷ trước, tầm quan trọng môđun nội xạ lý thuyết môđun nói riêng đại số nói chung nhiều nhà toán học nghiên cứu phát triển Một nghiên cứu lý thuyết việc nghiên cứu “môđun s-nội xạ” Lý thuyết môđun s-nội xạ đời có nhiều ứng dụng việc nghiên cứu lý thuyết vành s-nội xạ Trước tiên, xin đề cập đến môđun nội xạ Khái niệm môđun nội xạ Baer đề xuất vào năm 1940 Theo đó, môđun M gọi N -nội xạ với mơđun A N đồng cấu f : A → M mở rộng đến đồng cấu g : N → M Môđun M gọi nội xạ M N -nội xạ với môđun N Không đưa khái niệm mơđun nội xạ, Baer cịn đưa tiêu chuẩn quan trọng để kiểm tra R-mơđun M nội xạ Tiêu chuẩn mang tên "Tiêu chuẩn Baer" phát biểu sau: Môđun MR nội xạ với iđêan phải I R, đồng cấu f : IR → MR mở rộng đến đồng cấu g : RR → MR Từ tiêu chuẩn Baer đời, môđun nội xạ mở rộng theo hai hướng Một mở rộng môđun nội xạ từ định nghĩa gốc Hai mở rộng theo tiêu chuẩn Baer Trong mở rộng thứ đó, nhiều người nghĩ đến việc mở rộng đồng cấu R-môđun từ môđun đặc biệt môđun môđun suy biến Z(N ) NR vào MR thành đồng cấu R-môđun từ NR vào MR Vấn đề nhiều nhà tốn học tập trung nghiên cứu tìm hiểu Vào năm 2013, Nasr A.Zeyada đưa khái niệm mơđun s-N -nội xạ Trong khái niệm s-N -nội xạ định nghĩa: "Một R-môđun phải M gọi s-N -nội xạ đồng cấu R-môđun f : K → M , với đơn cấu ι : K → N tồn đồng cấu h : N → M cho f = hι, K mơđun mơđun suy biến R-môđun N Song song với ơng đưa khái niệm s-nội xạ s-nội xạ mạnh Đặc biệt ông đưa số tính chất s-nội xạ môđun vành SI, vành GV, vành PF, Với mong muốn tìm hiểu kết môđun s-nội xạ, vành s-nội xạ định hướng thầy giáo hướng dẫn GS TS Lê Văn Thuyết, mạnh dạn chọn đề tài "Về môđun vành S- nội xạ" để nghiên cứu với hi vọng tìm hiểu sâu tính chất chúng Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu nghiên cứu kỹ tài liệu có nguồn gốc khác để lĩnh hội kiến thức liên quan môđun vành s-nội xạ, chứng minh cụ thể tính chất mơđun s-nội xạ, làm rõ thơng qua số ví dụ Hi vọng luận văn dùng làm tài liệu tham khảo cho số học viên cao học, cho sinh viên toán năm cuối Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu môđun vành s-nội xạ Luận văn sâu tìm hiểu khái niệm, tính chất quan trọng mơđun vành s-nội xạ đưa ví dụ minh họa Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu chủ yếu thu thập báo khoa học, sách tác giả có liên quan đến mơđun vành s-nội xạ, đồng thời tham gia trao đổi kết nghiên cứu với bạn học viên nhóm, với thầy hướng dẫn với bạn khác Bố cục đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn chia thành hai chương: Chương 1: Trình bày số kiến thức môđun, môđun cốt yếu, môđun nội xạ, số vành liên quan: vành Nơte, vành nửa hoàn chỉnh, bất biến Morita, vành giả Frobenius, Chương 2: Là nội dung luận văn Chương chia làm ba phần Phần thứ trình bày định nghĩa, ví dụ mơđun s-nội xạ Phần thứ hai trình bày tính chất mơđun s-nội xạ Phần thứ ba trình bày tính chất s-nội xạ mơđun vành đặc biệt CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương nhắc lại kiến thức vành môđun, môđun nội xạ, môđun vành Nơte, môđun suy biến không suy biến số vành liên quan Các chi tiết liên quan xem tài liệu [1], [2], [5], [7], [8], [9] Trong luận văn này, ta quy ước vành cho kết hợp có đơn vị, khác R-môđun phải hay trái unita Ta quy ước R-môđun viết luận văn R-môđun phải Khi M R-mơđun trái đề cập thêm 1.1 Các kiến thức vành môđun Sau số định quan trọng đồng cấu môđun Định lý 1.1.1 ([1, Định lý 3.2.1]) Mỗi đồng cấu mơđun phải α : AR → BR phân tích α = α0 ν đồng cấu ν : A → A/K er (α) tồn cấu tắc, cịn α0 đơn cấu xác định bởi: α0 : A/K er(α) a + K er (α) 7→ α (a) ∈ B Đơn cấu α0 đẳng cấu α toàn cấu Hệ 1.1.2 ([1, Hệ 3.2.1]) Cho α : AR → BR đồng cấu R-mơđun Lúc đó: A/K er (α) ' Im (α) Định lý 1.1.3 ([1, Định lý 3.2.3]) Nếu B ≤ AR C ≤ AR , thì: (B + C) /C ' B/B ∩ C Định lý 1.1.4 ([1, Định lý 3.2.4]) Nếu C ≤ B ≤ AR thì: A/B ' (A/C) / (B/C) Cho MR N ≤ M N gọi hạng tử trực tiếp M tồn môđun P M cho M = N ⊕ P Lúc ta nói P ... s? ?? tính chất s- nội xạ mơđun vành SI, vành GV, vành PF, Với mong muốn tìm hiểu kết mơđun s- nội xạ, vành s- nội xạ định hướng thầy giáo hướng dẫn GS TS Lê Văn Thuyết, mạnh dạn chọn đề tài "Về môđun. .. nội xạ nội xạ, tổng trực tiếp môđun nội xạ chưa nội xạ Tuy nhiên, vành Nơte tổng trực tiếp mơđun nội xạ nội xạ Định lý 1.3.2 (Định lý Matlis) Các điều kiện sau tương đương vành R cho: (1) R vành. .. MÔĐUN VÀ VÀNH S- NỘI XẠ Chương nội dung luận văn, trình bày định nghĩa ví dụ mơđun vành s- nội xạ, trình bày chứng minh tính chất mơđun vành s- nội xạ tính chất s- nội nội xạ mơđun s? ?? vành Nội dung chương