Các kết quả liên quan
Chương này trình bày nội dung chính của luận văn, trình bày về C3-môđun, P
-C3-môđun vành C3 và bao C3, các môđun và vành liên quan.
Vì thời gian hạn chế và khả năng cá nhân còn nhiều hạn chế, dù em đã nỗ lực rất nhiều nhưng vẫn không tránh khỏi những thiếu sót Em hy vọng quý Thầy/Cô và bạn đọc thông cảm và góp ý để luận văn của em được hoàn thiện hơn.
VỀ C3-MÔĐUN 15 2.1 C3-Môđun
Phủ C3
Do thời gian thực hiện có hạn và khả năng cá nhân còn nhiều hạn chế, em đã nỗ lực hết mình nhưng vẫn không tránh khỏi những thiếu sót Em rất mong quý Thầy/Cô và bạn đọc thông cảm và đóng góp ý kiến để luận văn của em hoàn thiện hơn.
CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ
Trong chương này, chúng tôi sẽ giới thiệu một số khái niệm và kết quả quan trọng nhằm làm nền tảng cho chương tiếp theo Những kết quả được trình bày dưới đây được trích dẫn từ các tài liệu [1], [2], [3], [4], [5], [7].
1.1 Các định nghĩa và tính chất Định nghĩa 1.1.1 (1) Một môđun MR được gọi là hữu hạn sinh nếu tồn tại một tập hữu hạn {a 1 , , a n } ⊂ M sao cho
M = a 1 R+ +a n R tức là M có tập sinh hữu hạn.
(2) Một môđun M R được gọi là hữu hạn đối sinh nếu mỗi tập hợp
{A i | i ∈ I} các môđun con của M thỏa mãn T
A i = 0 đều tồn tại một tập con hữu hạn I 0 ⊂ I sao cho T
A i = 0. Định nghĩa 1.1.2 (1) R-môđun phải M được gọi là Nơte nếu mọi tập khác rỗng các môđun con của nó đều có phần tử tối đại.
(2) Vành R được gọi là Nơte phải nếu RR là Nơte.
Ví dụ 1.1.3 (1) Vành Z là Nơte vì mọi môđun con của nó đều hữu hạn sinh tức là có dạng nZ, n ∈ N.
(2) Vành đa thức K[x] , với K là trường, là Nơte vì khi K là trường tức là Nơte, áp dụng định lý cơ sở Hinbert ta có ngay điều phải chứng minh
(3) Vành đa thức đếm được biến A[x 1 , x 2 , ] không là vành Nơte vì dãy tăng các iđêan hx 1 i < hx 1 , x2i < < hx 1 , x2, , xni < không dừng.
(4) Với p∈ P (các số nguyên tố) Đặt
Nếu xem như Z-môđun thì Zp ∞ không là Nơte.
Thật vậy, mọi môđun con K của Zp ∞ là hữu hạn, nghĩa là tồn tại n ∈ N sao cho K = Z( 1 p n +Z) Do đó, lấy K là môđun con thực sự của
Zp ∞ và chọn n ∈ N sao cho 1 p n ∈ K nhưng 1 p n+1 +Z không nằm trong K.
Với mọi phần tử k p m +Z ∈ K với k ∈ Z, pkhông chia hết cho k, vàm ∈ N, chúng ta có thể tìm được r, s ∈ Z với kr+ p m s = 1 Điều này cho ta
Theo cách chọn n, điều này có nghĩa là m ≤ n và K = Z 1 p n +Z.
Z( 1 p m +Z) ≤ Q/Z. Đặt k := Z(1 p i +Z), thì với mỗi môđun con K i , K j của Z p ∞ , K i ≤ K j hay
Trong không gian Z p ∞, tồn tại các dãy tăng vô hạn các môđun con, trong khi mọi dãy giảm các môđun con đều là hữu hạn Định nghĩa căn Jacobson của một môđun M R là giao của tất cả các môđun con cực đại của M, được ký hiệu là Rad(M) Khi M = R, ta có Rad(R R) = Rad(R R) và ký hiệu là J, đại diện cho căn Jacobson của vành R.
Ví dụ 1.1.5 (1) Cho p là một số nguyên tố, k là một số nguyên dương và M = Z/p k Z Khi đó Rad(M) =pZ/p k Z.
(2) Cho số nguyên n với phân tích tiêu chuẩn n = p α 1 1 p α 2 2 p α k k Khi đó
\ i=1 piZ)/nZ = p1p2 pk/nZ. Định nghĩa 1.1.6 (1) Một môđun K của M là cốt yếu trong M ký hiệu K ≤ e M trong trường hợp với mọi môđun con
(2) Một môđun con K của M được gọi là đối cốt yếu trong M, ký hiệu K M trong trường hợp với mọi môđun con
Trong không gian Z, 0 là iđêan đối cốt yếu duy nhất, trong khi mọi iđêan khác 0 đều là cốt yếu Cụ thể, với hai iđêan khác 0, aZ và bZ, ta có 0 ≠ ab thuộc aZ ∩ bZ Định nghĩa môđun M R được gọi là môđun con đơn khi
M 6= 0 và chỉ có đúng hai môđun con (là 0 và M).
(2) Cho (T α ) α ∈ A là một tập các môđun con đơn của M Nếu M là tổng trực tiếp của các môđun con đơn này, nghĩa là
T α thì môđun M được gọi là nửa đơn.
(3) Vành R được gọi là nửa đơn phải (trái) nếu môđun R R ( R R) nửa đơn.
Người ta đã chứng minh được vành R là nửa đơn phải khi và chỉ khi
R là nửa đơn trái Vì vậy ta chỉ cần gọi R nửa đơn mà không cần đề cập đến phía.
Ví dụ 1.1.9 (1) Mỗi không gian vectơ V = V K trên trường K là nửa đơn
VK = X x∈B xK = M x∈B xK trong đó B là cơ sở của V Dĩ nhiên xK đơn đối với x 6= 0, x ∈ V.
ZZ và QZ không phải là môđun nửa đơn do không chứa môđun con đơn nào Định nghĩa 1.1.10 nêu rõ rằng một môđun U R được gọi là nội xạ nếu với mọi đơn cấu f: K R → M R, mọi K R, M R và mỗi đồng cấu v: K R → U R, tồn tại một đồng cấu v: M → U sao cho v.f = v, thể hiện sự giao hoán trong biểu đồ.
Trong lý thuyết môđun, cho P R là một môđun, P được gọi là xạ ảnh khi với mọi toàn cấu β : B → C, cho mọi B, C và mỗi đồng cấu ψ : P → C, tồn tại một đồng cấu λ : P → B sao cho ψ = β.λ, tạo thành một biểu đồ giao hoán.
Ví dụ 1.1.11 (1) Z không là Z-môđun nội xạ, vì đồng cấu f : 2Z → Z 2n7→ n không thể mở rộng đến đồng cấu Z →Z.
(2) QZ là nội xạ vì xem Q như là Z-môđun thì Q là chia được.
Z là Z-môđun xạ ảnh, nhưng Z-môđun Zn không phải là xạ ảnh Để mở rộng khái niệm môđun nội xạ, ta đưa ra định nghĩa sau: Cho M, N là các R-môđun phải.
M được gọi là N-giả nội xạ khi mọi môđun con A của N có khả năng mở rộng mọi đồng cấu từ A đến M thành đồng cấu từ N đến M Nếu M là M-giả nội xạ, thì M được xem là giả nội xạ.
M được xem là N-giả nội xạ cốt yếu khi mọi môđun con cốt yếu A của N đều có thể mở rộng mọi đơn cấu f : A → M thành đồng cấu g : N → M Nếu M cũng là M-giả nội xạ cốt yếu, thì M được gọi là tự giả nội xạ cốt yếu.
Ví dụ 1.1.13 Ta có Zp 3 là Zp 2 -giả nội xạ cốt yếu.
Chứng minh Vì môđun Z 2 p chỉ có 3 môđun con là p 2 Z p 2 Z = 0, pZ p 2 Z và
Z p 2 Z Z 2 p nên trong các Z-đơn cấu từ các môđun con của Z 2 p đến Z 3 p, ta chỉ xét
Z-đơn cấu f : pZ p 2 Z →Z 3 p Giả sử f(p) =b ∈ Z p 3 , khi đó ta có f(p.p) = f(0) = 0 = p.b.
Vậy, b có thể bằng 0 hoặc p^2, nhưng vì f là đơn cấu, nên b phải bằng p^2, dẫn đến chỉ có một đơn cấu duy nhất f: pZ_p^2 → Z_p^3 được xác định bởi f(0) = 0 = pb và f(p) = p^2 Tiếp theo, chúng ta định nghĩa ánh xạ g: Z_p^2 → Z_p^3 với g(a) = pa cho mọi a ∈ Z_p^2, và g trở thành một Z-đồng cấu Hơn nữa, với x ∈ pZ_p^2Z, ta có x = mp với m = 0, 1, , p−1, do đó g(x) = mp^2 = f(x).
G là một mở rộng của đồng cấu f, dẫn đến việc Zp 3 được coi là Zp 2 -giả nội xạ cốt yếu Định nghĩa 1.1.14 chỉ ra rằng môđun A khác 0 được gọi là đều nếu mọi môđun con khác 0 của A đều là cốt yếu trong A.
Ví dụ 1.1.15 (1) Mọi môđun con khác 0 và mở rộng cốt yếu của môđun đều là đều.
(2) Môđun đơn là môđun đều.
Trường các thương của miền giao hoán R là R-môđun đều Một môđun M được gọi là N-C2 nếu có bất kỳ môđun con N với N 0 ∼= M 0 ≤ ⊕ M thì N 0 ≤ ⊕ N Môđun M có tính chất tổng số hạng (SSP) nếu hai hạng tử trực tiếp bất kỳ của M là một hạng tử trực tiếp của M Môđun M được gọi là đối ngẫu Rickart nếu với mỗi ϕ ∈ End(M), ϕ(M) là một hạng tử trực tiếp của M Cuối cùng, một vành R được gọi là vành FGC nếu mỗi
R-môđun hữu hạn sinh là tổng trực tiếp của các môđun con cyclic. Định nghĩa 1.1.20 Một vành R gọi là V-vành phải nếu với mỗi
R-môđun phải đơn là nội xạ R được gọi là vành SSI phải nếu với mỗi
R-môđun phải nửa đơn là nội xạ. Định nghĩa 1.1.21 (1) Vành R được gọi là nửa nguyên sơ nếu vành thương R/J(R) là nửa đơn và J(R) là lũy linh.
(2) Một vành R được gọi là hoàn chỉnh phải (trái) nếu R là vành nửa địa phương và J(R) là T-lũy linh phải (trái).
Ta có thể chứng minh được vành nửa nguyên sơ là vành hoàn chỉnh phải (trái) nhưng chiều ngược lại nói chung không đúng.
Ví dụ 1.1.22 (1) Cho vành các ma trận vuông cấp 2
, do đó J(R) 2 = 0 và R/J(R) là vành nửa đơn Vậy R là vành nửa nguyên sơ.
(2) Cho vành R xác định bởi
Ta có căn Jacobson của vành R
R là một iđêan cực đại của R và J(R) với J(R) 2 = 0, cho thấy R là nửa nguyên sơ và cũng là vành hoàn chỉnh phải và trái Định nghĩa 1.1.23 nêu rõ rằng một đồng cấu vành φ: P → M được gọi là phủ xạ ảnh của R-môđun phải nếu P là xạ ảnh, φ là một toàn cấu, và ker(φ) là đối cốt yếu trong P.
Không phải tất cả các môđun đều có phủ xạ ảnh, nhưng mọi môđun có phủ xạ ảnh đều có mối liên hệ với vành hoàn chỉnh Theo Định lý 1.1.24, vành R được coi là hoàn chỉnh nếu mỗi R-môđun đều có một phủ xạ ảnh.
Vành R được coi là di truyền phải (nửa di truyền phải) khi mỗi iđean phải hữu hạn sinh là xạ ảnh Ngoài ra, vành R được gọi là vành chính quy (theo nghĩa Von Neumann) nếu với mỗi phần tử a thuộc R, luôn tồn tại một phần tử b thuộc R sao cho a = aba.
Ví dụ 1.1.27 (1) Mọi trường đều là vành chính quy vì với mọia 6= 0, ta có thể lấy b = a −1 thõa mãn aba = aa −1 a = a.
(2) Ma trận M n (K) cũng là vành chính quy vì với mọi A ∈ M n (K) với rank(A) = n Khi đó tồn tại các ma trận khả nghịch U, V sao cho
V Đặt B = V −1 U −1 , khi đó ta có ABA = U
V = A. Định nghĩa 1.1.28 Cho M là R-mụđun phải Đơn cấu à: M →Q được gọi là bao nội xạ đối với M nếu Q là mụđun nội xạ cũn à là đơn cấu cốt yếu.
Về mặt kí hiệu đôi khi ta viết I(M), E(M) để chỉ bao nội xạ của môđun M.