Môđun bất biến đẳng cầu

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG  TRẦN THỊ MINH HÀ MÔĐUN BẤT BIẾN ĐẲNG CẤU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Đà Nẵng - Năm 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG  TRẦN THỊ MINH HÀ MÔĐUN BẤT BIẾN ĐẲNG CẤU Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS TRƯƠNG CÔNG QUỲNH Đà Nẵng – Năm 2017 Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố công trình khác Tác giả Trần Thị Minh Hà LỜI CẢM ƠN Luận văn thạc sĩ toán học chuyên ngành Đại số lý thuyết số với đề tài “Môđun bất biến đẳng cấu” kết trình cố gắng không ngừng thân giúp đỡ, động viên khích lệ thầy, bạn bè người thân Qua trang viết xin gửi lời cảm ơn tới người giúp đỡ tơi thời gian học tập - nghiên cứu khóa học vừa qua Tơi xin tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc thầy giáo TS Trương Cơng Quỳnh trực tiếp tận tình hướng dẫn cung cấp tài liệu thông tin khoa học cần thiết cho luận văn Xin chân thành cảm ơn lãnh đạo trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng, khoa Tốn tạo điều kiện cho tơi hồn thành tốt cơng việc nghiên cứu làm luận văn Cuối tơi xin chân thành cảm ơn anh chị lớp Đại số lý thuyết số K31 nhiệt tình giúp đỡ tơi q trình học tập lớp thực Luận văn Trần Thị Minh Hà NHỮNG KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN N, N∗ , Z, Q M od − R A∼ =B A L⊕ B Mα Tập số tự nhiên, số tự nhiên khác không, số nguyên, số hữu tỉ (theo thứ tự) Phạm trù R-môđun phải Môđun A đẳng cấu với môđun B Tổng trực tiếp hai môđun A B Tổng trực tiếp họ môđun Mα α∈I E(M ) N ≤ M (N < M ) A ≤e M A ≤⊕ M End(M ) Aut(M ) Z(M ) Z2 (M ) ZM (N ) annR (m) Ker(f ) Im(f ) Mn (R) Soc(M ) Rad(M ), J(R) Bao nội xạ M Môđun (con thực sự)của M A môđun cốt yếu M A hạng tử trực tiếp M Vành tự đồng cấu mơđun M Nhóm tự đẳng cấu môđun M Môđun suy biến môđun M Môđun suy biến cấp hai môđun M Môđun M -suy biến môđun N Linh hóa tử phải m R Hạt nhân đồng cấu f Ảnh đồng cấu f Vành gồm ma trận vuông cấp n vành R Đế môđun M Căn môđun M vành R (theo thứ tự) MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Kiến thức môđun 1.2 Môđun cốt yếu, mơđun đều, mơđun đóng 1.3 Môđun nội xạ 1.4 Môđun nửa đơn 1.5 Môđun CS 1.6 Môđun suy biến 1.7 Mơđun phương 1.8 Các lớp vành 1.9 Các định lý, mệnh đề liên quan 12 CHƯƠNG MÔĐUN BẤT BIẾN ĐẲNG CẤU 14 2.1 Một số định nghĩa 14 2.2 Tính chất 14 2.3 Định lý phân tích mơđun bất biến đẳng cấu 22 2.4 Vành bất biến đẳng cấu không suy biến 25 2.5 Vành mà môđun xyclic bất biến đẳng cấu 27 2.6 Môđun bất biến đẳng cấu giả nội xạ 29 CHƯƠNG VÀNH MÀ CÁC IĐÊAN BẤT BIẾN ĐẲNG CẤU 32 3.1 Một số định nghĩa 32 3.2 Ví dụ 32 3.3 Các tính chất a-vành 33 3.4 Các lớp đặc biệt a-vành phải 37 KẾT LUẬN 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO 47 MỞ ĐẦU Lý lựa chọn đề tài lịch sử vấn đề Như biết mơđun tựa nội xạ bất biến qua tự đồng cấu bao nội xạ Theo kết Camillo, Khurana, Lam, Nicholson Zhou vành tự đồng cấu môđun nội xạ vành clean tức vành mà phần tử tổng phần tử lũy đẳng phần tử khả nghịch Vì vậy, mơđun tựa nội xạ bất biến qua tự đẳng cấu tự đồng cấu lũy đẳng bao nội xạ Theo Jeremy mơđun tựa liên tục bất biến qua tự đồng cấu lũy đẳng bao nội xạ Vì vậy, tác giả Lee Zhou đưa nghiên cứu khái niệm môđun bất biến đẳng cấu nghĩa môđun bất biến đẳng cấu bất biến qua tự đẳng cấu bao nội xạ Ở đây, họ phát triển tính chất lớp mơđun xem xét môđun bất biến đẳng cấu tựa nội xạ hay nội xạ Trước hết họ đặc trưng lớp môđun, chẳng hạn môđun M bất biến đẳng cấu đẳng cấu hai môđun cốt yếu M mở rộng đến tự đẳng cấu (hay tự đồng cấu) M Tiếp theo họ chứng minh tổng trực tiếp môđun M ⊕ N bất biến đẳng cấu dẫn đến M, N nội xạ lẫn Do đó, mơđun M tựa nội xạ M ⊕ M bất biến đẳng cấu môđun M nửa đơn môđun 2-sinh σ[M ] bất biến đẳng cấu Tác giả Đinh Quang Hải chứng minh môđun giả nội xạ thỏa mãn (C2 ) Ở đây, tác giả chứng tỏ môđun bất biến đẳng cấu thỏa mãn (C3 ) Vì vậy, mơđun tựa nội xạ CS bất biến đẳng cấu Một môđun tựa nội xạ CS giả nội xạ, mở rộng kết Ganesan Vanaja Boyle Goodearl chứng tỏ môđun tựa nội xạ không suy biến vành Goldie phải nửa nguyên tố nội xạ Trên vành Goldie phải nửa nguyên tố tất môđun bất biến đẳng cấu không suy biến nội xạ Mọi môđun giả nội xạ không suy biến vành Goldie phải nguyên tố nội xạ, mở rộng kết Jain Singh Tiếp tục nghiên cứu lớp môđun tác giả Kosan, Quỳnh Srivastava nghiên cứu vành mà iđêan phải bất biến đẳng cấu Với mong muốn tìm hiểu kết mơđun bất biến đẳng cấu, vành mà iđêan bất biến đẳng cấu, chúng tơi chọn đề tài: “MƠĐUN BẤT BIẾN ĐẲNG CẤU” cho luận văn thạc sĩ để nghiên cứu với hy vọng tìm hiểu sâu tính chất chúng Mục đích nghiên cứu Với mục tiêu nghiên cứu khái niệm tính chất mơđun bất biến đẳng cấu số lớp vành liên quan, chẳng hạn a-vành, q-vành, vành bất biến đẳng cấu, vành Goldie phải nửa nguyên tố Đồng thời tìm đặc trưng vành thông qua lớp môđun bất biến đẳng cấu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Môđun bất biến đẳng cấu phạm trù M od − R Phương pháp nghiên cứu Sử dụng tính chất mơđun phạm trù M od − R để nghiên cứu mơđun bất biến đẳng cấu Đóng góp luận văn Làm tài liệu tham khảo cho số học viên cao học, cho sinh viên toán liên quan đến học phần vành môđun Chúng hy vọng tìm số tính chất nhỏ mở rộng kết có ... mơđun bất biến đẳng cấu 22 2.4 Vành bất biến đẳng cấu không suy biến 25 2.5 Vành mà môđun xyclic bất biến đẳng cấu 27 2.6 Môđun bất biến đẳng. .. M Môđun (con thực sự)của M A môđun cốt yếu M A hạng tử trực tiếp M Vành tự đồng cấu mơđun M Nhóm tự đẳng cấu môđun M Môđun suy biến môđun M Môđun suy biến cấp hai môđun M Môđun M -suy biến môđun. .. cứu khái niệm môđun bất biến đẳng cấu nghĩa môđun bất biến đẳng cấu bất biến qua tự đẳng cấu bao nội xạ Ở đây, họ phát triển tính chất lớp mơđun xem xét môđun bất biến đẳng cấu tựa nội xạ hay