Trong phần này chúng ta sẽ chứng minh một vài tính chất của
a-vành phải.
Mệnh đề 3.3.1. Cho vành R. Các điều kiện sau tương đương:
(1) R là a-vành phải.
(2) Mọi iđêan phải cốt yếu của R là bất biến đẳng cấu.
(3) R là bất biến đẳng cấu phải và mọi iđêan phải cốt yếu của R là
T-môđun trái, với T là vành con của R sinh bởi phần tử đơn vị của nó.
Chứng minh.
(1) =⇒ (2). R là a-vành phải nghĩa là mọi iđêan phải của vành R
là bất biến đẳng cấu thì hiển nhiên mọi iđêan phải cốt yếu của R là bất biến đẳng cấu.
(2) =⇒ (3). Theo giả thiết, R là vành bất biến đẳng cấu phải. Cho
con của R sinh bởi phần tử đơn vị của nó. Khi đó, T là vành con của
End(E(R)). Vì vậy, T I = I.
(3) =⇒ (2). Cho I là iđêan phải cốt yếu của R. Khi đó, ta có
E(I) = E(R). Cho ϕ là tự đẳng cấu của E(R). Vì R là bất biến đẳng cấu nên ϕ(R) = R. Suy ra ϕ(1) là đơn vị của R. Theo giả thiết, ta có
ϕ(1)I ≤ I. Vì vậy, ϕ(I) ≤ I. Điều này chứng tỏ mỗi iđêan phải cốt yếu của R là bất biến đẳng cấu.
(2) =⇒ (1). Cho A là iđêan phải bất kỳ của R, K là phần bù của
A trong R. Khi đó, A⊕K là iđêan phải cốt yếu của R. Theo giả thiết,
A⊕ K là bất biến đẳng cấu. Theo Bổ đề 2.2.3, mọi hạng tử trực tiếp của môđun bất biến đẳng cấu là bất biến đẳng cấu nên A là bất biến đẳng cấu. Điều này chứng tỏ R là a-vành phải.
Hệ quả 3.3.2. Cho R = S ×T là tích của các vành. Khi đó, R là
a-vành phải nếu và chỉ nếu S và T là các a-vành phải.
Bổ đề 3.3.3. Cho R là a-vành phải và A là iđêan phải của R. Nếu
tồn tại iđêan phải B của R với A∩ B = 0 và A ∼= B thì:
(1) A là nửa đơn và nội xạ. (2) A là không suy biến.
Chứng minh.
(1). Cho A và B là các iđêan phải của a-vành phải R với A∩B = 0
và A ∼= B. Cho D là phần bù của A⊕B trong R
R. Khi đó, (A⊕B)⊕D ≤e RR. Suy ra E((A⊕B)⊕D) ≤e E(RR). Mặt khác, E((A⊕B)⊕D) là hạng tử trực tiếp của E(RR). Do đó, E((A⊕B)⊕D) = E(RR). Ta có E((A⊕B)⊕D) = E(A)⊕E(B)⊕E(D). Do đó, E(RR) =E(A)⊕E(B)⊕E(D) tức là ta có sự phân tích E(RR) =E(A)⊕E(B) +C
với C ≤ E(RR) nào đó. Mà E(A) ∼= E(B) và R là bất biến đẳng cấu phải. Theo Bổ đề 2.3.1, ta có RR = (R∩E(A))⊕(R∩E(B))⊕(R∩C).
Lại có: B ∩(R∩E(A)) = 0 và A∩((R∩E(B)) ⊕(R∩C)) = 0. Vì R là a-vành phải nên môđun
B ⊕(R∩E(A)) và A⊕((R∩E(B)) ⊕(R∩C))
là bất biến đẳng cấu. Theo Định lý 2.2.4, B là (R∩E(A))-nội xạ và A
là ((R∩E(B))⊕(R∩C))-nội xạ. Mà A∼= B. Do đó, A là R-nội xạ hay A là nội xạ.
Cho ϕ : A −→ B là đẳng cấu và U ≤ A. Rõ ràng, U ∼= ϕ(U). Cho
V = ϕ(U). Khi đó, U ∩V = 0 và U ∼= V. Bằng cách lập luận tương tự như trên, ta có U là môđun nội xạ và do đó U là hạng tử trực tiếp của
A. Vì vậy, A là nửa đơn.
(2). Cho a là phần tử tùy ý của Z(A). Vì aR là hạng tử trực tiếp củaA nên aR là môđun nội xạ. Cho aR = eR với e2 = e ∈ R nào đó. Do đó, e ∈ Z(A) suy ra e = 0. Do đó, a = 0. Điều này chứng tỏ Z(A) = 0. Vì vậy A không suy biến.
Ta sử dụng bổ đề đã đề cập ở trên để chứng minh định lý về sự phân tích của a-vành phải bất kỳ.
Định lý 3.3.4. Một a-vành phải là tổng trực tiếp của vành Artin
nửa đơn chính phương đầy đủ và vành không chính phương phải.
Chứng minh.
Theo chứng minh của Định lý 2.3.3, ta có sự phân tích
RR = A⊕B ⊕C
với A ∼= B và môđun C là không chính phương mà trực giao với A⊕A. Đặt X := A⊕ B và Y := C. Ta chứng minh X là chính phương đầy đủ, nửa đơn và nội xạ. Cho U là môđun con tùy ý khác không của X. Khi đó, tồn tại môđun con khác không U1 của U và V1 của A sao cho
U1 ∼= V
1 hoặc tồn tại môđun con khác không U2 của U và V2 của B
sao cho U2 ∼= V
2. Do đó, U12 hoặc U22 được nhúng trong X. Điều này có nghĩa U chứa nghiệm vuông trong X và do đó X là chính phương đầy đủ. Theo Bổ đề 3.3.3, A và B là môđun nửa đơn và nội xạ. Vì vậy, X là
nửa đơn và nội xạ.
Ta chứng minh X, Y là các iđêan củaR. Giả sửf : X −→ Y là đồng cấu khác không. Vì X là nửa đơn nên Ker(f) là hạng tử trực tiếp của
X. Do đó, tồn tại L ≤ X sao cho Ker(f)∩L = 0 để X = Ker(f)⊕L. Vì Ker(f) ∩ L = 0 nên ta có L ∼= f(L) ≤ Y. Điều này mâu thuần với giả thiết X trực giao với Y. Do đó, ta có Hom(X, Y) = 0. Giả sử
ϕ :Y −→ X là đồng cấu khác không. Khi đó, Y /Ker(ϕ) ∼= Im(f) là xạ ảnh (vì Im(ϕ) là hạng tử trực tiếp của X). Do đó, tồn tại môđun con khác không K của Y sao cho Ker(ϕ)∩K = 0. Suy ra K ∼= f(K) (mâu thuẫn với giả thiết trực giao của X và Y). Do đó, Hom(Y, X) = 0.
Vậy R = X ⊕Y với X là vành Artin nửa đơn chính phương đầy đủ và Y là vành không chính phương phải.
Từ định lý trên ta có hệ quả sau.
Hệ quả 3.3.5. Vành R không phân tích được chứa môđun chính
phương là a-vành phải nếu và chỉ nếu R là Artin nửa đơn.
Trong định lý sau ta xem xét khi nào vành ma trận là a-vành phải.
Định lý 3.3.6. Cho n > 1 là số nguyên, R là vành. Các điều kiện
sau tương đương:
(1) Mn(R) là q-vành phải. (2) Mn(R) là a-vành phải. (3) R là vành Artin nửa đơn.
Chứng minh.
(1) =⇒ (2). Mn(R) là q-vành phải thì hiển nhiên Mn(R) là a-vành phải.
(2) =⇒ (3). Cho Mn(R) là a-vành phải. Giả sử R không là Artin nửa đơn. Khi đó, tồn tại iđêan phải cốt yếu B của R sao cho B 6= R. Xét E := {P
aijeij : a1j ∈ B,1 ≤ j ≤n và aij ∈ R,1 ≤ i, j ≤ n} với
của Mn(R). Xét ma trận đơn vị của Mn(R) 0 0 0 ... 0 1 0 0 0 ... 1 0 0 0 0 ... 0 0 ... ... ... ... ... ... 1 0 0 ... 0 0 Khi đó, 0 0 0 ... 0 1 0 0 0 ... 1 0 0 0 0 ... 0 0 ... ... ... ... ... ... 1 0 0 ... 0 0 0 0 0 ... 0 0 0 0 0 ... 0 0 0 0 0 ... 0 0 ... ... ... ... ... ... 0 0 0 ... 0 1 = 0 0 0 ... 0 1 0 0 0 ... 0 0 0 0 0 ... 0 0 ... ... ... ... ... ... 0 0 0 ... 0 0 / ∈ E
Điều này mâu thuẫn (xem Mệnh đề 3.3.1). Do đó, R là Artin nửa đơn.
(3) =⇒ (1). Rlà vành Artin nửa đơn thì hiển nhiênMn(R)là q-vành phải.
Ví dụ sau chứng tỏ tồn tại vành bất biến đẳng cấu mà không là
a-vành phải.
Ví dụ 3.3.7. Cho R = Zpn, với p là số nguyên tố và n >1. Suy ra
R là tự nội xạ. Theo Định lý 1.9.11, Mm(R) là tự nội xạ phải với mọi
m > 1. Do đó, trong trường hợp Mm(Zp2) là vành bất biến đẳng cấu
phải. Nhưng Mm(Zp2) không là a-vành phải với mọi m > 1. Theo định lý trên, Zp2 không là Artin nửa đơn.
Ví dụ này cũng chứng tỏ được rằng a-vành phải không có tính chất bất biến Morita.