Trước khi chứng minh kết quả chính chúng tôi sử dụng một số bổ đề sau.
Bổ đề 2.3.1. Nếu M là môđun bất biến đẳng cấu với bao nội xạ
E(M) =E1 ⊕E2 ⊕E3 với E1 ∼= E
2 thì
M = (M ∩E1)⊕(M ∩E2)⊕(M ∩E3).
Lee và Zhou đã chứng tỏ trong [15] bất cứ một môđun M bất biến đẳng cấu có thể phân tích thành M = A⊕B với A, B nội xạ lẫn nhau.
Điều này có thể được mở rộng bằng bổ đề sau.
Bổ đề 2.3.2. Nếu M là môđun bất biến đẳng cấu và A, B là hai
môđun con đóng của M sao cho A ∩ B = 0 thì A và B là nội xạ lẫn nhau. Hơn nữa, đơn cấu h : A −→M với A∩h(A) = 0, h(A) đóng trong
M.
Chứng minh.
Cho K vàT là phần bù của nhau trongM. Khi đó,E(M) =E(K)⊕
E(T). Chof : E(K) −→ E(T)là đồng cấu. Khi đó, ánh xạg :E(M) −→
E(M) xác định bởi g(x1 + x2) = x1 + x2 + f(x1) với x1 ∈ E(K), x2 ∈
E(T) là tự đẳng cấu sao cho f(K) = (g − 1E(M))(K) ≤ M. Do đó,
f(K) ≤ E(T)∩M = T. Vậy T là K-nội xạ.
con đóng với A∩B = 0 thì theo giả thiết A, C nội xạ lẫn nhau. Do đó,
A là B-nội xạ. Cho h : A −→ M là đơn cấu với h(A) ∩ A = 0. Chọn
K là bao đóng cốt yếu của h(A). Do đó, A là K-nội xạ (bằng lập luận trên). Ta có h−1 : h(A) −→ A mở rộng đến đơn cấu t :K −→ A. Do đó,
h(A) =K.
Định lý 2.3.3. Cho M là môđun bất biến đẳng cấu. Khi đó,
(1) M = X ⊕ Y với X là tựa nội xạ, Y là môđun không chính phương, trực giao với X. Trong trường hợp này X và Y nội xạ lẫn nhau. (2) Nếu M là suy biến thì Hom(D1, D2) = 0 với D1, D2 là hai môđun con của D.
(3) Nếu M không suy biến thì Hom(X, Y) = 0 = Hom(Y, X). Chứng minh.
(1). Cho Γ = {(A, B, f) : A, B ≤ M, A∩B = 0 và f : A −→ B là đẳng cấu }. Trên Γ chúng ta xét quan hệ thứ tự (A, B, f) ≤ (A0, B0, f0)
nếu A ≤ A0, B ≤ B0, f0 mở rộng f. Khi đó, Γ có quan hệ thứ tự và
(A, B, f) là phần tử cực đại trong Γ (bổ đề Zorn). Cho C0 là phần bù
của A⊕B trong M. C’ là không chính phương. Thật vậy, cho X, Y là hai môđun con khác không của C0 với X∩Y = 0và φ : X −→ Y là đẳng cấu. Khi đó, ta có (A⊕X, B ⊕Y, f ⊕φ) (mâu thuẫn giả thiết cực đại
của (A, B, f). Vì vậy C0 là không chính phương Xét g : A⊕B ⊕C0 −→
A⊕B ⊕C0 xác định bởi
g(a+b+c) =f−1(b) +f(a) +c(a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C0).
Vì M bất biến đẳng cấu nên mọi phép đẳng cấu giữa hai môđun con cốt yếu của M mở rộng đến tự đẳng cấu của M (theo Định lý 2.2.1). Do đó, g mở rộng đến tự đẳng cấu g0 của M. Cho A0 là môđun con đóng cốt yếu của M chứa A. Nếu A thực sự chứa trong A0 thì ta có
g0|A0 mâu thuẫn với giả thiết cực đại ở trên. Do đó, A là môđun con đóng của M. Vì môđun con đóng là bảo toàn qua tự đẳng cấu nên
B cũng đóng trong M. M bất biến đẳng cấu nên theo Bổ đề 2.3.2,
Theo Bổ đề 2.2.3, hạng tử trực tiếp của môđun bất biến đẳng cấu là bất biến đẳng cấu nên A⊕B là bất biến đẳng cấu. Theo Bổ đề 2.3.2, A, B
nội xạ lẫn nhau. Vì A ∼= B nên A⊕B là tựa nội xạ. Cho nên A⊕B và
C0 cũng là môđun nội xạ lẫn nhau.
Bằng lập luận như trên ta tìm được đơn cấu cực đại t : B0 −→ B
với B0 ≤ C0. Vì B là C0-nội xạ nên đơn cấu t mở rộng đến môđun con đóng cốt yếu của C0 chứa B0. Do t cực đại nên B0 đóng trong C0. Vì C0
là B-nội xạ nên t−1 mở rộng đơn cấu đến bao đóng cốt yếu D của t(B0). Vì B0 cốt yếu trong ảnh của D nên t(B0) là đóng trong B. Vì vậy t(B0)
là hạng tử trực tiếp của B. Vì B là tựa nội xạ, B là C0-nội xạ, t(B0) là
C0-nội xạ nên B0 là môđun con C0-nội xạ của C0. Do đó, C0 = B0 ⊕C
với C nào đó.
Ta chứng minh C và B trực giao. Giả sử C và B có các môđun con khác không C1 và B1 đẳng cấu. Khi đó, theo giả thiết không chính phương của C0, C1 và B0 là các môđun trực giao. Do đó, B1 và t(B0)
cũng trực giao suy ra B1 ∩ t(B0) = 0; điều này mâu thuẫn với giả thiết cực đại của đơn cấu t. Vì vậy C và B trực giao do đó C và A⊕B⊕B0
là trực giao. Hơn nữa, A⊕B ⊕B0 là tựa nội xạ. Đặt X = A⊕B ⊕B0
và Y = C. khi đó, ta có kết quả (1).
(2). Cho f : D1 −→ D2 là đồng cấu khác không. Bằng giả thiết không suy biến ta cóKer(f) đóng trongD1 nên tồn tại môđun con L 6= 0
của D1 sao choKer(f)∩L = 0. Khi đó, L ∼= f(L) ≤D
2 (mâu thuẫn với giả thiết không chính phương của Y). Do đó, ta có Hom(D1, D2) = 0.
(3). Cho f : X −→ Y là đồng cấu khác không. Theo giả thiết M
không suy biến ta cóKer(f)đóng trong X nên tồn tại môđun con L 6= 0
của X sao cho Ker(f)∩L = 0. Khi đó, L ∼= f(L) ≤ Y (mâu thuẫn với giả thiết trực giao của X và Y). Do đó, ta có Hom(X, Y) = 0.
Giả sửϕ :Y −→ X là đồng cấu khác không. Khi đó,Y /Ker(ϕ) ∼= Im(ϕ) là xạ ảnh (vìIm(ϕ)là hạng tử trực tiếp củaX). Suy ra tồn tại môđun con khác không K của Y sao cho Ker(ϕ)∩K = 0. Vì vậy K ∼= ϕ(K) (mâu thuẫn với giả thiết trực giao của X và Y). Do đó, Hom(Y, X) = 0.
Hệ quả 2.3.4. Mọi môđun bất biến đẳng cấu chính phương đầy đủ là tựa nội xạ.
Định lý 2.3.5. Cho M là môđun không chính phương không suy
biến. Khi đó,
(1) Mọi môđun con đóng của M là môđun con bất biến đầy đủ của
M.
(2) Nếu M là bất biến đầy đủ thì họ bất kỳ {Ki : i ∈ I} các môđun con đóng của M (không nhất thiết độc lập), môđun con P
i∈I
Ki là bất biến đẳng cấu.
Chứng minh.
(1). Giả sử M không chính phương và không suy biến. Cho K là môđun con đóng của M và T là phần bù của K trong M. Ta chứng minh ∀f ∈ End(M), f(K) ≤ K. Giả sử f ∈ End(M) với f(K) K. Cho π : E(M) −→E(T) là phép chiếu vớiKer(π) = E(K). Vì K không cốt yếu trong f(K) +K nên ta có π(K + f(K)) 6= 0. Suy ra π(K) 6= 0. Do đó, N = T ∩π(f(K)) 6= 0. Khi đó, với N0 = {x ∈ K : πf(x) ∈ T} ta lại có Hom(N0, N) = 06 (mâu thuẫn). Suy ra f(K) ≤K.
(2). Giả sử M là môđun bất biến đẳng cấu. Cho {Ki : i ∈ I} là họ các môđun con đóng của M và g là tự đẳng cấu của E
P i∈I Ki . Rõ ràng, g mở rộng đến tự đẳng cấu g0 của E(M). Vì M bất biến đẳng cấu nên ta có g0(M) ≤ M. Theo (1), g(Ki) = g0(Ki) ≤ Ki,∀i ∈ I. Suy ra
P
i∈I
Ki là bất biến đẳng cấu.