Các mô đun t mở rộng và môđun t baer

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM  NGUYỄN THÚY THI CÁC MÔ ĐUN t-MỞ RỘNG VÀ MÔĐUN t-BAER LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC ĐÀ NẴNG – NĂM 2018 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM  NGUYỄN THÚY THI CÁC MÔ ĐUN t-MỞ RỘNG VÀ MÔĐUN t-BAER Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS TS TRƯƠNG CÔNG QUỲNH ĐÀ NẴNG – NĂM 2018 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết nêu luận văn "Các môđun t-mở rộng môđun t-Baer" trung thực, nội dung có dẫn chứng cụ thể, rõ ràng Nguyễn Thúy Thi LỜI CẢM ƠN Lời luận văn xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn PGS.TS Trương Công Quỳnh tận tình hướng dẫn tơi suốt q trình thực để tơi hồn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến q thầy giáo tận tình giảng dạy tơi suốt thời gian học tập khóa học Đồng thời xin gửi lời cảm ơn đến anh chị học viên lớp Đại số Lý thuyết số Khóa 33 nhiệt tình giúp đỡ tơi q trình học tập Cuối cùng, tơi xin cảm ơn đến gia đình, đơn vị tơi cơng tác bạn bè quan tâm, tạo điều kiện, động viên giúp đỡ để tơi hồn thành việc học Nguyễn Thúy Thi TRANG THƠNG TIN LUẬN VĂN THẠC SĨ Tên đề tài: CÁC MÔĐUN t-MỞ RỘNG VÀ MÔĐUN t-BAER Ngành: Đại số Lý thuyết số Họ tên học viên: Nguyễn Thúy Thi Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Trương Công Quỳnh Cơ sở đào tạo: Trường Đại học sư phạm - Đại học Đà Nẵng Tóm tắt: Trong luận văn này, chúng tơi trình bày tổng quan chứng minh số tính chất đặc trưng "môđun t-mở rộng"và "môđun t-Baer" Từ khái niệm môđun cốt yếu môđun đóng ta có khái niệm tổng qt mơđun t-cốt yếu t-đóng Khái niệm mơđun t-mở rộng tổng qt hóa mơđun mở rộng Một mơđun mơđun t-mở rộng mơđun t-đóng hạng tử trực tiếp Do đó, mơđun mở rộng môđun Z2 -xoắn môđun t-mở rộng Từ đó, thiết lập mối liên hệ mơđun t-mở rộng với mơđun t-đóng t-cốt yếu là: môđun M môđun t-mở rộng môđun M môđun t-cốt yếu hạng tử trực tiếp M Một mơđun t-mở rộng tổng trực tiếp môđun mở rộng không suy biến môđun Z2 -xoắn Đặc biệt, Z-môđun hữu hạn sinh môđun t-mở rộng Ảnh đồng cấu môđun t-mở rộng t-mở rộng môđun bất biến hồn tồn mơđun t-mở rộng t-mở rộng Khái niệm mơđun t-Baer tổng qt hóa mơđun Baer mở rộng không suy biến Chúng thiết lập mối quan hệ chặt chẽ tính chất môđun t-mở rộng môđun t-Baer Lớp môđun t-Baer bao gồm môđun t-mở rộng, môđun Baer không suy biến Một mơđun t-Baer tổng trực tiếp hai môđun Baer suy biến Z2 -xoắn Đồng thời, mối liên hệ môđun t-Baer môđun Baer, là, mơđun M mơđun Baer Z2 (M ) hạng tử trực tiếp M M môđun t-Baer ∩ϕ∈T ker(ϕ) hạng tử trực tiếp ∩ϕ∈T ϕ−1 (Z2 (M )) với tập khác rỗng T S Ngồi ra, chúng tơi mối liên hệ chặt chẽ môđun t-mở rộng môđun Baer, mơđun mơđun t-mở rộng mơđun t-Baer t-đối khơng suy biến P P Từ tính chất vành -mở rộng, đưa khái niệm vành -t-mở rộng Đặc P biệt, vành R vành -t-mở rộng phải R-môđun phải môđun t-mở rộng, R-môđun phải môđun t-Baer, R-môđun phải không suy biến môđun xạ ảnh Chúng nêu lên đặc trưng vành R mà R-môđun phải tự (lần lượt môđun tự hữu hạn sinh, môđun xạ ảnh xyclic) môđun t-Baer Đề tài mở hướng nghiên cứu môđun t-mở rộng mạnh môđun t-Baer mạnh Từ khóa: Mơđun t-cốt yếu t-đóng, Mơđun t-mở rộng, Môđun t-Baer, Môđun t-đối không P suy biến, Vành -t-mở rộng Xác nhận giáo viên hướng dẫn Người thực đề tài PGS TS Trương Công Quỳnh Nguyễn Thúy Thi INFORMATIONPAGE OF MASTER THESIS Name of thesis: t-EXTENDING MODULES AND t-BAER MODULES Major: Algebra and Number theory Full name of Master student: Nguyễn Thúy Thi Supervisor: Assoc Prof Truong Cong Quynh Training institution: The University of Education - University of Da Nang Abstract: In this thesis, we expose an overview and proof of some the characteristics of "textending modules"and "t-Baer modules" From the notions of essential submodules and closed submodules we have a more general notion that are t-essential submodules and t-closed submodules The notion of t-extending modules are a generalization of extending modules A module is a t-extending module if every t-closed submodule is a direct summand As a consequence, every extending module and every Z2 -torsion module are t-extending From there, we establish connections between t-extending modules with t-closed modules and t-essential submodules: a module M is t-extending module if and only if every submodule of M is t-essential submodule in a direct summand of M A t-extending module is a direct sum of a nonsingular extending module and a Z2 -torsion module In particular, every finitely generated Z-module is t-extending Every homomorphic image of a t-extending module is t-extending and every fully invariant submodule of a t-extending module is t-extending The notion of t-Baer modules are a generalization of extending and nonsingular Baer modules We establish close connections between the properties of t-extending and t-Baer The class of t-Baer modules contains t-extending and nonsingular Baer modules A t-Baer module is exactly a direct sum of two modules, a nonsingular Baer module, and an other Z2 -torsion module Also, we show connections between t-Baer modules and Baer modules that a module M is Baer and Z2 (M ) is a direct summand of M if and only if M is t-Baer and ∩ϕ∈T ker(ϕ) is a direct summand of ∩ϕ∈T ϕ−1 (Z2 (M )) for every nonempty subset T of S In addition, a close connection exists between t-extending modules and t-Baer modules, in fat, a module is t-extending if ang only if it is t-Baer anf t-cononsingular P P From the properties of -extending rings, we show the notion os -t-extending rings In P particular, a ring R is right -t-extending if ang only if every right R-module is a t-extending module, every right R-module is a t-Baer module, every nonsingular R-module is t-Baer module, every nonsingular R-module is projective We characterize a ring R for which every free (resp., finitely generated free, cyclic projective) right R-module is t-Baer The topic opens the way for the further study on strongly t-extending modules and strongly t-Baer modules Key words: t-essential and t-closed submodules; t-extending module; t-Baer module; t-cononsingular P module; -t-extending ring Supervisor’s confirmation Student Assoc Prof Truong Cong Quynh Nguyen Thuy Thi DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Ký hiệu Ý nghĩa ký hiệu Vành có đơn vị 6= Tập tự đồng cấu M N môđun M K môđun cốt yếu M K môđun t-cốt yếu M K môđun t-đóng M Mơđun suy biến M Môđun suy biến cấp hai M Bao nội xạ M Tổng trực tiếp hai môđun M N Linh hóa tử phải X R, R End(M ) N ≤M K ≤e M K ≤tes M K ≤tc M Z(M ) Z2 (M ) E(M ) M ⊕N rR (X) : : : : : : : : : : : lM (A) rR (X) = {r ∈ R | xr = 0, x ∈ X} : Linh hóa tử trái A M , lM (A) = {x ∈ M | xa = 0, a ∈ A} MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN TÓM TẮT ĐỀ TÀI INFORMATIONPAGE OF MASTER THESIS DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU MỞ ĐẦU CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các khái niệm 1.2 Các kết liên quan CHƯƠNG MƠĐUN t-MỞ RỘNG 2.1 Mơđun t-cốt yếu t-đóng 2.2 Môđun t-mở rộng 11 CHƯƠNG CÁC MƠĐUN t-BAER 16 3.1 Mơđun t-Baer 16 3.2 Môđun t-đối không suy biến 19 P 3.3 Vành -t-mở rộng 23 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 32 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 33 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong năm gần lý thuyết môđun mở rộng, môđun Baer vành tương ứng phát triển nhiều, đóng vai trị quan trọng lý thuyết vành môđun Một số cấu trúc lớp vành cổ điển thông qua lớp môđun nghiên cứu Khái niệm môđun mở rộng đề cập đến từ công trình Von Neumann vào năm 1930 Một số tác giả giới thiệu nghiên cứu nhiều tổng qt hóa khái niệm mơđun mở rộng Smith v Tercan, Dung, Celik, Dogruăoz, Birkenmeier, Kamal v Sayed, Zeng, Takli Tercan Một môđun M gọi môđun mở rộng mơđun đóng hạng tử trực tiếp (hay môđun M cốt yếu hạng tử trực tiếp M ) Môđun xoắn Z2 (M ) môđun M đóng vai trị quan trọng việc nghiên cứu tính chất mơđun M Khái niệm "mơđun t-mở rộng"là tổng qt hóa mơđun mở rộng Tính chất Baer vành lần xem xét Kaplansky Một vành R gọi vành Baer phải linh hóa tử phải tập R sinh phần tử lũy đẳng iđêan phải Trong năm gần đây, Rizvi Roman nghiên cứu thiết lập mối liên hệ chặt chẽ môđun mở rộng mơđun Baer; điều làm để đưa khái niệm môđun t-Baer, tổng qt hóa mơđun Baer mở rộng khơng suy biến Nhằm tìm hiểu tính chất mơđun t-mở rộng, môđun t-Baer mối quan hệ chặt chẽ tính chất này, định hướng PGS.TS Trương Công Quỳnh, chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ : “CÁC MƠĐUN t-MỞ RỘNG VÀ MƠĐUN t-BAER” Mục tiêu nghiên cứu Thơng qua luận văn, trình bày tổng quan số đặc trưng môđun t-mở rộng môđun t-Baer Chỉ mối quan hệ môđun t-mở rộng môđun t-cốt yếu, mơđun t-đóng Mối quan hệ tính chất môđun t-mở rộng, môđun ... t- đóng t- c? ?t yếu là: m? ?đun M mô? ?un t- mở rộng mô? ?un M mô? ?un t- c? ?t yếu hạng t? ?? trực tiếp M M? ?t mô? ?un t- mở rộng t? ??ng trực tiếp m? ?đun mở rộng không suy biến mô? ?un Z2 -xoắn Đặc bi? ?t, Z -mô? ?un hữu... M2 mô? ?un mở rộng Mi mô? ?un mở rộng Mj - xạ, i 6= j(= 1, 2) K? ?t mối quan hệ t? ?nh ch? ?t m? ?đun mở rộng t- mở rộng Mệnh đề 2.2.9 M? ?t mô? ?un M mô? ?un mở rộng M mô? ?un 15 t- mở rộng, Z2 (M ) mô? ?un mở rộng, ... phải R -mô? ?un phải mô? ?un t- mở rộng, R -mô? ?un phải mô? ?un t- Baer, R -mô? ?un phải không suy biến mô? ?un xạ ảnh Chúng nêu lên đặc trưng vành R mà R -mô? ?un phải t? ?? (lần lư? ?t mô? ?un t? ?? hữu hạn sinh, mô? ?un xạ