CÁC MÔĐUN t-BAER
3.2. Môđun t-đối không suy biến
Định nghĩa 3.2.1. Ta nói rằng một mơđun M là môđun t-đối không suy biến nếu với mỗi môđun con N của M, tS(N) = tS(M) suy ra N là môđun t-cốt
yếu trong M.
Hơn nữa, ta nói rằng một mơđun M là môđun t-đối không suy biến mạnh nếu với mọi môđun con N của M, tS(N) = tS(M)suy ra N là môđun cốt yếu trong
M.
Theo Mệnh đề 2.1.2, mọi môđunZ2-xoắn, và mọi môđun t-đối không suy biến mạnh đều là môđun t-đối khơng suy biến. Bên cạnh đó, mọi mơđun đơn đều là mơđun t-đối khơng suy biến mạnh.
Ngồi ra, nếu M là mơđun Z2-xoắn, thì M là mơđun t-đối khơng suy biến mạnh nếu và chỉ nếuM = 0. Đối với một môđun không suy biến, khái niệm K-đối
không suy biến, t-đối không suy biến mạnh và t-đối không suy biến là tương đương.
Mệnh đề 3.2.2. Cho M là một môđun.
(1) M là môđun t-đối không suy biến nếu và chỉ nếu với mọi mơđun con N
của M chứa Z2(M) thì tS(N) =tS(M) suy ra N là môđun cốt yếu trong M.
(2) Nếu M là mơđun t-đối khơng suy biến thì M/Z2(M) là môđunK-đối không
suy biến.
Chứng minh. (1) (⇒). Theo Mệnh đề 2.1.2(3), M là môđun t-đối không suy biến
nếu và chỉ nếu với mọi mơđun con N của M có chứa Z2(M), thì N là mơđun cốt yếu trong M.
(⇐). Giả sử N là một mơđun con của M và tS(N) = tS(M).
Vì tS(N +Z2(M)) = tS(N) nên theo giả thiết suy ra N +Z2(M) là mơđun cốt yếu trong M. Do đó, N là môđun t-cốt yếu trong M.
(2) Đặt S =End(M/Z2(M)) và choN/Z2(M) là môđun con củaM/Z2(M) sao cho lS(N/Z2(M)) = 0. Khi đó tS(N) =tS(M). Thật vậy, nếu ϕ∈tS(N), thì ϕ:M/Z2(M)→M/Z2(M) được xác định bởi ϕ(m+Z2(M)) = ϕ(m) +Z2(M) là một đồng cấu với ϕ(N/Z2(M)) = 0. Do đó, ϕ= 0 và ϕ∈tS(M); như vậy, tS(N) = tS(M).
mơđun cốt yếu trong M/Z2(M)
Kết quả sau đây chỉ ra quan hệ tương đương giữa các môđun t-mở rộng với các môđun t-Baer cụ thể; trong Định lý 1.2.8 cho rằng một môđun là môđun mở rộng và K-không suy biến nếu và chỉ nếu nó là mơđun Baer và K-đối khơng suy
biến.
Định lý 3.2.3. Các khẳng định sau là tương đương đối với một môđun M:
(1) M là môđun t-mở rộng;
(2) M là môđun t-Baer và t-đối không suy biến;
(3) M là mơđun t-Baer và C =tM(tS(C)) với mọi mơđun con t-đóng C;
(4) M là mơđun t-Baer và với mọi mơđun con t-đóng C của M nếu tS(C) =
tS(M), thì C=M.
Chứng minh. (1)⇒(2). Theo Định lý 2.2.2,M =Z2(M)⊕M0trong đóM0là mơđun
mở rộng.
Theo Bổ đề 1.2.9, mọi môđun mở rộng khơng suy biến là mơđun Baer; do đó,
M0 là mơđun Baer. Theo Định lý 3.1.2, M là môđun t-Baer. Ta cần chứng minh
M là môđun t-đối không suy biến.
Thật vậy, theo Mệnh đề 3.2.2(1), nếu N một mơđun con của M chứaZ2(M),
thì tS(N) = tS(M) có nghĩa là N là mơđun con cốt yếu trong M.
Vì M là mơđun t-mở rộng nên N là môđun t-cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp K của M, ta có M =K⊕K0.
Theo Mệnh đề 2.1.2(3), N là mơđun cốt yếu trong K. Nếu K0 6= 0, thì phép
chiếu chính tắc πK0 :M →K0 thuộc tS(N) mà khơng thuộc tS(M), mâu thuẫn với
giả thiết. Vì thế, K0= 0, và tương tự với N là môđun cốt yếu trong M, ta có điều phải chứng minh.
(1) ⇒ (3). Theo chứng minh (1) ⇒ (2),M là môđun t-Baer. Gọi C là mơđun con t-đóng của M. Khi đó, C≤tM(tS(C)).
Theo giả thiết, C là một hạng tử trực tiếp của M nên ta có thể viết M =
m ∈tM(tS(C)). Khi đó, π0(m) ∈Z2(M) và vì C chứa Z2(M) nên π0(m) = 0. Do đó,
m∈C và C =tM(tS(C)).
(2) ⇒ (4). Ta có: nếuM là mơđun t-Baer và t-đối khơng suy biến thì với mọi mơđun con t-đóng C của M mà tS(C) = tS(M) thì C =M.
(3) ⇒ (4). Giả sử C là một môđun con t-đóng của M sao cho
tS(C) = tS(M).
Theo giả thiết ta có:
C =tM(tS(C)) = tM(tS(M)) = M.
(4) ⇒ (1). Theo Định lý 2.2.2, mọi môđun con của M chứa Z2(M) là môđun cốt yếu trong hạng tử trực tiếp của M. Giả sử N là một môđun con như vậy.
Do M là môđun t-Baer nên N ≤tMtS(N) =eM với e ∈S là một phần tử lũy đẳng nào đó.
NếuN khơng cốt yếu trongeM thì tồn tại một mơđun con khác khơngL≤eM
sao cho L∩N = 0.
Gọi C là phần bù của L trong M mà chứa N. Do L là môđun không suy biến nên theo Mệnh đề 2.1.7, C là mơđun t-đóng. Ta chứng minh rằng tS(C) = tS(M).
Thật vậy, giả sử ϕ ∈ tS(C), khi đó, ϕC ≤ Z2(M) suy ra ϕN ≤ Z2(M) và
ϕ∈tS(N).
Do vậy, ta có ϕeM ≤Z2(M) và tương tự ϕL≤Z2(M).
Từ đó suy ra ϕ(C⊕L)≤Z2(M). Như vậy, C⊕L≤ϕ−1(Z2(M)).
Mặt khác, C⊕Llà môđun cốt yếu trong M, và ϕ−1(Z2(M)) là môđun cốt yếu trong M. Do đó, theo Hệ quả 2.1.8, ϕ−1(Z2(M)) =M, suy ra ϕ∈tS(M). Từ đó suy
ra, tS(C) = tS(M).
Theo giả thiết, C=M, và L= 0, mâu thuẫn với giả thiết. Do đó, N là mơđun cốt yếu trong hạng tử trực tiếp eM của M.
Vậy M là môđun t-mở rộng.
Hệ quả 3.2.4. Các khẳng định sau là tương đương đối với một môđun M:
(1) M là môđun mở rộng không suy biến;
(4) M là môđun t-Baer và với mọi mơđun con đóng C của M, nếu tS(C) =
tS(M), thì C=M.
Chứng minh. (1)⇒ (2). M là môđun mở rộng không suy biến nên M là môđun
t-mở rộng, theo Định lý 3.2.3, thì M là mơđun t-Baer và mơđun t-đối khơng suy biến mạnh.
(1) ⇒ (3). Cho M là môđun mở rộng không suy biến nên M là môđun t-mở rộng, theo Định lý 3.2.3,M là mơđun t-Baer và C =tM(tS(C))với mọi mơđun con đóng C.
(2) ⇒ (4). Giả sử M là môđun t-Baer và môđun t-đối không suy biến mạnh, theo Định lý 3.2.3, ta suy ra, M là môđun t-Baer và với mọi mơđun con đóng C
củaM, nếu tS(C) =tS(M), thì C =M.
(3) ⇒ (4). Theo chứng minh của Định lý 3.2.3 ((3)⇒(4)), ta có M là mơđun t-Baer và C =tM(tS(C)) với mọi mơđun con đóng C của M và nếu tS(C) = tS(M),
thì C =M.
(4) ⇒ (1). Theo Định lý 3.1.2, M = Z2(M)⊕M0 với M0 là mơđun con của
M nào đó. Rõ ràng, M0 là mơđun đóng trong M và tS(M0) =tS(M); do đó, M0 là mơđun cốt yếu trong M và tương tự M =M0 là môđun không suy biến. Mặt khác, theo Định lý 3.9((3) ⇒ (1)), M là môđun mở rộng.
Một tổng trực tiếp của các môđun t-mở rộng không nhất thiết phải là môđun t-mở rộng. Thật vậy, nếu R = Z[x], thì R là một R-mơđun mở rộng nhưng R⊕R
khơng phải là mộtR-môđun mở rộng theo [6, Example 2.4]. Tuy nhiên,R là mơđun khơng suy biến phải. Do đó,R làR-mơđun t-mở rộng vàR⊕Rkhông phải là môđun t-mở rộng.