Giả sử Lα là một hạng tử trực tiếp của F chứa Z2(F) với mọi α∈ A nào đó, ta có:
F =Lα⊕L0α.
Gọi πL0
α là phép chiếu chính tắc F trên L0α. Theo giả thiết, mỗi môđun con củaQ
α∈AL0α là một mơđun xạ ảnh; do đó, dãy khớp
0→ ∩α∈ALα →F Q πL0 α −→ Im(Y α∈A πL0 α)→0 chẻ ra, trong đóQ πL0 α là đồng cấu chính tắc F đến Q L0α. Do đó, ∩α∈ALα là một hạng tử trực tiếp của F.
trực tiếp của R và Z2(F) là một hạng tử trực tiếp củaF, ta có F =Z2(F)⊕F0. Vì vậy,
ϕ−1(Z2(F)) = Z2(F)⊕(F0∩ϕ−1(Z2(F))).
Gọi ϕ|F0 là hạn chế của ϕ tới F0 và πF0 là phép chiếu chính tắc của F lên F0. Xét đồng cấu
πF0ϕ|F0 :F0→F0.
Ta có:
ker(πF0ϕ|F0) = F0∩ϕ−1(Z2(F)).
Như vậy, theo giả thiết, F0/F0∩ϕ−1(Z2(F)) là mơđun xạ ảnh nên F0∩ϕ−1(Z2(F))
là một hạng tử trực tiếp của F0. Dó đó, ϕ−1(Z2(F)) là một hạng tử trực tiếp của
F.
Mệnh đề 3.3.12. Các khẳng định sau là tương đương đối với một vành R:
(1) Mọi R-môđun tự do hữu hạn sinh là môđun t-Baer;
(2) Mọi R-môđun hữu hạn sinh xạ ảnh là môđun t-Baer;
(3) Z2(RR) là một hạng tử trực tiếp của R, và mọi môđun con hữu hạn sinh
của một tích trực tiếp của R-mơđun khơng suy biến xạ ảnh là môđun xạ ảnh.
Chứng minh. (1) ⇒ (3). Rõ ràng, Z2(RR) là một hạng tử trực tiếp của R.
Giả sử Q
γ∈ΓPγ là tích trực tiếp của R-mơđun xạ ảnh không suy biến Pγ và
N là môđun con hữu hạn sinh của Q
γ∈ΓPγ.
Với mọi γ ∈ Γ, tồn tại một R-môđun tự do R(Λγ) sao cho Pγ là đơn cấu tới một hạng tử trực tiếp củaR(Λγ).
Khi đó, tồn tại một dãy khớp
0→K →F −→ψ N →0
trong đó F là R-môđun tự do hữu hạn sinh và K là môđun con của F. Giả sử
π: Y
γ∈Γ
Pγ →Pγ
là phép chiếu chính tắc (lên thành phần thứ γ), ιγ là phép chiếu chính tắc của Pγ trong R(Λγ),
và ι là phép chiếu chính tắc từ R vào F. Khi đó,
∩γ∈Γ∩λγ∈Λγ (ιπλγιγπγψ)−1(Z2(F)) =K.
Theo Định lý 3.1.2,K là hạng tử trực tiếp củaF, và do đó,N là môđun xạ ảnh.
Mệnh đề 3.3.13. Các khẳng định sau là tương đương đối với một vành R:
(1) RR là vành t-Baer;
(2) Mọi R-môđun xyclic xạ ảnh là môđun t-Baer;
(3) Z2(RR) là một hạng tử trực tiếp của R, và mọi mơđun con xyclic của một
tích trực tiếp của R-mơđun xạ ảnh không suy biến là môđun xạ ảnh.
Chứng minh. (1) ⇒(2) Do mọi R-môđun xyclic xạ ảnh là đẳng cấu đến một hạng
tử trực tiếp của R, nên theo Định lý 3.1.6 suy ra nó là mơđun t-Baer.
(2) ⇒ (3) Thay đổi chứng minh của Mệnh đề 3.3.12((1) ⇒ (3)), bằng cách giả sử N là môđun con xyclic của Q
γ∈ΓPγ và F =R.
(3) ⇒ (1) Trong chứng minh Định lý 3.3.12 ((4) ⇒ (1)), giả sử F =R và làm tương tự ta có điều phải chứng minh.
Sau đây đưa ra một điều kiện cho vành không suy biến phải để trở thành vành Baer.
Hệ quả 3.3.14. R là một vành Baer nếu và chỉ nếu nó là một vành khơng
suy biến phải và mọi mơđun con xyclic của một tích trực tiếp của R-môđun xạ ảnh
KẾT LUẬN
Trong luận văn này chúng tôi đã tổng quan và chứng minh lại một số kết quả sau:
(1). Giới thiệu khái niệm về môđun t-mở rộng và môđun t-Baer.
(2). Chứng minh được quan hệ giữa mơđun t-mở rộng với mơđun t-đóng và mơđun t-cốt yếu. Một mơđun là môđun t-mở rộng khi và chỉ khi mọi môđun con là môđun t-cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp.
(3). Một mơđun t-mở rộng chính là tổng trực tiếp của một môđun mở rộng không suy biến và một môđun Z2-xoắn.
(4). Một mơđun t-Baer chính là tổng trực tiếp của hai môđun Baer suy biến và Z2-xoắn.
(5). Một môđun là môđun t-mở rộng khi và chỉ khi nó là mơđun t-Baer và t-đối không suy biến.
(6). Vành R là vành P
-t-mở rộng phải khi và chỉ khi mỗi R-môđun phải là
môđun t-mở rộng, mỗiR-môđun phải là môđun t-Baer, mỗi R-môđun phải không
suy biến là môđun xạ ảnh.
(7). Mỗi R-môđun phải tự do (lần lượt là môđun hữu hạn sinh, môđun xạ