Định nghĩa 3.3.1. Ta nói rằng một vành R là vành P-t-mở rộng phải nếu
mỗi R-môđun tự do là môđun t-mở rộng.
Rõ ràng, mọi vànhP
-mở rộng phải là vành P
-t-mở rộng phải. Hơn nữa, nếu
R là một vành Z2-xoắn phải, tức là Z2(RR) = R, và M Z2(RR) ≤ Z2(M), suy ra
Z2(M) =M với mọi R-môđun M. Do vậy, R là vành P
Kết quả tiếp theo nêu đặc trưng của vànhP
-t-mở rộng phải. Cụ thể, kết quả này mô tả các vành R mà mỗi R-môđun là môđun t-Baer; và trong Định lý 1.2.11
chỉ ra rằng các vànhR có cácR-mơđun là mơđun Baer, thì chính là vành nửa đơn.
Định lý 3.3.2. Các khẳng định sau đây là tương đương đối với một vành R:
(1) R là vành P
-t-mở rộng phải;
(2) Mọi R-môđun không suy biến là môđun xạ ảnh;
(3) Với mọi R-môđun M, tồn tại một môđun con xạ ảnh M0, với
M =Z2(M)⊕M0;
(4) Mọi R-môđun là môđun t-Baer;
(5) Mọi R-môđun là môđun t-mở rộng;
(6) Mọi R-môđun xạ ảnh là môđun t-mở rộng;
(7) Mọi R-môđun không suy biến là môđun Baer, và Z2(RR) là một hạng tử
trực tiếp của R;
(8) Mọi R-môđun không suy biến là môđun mở rộng, và Z2(RR) là một hạng
tử trực tiếp của R.
Chứng minh. (1) ⇒ (2). Giả sử M là R-mơđun khơng suy biến. Khi đó, tồn tại
một R-môđun tự do F và một môđun con K của F sao cho M ∼= F/K. Do F/K
không suy biến nên K2 =K với K2/K =Z2(F/K). Do đó, theo Định lý 2.10(2), K
là một hạng tử trực tiếp của F. Điều này suy ra M là một môđun xạ ảnh.
(2) ⇒ (3). Giả sử M là một R-mơđun. Vì M/Z2(M) khơng suy biến nên
M/Z2(M) là mơđun xạ ảnh. Do đó, M = Z2(M)⊕M0 với mơđun con M0 nào đó củaM.
Ta lại có M0 là mơđun khơng suy biến. Vì vậy, M0 là môđun xạ ảnh. (3) ⇒ (2). Hiển nhiên đúng
(2) ⇒ (4). Theo trên ta có M = Z2(M)⊕M0 với mơđun con M0 nào đó của
M.
Giả sử C là một mơđun con đóng của M0. Do M0 khơng suy biến nên theo Mệnh đề 2.1.7, M0/C khơng suy biến. Vì thế, theo giả thiết, M0/C là môđun xạ ảnh, và tương tự C là một hạng tử trực tiếp của M0.
Như vậy, theo Định lý 3.1.2, M là môđun t-Baer. (4) ⇒ (5). Giả sử M là một R-môđun và K ≤M.
Xét ϕ:M⊕(M/K)→M ⊕(M/K) xác định bởi ϕ(m, m0+K) = (0, m+K) với mọi m, m0 ∈M.
Theo giả thiết, M ⊕(M/K) là một mơđun t-Baer; do đó, theo Định lý 3.1.2,
ϕ−1(Z2(M ⊕(M/K))) là một hạng tử trực tiếp của M ⊕(M/K).
Hơn nữa, ta có:
ϕ−1(Z2(M)⊕Z2(M/K)) =K2⊕(M/K)
trong đó K2/K =Z2(M/K).
Do đó, K2 là một hạng tử trực tiếp của M, và vì vậy, theo Định lý 2.2.2(2),
M là môđun t-mở rộng.
(5) ⇒(6) ⇒ (1) và (4) ⇒ (7) là hiển nhiên.
(7) ⇒ (8). Chứng minh tương tự như (4)⇒ (5) bằng cách giả sử K là mơđun con đóng của M; lưu ý rằng M/K là môđun không suy biến theo Mệnh đề 2.1.7.
(8) ⇒ (1). Theo Định lý 2.2.2(3), suy ra Z2(F) là một hạng tử trực tiếp của