luận văn Về c3 môđun

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM  LÊ THỊ MINH THUYỀN VỀ C3-MÔĐUN Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 8460104 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ĐÀ NẴNG – NĂM 2018 Cơng trình hồn thành Trường Đại học Sư phạm – ĐHĐN Người hướng dẫn khoa học: GS TS LÊ VĂN THUYẾT Phản biện 1: PGS.TS Trương Công Quỳnh Phản biện 2: PGS.TS Trần Đạo Dõng Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Khoa học họp Trường Đại học Sư phạm – ĐHĐN vào ngày 01 tháng năm 2018 Có thể tìm hiểu luận văn - Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng VỀ C3-MÔ ĐUN Ngành: Đại số Lý thuyết số Họ tên học viên: Lê Thị Minh Thuyền Người hướng dẫn khoa học: GS TS Lê Văn Thuyết Cơ sở đào tạo: Đại học Đà Nẵng - Đại học Sư phạm Tóm tắt: Trong luận văn này, tơi trình bày số đặc điểm vành nửa đơn, V-vành phải, vành di truyền phải vành FGC phải quy C3-mơđun Luận văn giới thiệu bao C3 phủ C3, nêu lên mối quan hệ bao C3 phủ C3 với môđun nội xạ, vành nửa đơn, vành hoàn chỉnh phải Đây tài liệu quan trọng để khảo sát thêm đặc trưng môđun vành thông qua C3-mơđun chưa nghiên cứu Từ khóa: C2-mơđun, C3-mơđun, môđun tựu liên tục, vành c3, phủ C3 Xác nhận giáo viên hướng dẫn GS.TS Lê Văn Thuyết Người thực đề tài Lê Thị Minh Thuyền C3-MODULES Major: Algebra and Number theory Full name of Master student: Le Thi Minh Thuyen Supervisors: Prof Ph.D Le Van Thuyet Training institution: The University of Da Nang - University of Education Abstract: In this essay, i provide some characterizations of semisimple rings, right V-rings, right hereditary and regular right FGC-rings in terms of C3-modules The notions of C3-envelope and C3cover are introduced, raises the relationship of C3-envelope and C3-cover with injective modules, semisimple ring, reguler right This is also important documents to further explore the characteristics of modules and ring through C3-modules not yet studied Key words: C2-modules, C3-modules, quasi-continiuous modules, C3-covers, C3-envelope Supervior’s confirmation Prof Ph.D Le Van Thuyet Student Le Thi Minh Thuyen MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết môđun quan trọng nghiên cứu Đại số nhiều vấn đề cần quan tâm nghiên cứu Chúng ta biết lớp môđun quan trọng M od − R mơđun nội xạ Một mơđun phải Q vành R gọi nội xạ cho đơn cấu i từ NR vào MR , đồng cấu f từ N vào Q, tồn đồng cấu g từ M vào Q cho gi = f Mơđun nội xạ suy tính chất sau mà ta gọi điều kiện (C1), (C2), (C3) định nghĩa sau: (C1): Tất môđun M cốt yếu hạng tử trực tiếp M (C2): Tất môđun đẳng cấu với hạng tử trực tiếp M hạng tử trực tiếp M (C3): Nếu M1 M2 hạng tử trực tiếp M mà M1 ∩ M2 = 0, M1 M2 hạng tử trực tiếp M Một mơđun nghiệm tính chất Ci (i = 1, 3) gọi môđun Ci (hay Ci-môđun) Nếu môđun M nghiệm với hai điều kiện (C1) (C2) M gọi môđun liên tục Nếu M nghiệm (C1) (C3), gọi mơđun tựa liên tục Mỗi môđun nội xạ liên tục và, C2-môđun C3-mơđun nói chung, khơng phải C3-mơđun C2-mơđun Vì ta có: Nội xạ ⇒ liên tục ⇒ tựa liên tục Ngồi ra, C3-mơđun có mối quan hệ chặt chẽ với môđun đều, môđun khơng phân tích được, mơđun nửa đơn, mơđun đối ngẫu Rickart, mơđun có SSP Nhằm tìm hiểu vấn đề môđun giới thiệu trên, chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ là: “VỀ C3-MÔĐUN” Mục tiêu nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu C3 môđun môđun liên quan, vành liên quan - Tổng quan kết từ các báo, sách sau chứng minh, trình bày lại vấn đề cách có hệ thống - Tìm cách mở rộng số kết (nếu được) Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Nghiên cứu định nghĩa, tính chất C3-môđun, -C3-môđun, phủ C3, bao C3 - Nghiên cứu mối liên hệ mơđun đều, mơđun khơng phân tích được, môđun nửa đơn, môđun Rickart đối ngẫu môđun có SSP với C3-mơđun - Đặc điểm vành nửa đơn, V -vành, vành di truyền phải vành FGC phải quy liên quan đến C3-mơđun - Mối liên quan cứu -C3-môđun với vành Nơte phải, môđun nội xạ Phương pháp nghiên - Nghiên cứu lý thuyết: Dựa sở biết môđun, môđun xạ ảnh, môđun nội xạ, với nghiên cứu tài liệu công bố đặc biệt báo khoa học liên quan đến Ci-môđun, i = 1, - Nghiên cứu thực tiễn: Trao đổi, thảo luận với người hướng dẫn Trao đổi thông qua xêmina nhóm Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn đượcchia thành chương Chương 1: Kiến thức sở Chương trình bày số khái niệm kết liên quan đến môđun để làm sở cho chương sau 1.1 Các định nghĩa 1.2 Các kết liên quan Chương 2: Về C3-mơđun Chương trình bày nội dung luận văn, trình bày C3-mơđun, -C3-môđun vành C3 bao C3, môđun vành liên quan 2.1 C3-môđun 2.2 −C3-môđun 2.3 Bao C3 2.4 Phủ C3 Do thời gian thực có hạn, lực thân nhiều hạn chế nên dù em cố gắng nhiên không tránh khỏi thiếu sót Em kính mong q Thầy/ Cơ, bạn đọc thơng cảm góp ý cho luận văn em hoàn chỉnh 3 CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong chương chúng tơi xin trình bày số khái niệm kết liên quan để làm sở cho chương sau 1.1 Các định nghĩa tính chất Định nghĩa 1.1.1 (1) Một mơđun MR gọi hữu hạn sinh tồn tập hữu hạn {a1 , , an } ⊂ M cho M = a1 R + + an R tức M có tập sinh hữu hạn (2) Một môđun MR gọi hữu hạn đối sinh tập hợp {Ai | i ∈ I} môđun Ai = tồn tập hữu hạn I0 ⊂ I cho M thỏa mãn I Ai = I0 Định nghĩa 1.1.2 (1) R-môđun phải M gọi Nơte tập khác rỗng mơđun có phần tử tối đại (2) Vành R gọi Nơte phải RR Nơte Ví dụ 1.1.3 (1) Vành Z Nơte mơđun hữu hạn sinh tức có dạng nZ, n ∈ N (2) Vành đa thức K[x] , với K trường, Nơte K trường tức Nơte, áp dụng định lý sở Hinbert ta có điều phải chứng minh (3) Vành đa thức đếm biến A[x1 , x2 , ] không vành Nơte dãy tăng iđêan x1 < x1 , x2 < < x1 , x2 , , xn < không dừng (4) Với p ∈ P (các số nguyên tố) Đặt Qp = {a/pi , a ∈ Z, i ∈ N ≤ Q} Ta định nghĩa Zp∞ Z ≤ Qp , Zp∞ = Qp /Z Cụ thể Zp∞ = {q + Z | pk (q + Z) = 0, k N} Zp∞ = {q + Z | pk q ∈ Z, k N} Nếu xem Z-mơđun Zp∞ khơng Nơte Định nghĩa 1.1.4 Căn Jacobson môđun MR giao tất môđun cực đại M ký hiệu Rad(M ) Khi M = R Rad(RR ) = Rad(R R) ký hiệu J nghĩa Jacobson vành R 4 Ví dụ 1.1.5 (1) Cho p số nguyên tố, k số nguyên dương M = Z/pk Z Khi Rad(M ) = pZ/pk Z (2) Cho số nguyên n với phân tích tiêu chuẩn n = pα1 pα2 pαk k Khi k Rad(Zn ) = k (pi Z/nZ) = ( i=1 pi Z)/nZ = p1 p2 pk /nZ i=1 Định nghĩa 1.1.6 (1) Một môđun K M cốt yếu M ký hiệu K ≤e M trường hợp với môđun L ≤ M, K ∩ L = suy L = (2) Một môđun K M gọi đối cốt yếu M , ký hiệu K M trường hợp với môđun L ≤ M, K + L = M suy L = M Ví dụ 1.1.7 Trong Z , có iđêan đối cốt yếu Z Tuy nhiên iđêan khác Z cốt yếu, cho hai iđêan khác tùy ý aZ, bZ = ab ∈ aZ ∩ bZ Định nghĩa 1.1.8 (1) Môđun MR gọi môđun đơn M = có hai môđun (là M ) (2) Cho (Tα )α ∈ A tập môđun đơn M Nếu M tổng trực tiếp môđun đơn này, nghĩa M= Tα A mơđun M gọi nửa đơn (3) Vành R gọi nửa đơn phải (trái) môđun RR (R R) nửa đơn Người ta chứng minh vành R nửa đơn phải R nửa đơn trái Vì ta cần gọi R nửa đơn mà không cần đề cập đến phía Ví dụ 1.1.9 (1) Mỗi khơng gian vectơ V = VK trường K nửa đơn VK = xK = x∈B xK x∈B B sở V Dĩ nhiên xK đơn x = 0, x ∈ V (2) ZZ khơng nửa đơn Ngồi QZ khơng nửa đơn khơng có mơđun đơn Định nghĩa 1.1.10 (1) Cho UR mơđun Lúc U gọi nội xạ trường hợp với đơn cấu f : KR → MR , với KR , MR đồng cấu v : KR → UR tồn R- đồng cấu v : M → U cho v.f = v hay biểu đồ sau giao hoán UO ` v¯ v f /K /M (2) Cho PR môđun Lúc P gọi xạ ảnh trường hợp với toàn cấu β : B → C , với B, C đồng cấu ψ : P → C tồn đồng cấu λ : P → B cho ψ = β.λ hay biểu đồ sau giao hoán P λ B  ~ β ψ /C /0 Ví dụ 1.1.11 (1) Z khơng Z-mơđun nội xạ, đồng cấu f : 2Z → Z 2n → n mở rộng đến đồng cấu Z → Z (2) QZ nội xạ xem Q Z-mơđun Q chia (3) Z Z-môđun xạ ảnh Tuy nhiên Z-môđun Zn không xạ ảnh Để mở rộng định nghĩa mơđun nội xạ ta có định nghĩa sau: Định nghĩa 1.1.12 Cho M , N R-môđun phải Khi đó: (1) M gọi N -giả nội xạ mơđun A N đơn cấu f : A → M mở rộng đến đồng cấu g : N → M M gọi giả nội xạ M M -giả nội xạ (2) M gọi N -giả nội xạ cốt yếu với môđun cốt yếu A N đơn cấu f : A → M mở rộng đến đồng cấu g : N → M M gọi tự giả nội xạ cốt yếu M M -giả nội xạ cốt yếu Ví dụ 1.1.13 Ta có Zp3 Zp2 -giả nội xạ cốt yếu Định nghĩa 1.1.14 Môđun A = gọi môđun khác A cốt yếu A Ví dụ 1.1.15 (1) Mọi mơđun khác mở rộng cốt yếu môđun (2) Môđun đơn môđun (3) Trường thương miền giao hốn R R-mơđun Định nghĩa 1.1.16 Một môđun M gọi N-C2 có mơđun N ≤ N , với ∼ N = M ≤⊕ M N ≤⊕ N Định nghĩa 1.1.17 Một mơđun M có tính chất tổng số hạng, SSP hai hạng tử trực tiếp M hạng tử trực tiếp M Định nghĩa 1.1.18 Một môđun M gọi đối ngẫu Rickart với ϕ ∈ End(M ) , ϕ(M ) hạng tử trực tiếp M Định nghĩa 1.1.19 Một vành R gọi vành FGC phải R-môđun hữu hạn sinh tổng trực tiếp môđun cyclic Định nghĩa 1.1.20 Một vành R gọi V -vành phải với R-môđun phải đơn nội xạ R gọi vành SSI phải với R-môđun phải nửa đơn nội xạ Định nghĩa 1.1.21 (1) Vành R gọi nửa nguyên sơ vành thương R/J(R) nửa đơn J(R) lũy linh (2) Một vành R gọi hoàn chỉnh phải (trái) R vành nửa địa phương J(R) T -lũy linh phải (trái) Ta chứng minh vành nửa nguyên sơ vành hoàn chỉnh phải (trái) chiều ngược lại nói chung khơng Ví dụ 1.1.22 (1) Cho vành ma trận vuông cấp Q R R= Q Ta có J(R) = R , 0 J(R)2 = R/J(R) vành nửa đơn Vậy R vành nửa nguyên sơ (2) Cho vành R xác định R= Q R = Q a b c a, c ∈ Q; b ∈ R Ta có Jacobson vành R J(R) = R , 0 iđêan cực đại R J(R) lũy linh (J(R)2 = 0) Bởi vậy, R nửa nguyên sơ nên R vành hoàn chỉnh phải trái Định nghĩa 1.1.23 Một đồng cấu vành φ : P → M gọi phủ xạ ảnh R-môđun phải P xạ ảnh, φ toàn cấu, ker(φ) đối cốt yếu P Không phải môđun có phủ xạ ảnh nên vành hồn chỉnh mơđun có phủ xạ ảnh có mối liên hệ sau: Định lý 1.1.24 Vành R hoàn chỉnh phải R-mơđun phải có phủ xạ ảnh Định nghĩa 1.1.25 Vành R gọi di truyền phải (nửa di truyền phải) iđean phải hữu hạn sinh xạ ảnh Định nghĩa 1.1.26 Vành R gọi vành quy (theo nghĩa Von Neumann) với a ∈ R ln tồn b ∈ R cho a = aba Ví dụ 1.1.27 (1) Mọi trường vành quy với a = 0, ta lấy b = a−1 thõa mãn aba = aa−1 a = a (2) Ma trận Mn (K) vành quy với A ∈ Mn (K) với rank(A) = n Khi tồn I ma trận khả nghịch U, V cho A = U V Đặt B = V −1 U −1 , ta có 0 ABA = U I I I V V −1 U −1 U V =U V = A 0 0 0 Định nghĩa 1.1.28 Cho M R-môđun phải Đơn cấu µ : M → Q gọi bao nội xạ M Q môđun nội xạ µ đơn cấu cốt yếu Về mặt kí hiệu ta viết I(M ), E(M ) để bao nội xạ mơđun M Ví dụ 1.1.29 Cho ι : ZZ → QZ bao nội xạ ZZ ι đơn cấu QZ nội xạ (chia được), ZZ ≤ QZ ∀q ∈ Q, q = 0, q = p/r, ∃r ∈ Z cho r = 0, rq = p ∈ Z Định nghĩa 1.1.30 Cho M R-mơđun phải, S = EndR (M ) Khi M gọi môđun đối ngẫu Rickart ∀ϕ ∈ S, ϕ(M )ϕ = Imϕ = eM với e2 = e ∈ S Ví dụ 1.1.31 (1) Mọi môđun nội xạ vành di truyền phải đối ngẫu Rickart (2) Mọi môđun nửa đơn môđun đối ngẫu Rickart Định nghĩa 1.1.32 Cho MR N ≤ M N gọi hạng tử trực tiếp M tồn môđun P M cho M = N ⊕ P Lúc ta nói P mơđun phụ M Từ định nghĩa ta suy ra: N ≤⊕ M ⇔ ∃P < M [M = N + P vàN ∩ P = 0] Định nghĩa 1.1.33 (C1): Tất mô đun M cốt yếu hạng tử trực tiếp M (C2): Tất môđun đẳng cấu với hạng tử trực tiếp M hạng tử trực tiếp M (C3): Nếu M1 , M2 hạng tử trực tiếp M mà M1 M2 = 0, M1 M2 hạng tử trực tiếp M 1.2 Các kết liên quan Mệnh đề 1.2.1 Một hạng tử trực tiếp C3-môđun C3-môđun Mệnh đề 1.2.2 R vành SSI R V vành Nơte phải Mệnh đề 1.2.3 Mỗi mơđun đối ngẫu Rickart thỏa mãn tính chất vành SSP Mệnh đề 1.2.4 Cho R vành Các điều kiện sau tương đương: (1) Mỗi R-môđun phải tự C2-môđun, (2) R vành hoàn chỉnh phải rR (I) = ,với Iđêan trái hữu hạn sinh R Định lý 1.2.5 Vành R nửa đơn R vành quy von Neumann khơng chứa tập vô hạn phần tử lũy đẳng trực giao Định lý 1.2.6 (Định lý Matlis vành Nơte) Các điều kiện sau tương đương vành: (1) RR vành Nơte phải, (2) Mọi tổng trực tiếp R-môđun phải nội xạ nội xạ, (3) Mọi tổng trực tiếp đếm bao nội xạ R-môđun đơn nội xạ Mệnh đề 1.2.7 R vành di truyền phải môđun thương R-môđun phải nội xạ nội xạ Bổ đề 1.2.8 Môđun A = E(A) khơng phân tích 8 CHƯƠNG VỀ C3-MƠĐUN Chương tơi xin trình bày nội dung luận văn, trình bày C3-mơđun, C3-mơđun, phủ C3, bao C3, môđun vành liên quan 2.1 C3-Môđun Chương đưa số tính chất C3-mơđun Trong có nêu lên mối quan hệ C2-môđun C3-môđun Mệnh đề 2.1.1 Nếu M mơđun thỏa tính chất C2 thỏa mãn tính chất C3 Ví dụ sau C3-môđun không thiết C2-mơđun Ví dụ 2.1.2 Cho Z Z-mơđun Z C3-môđun Z không C2-môđun Các điều kiện hạng tử trực tiếp liên quan đến C3-môđun thể kết sau: Mệnh đề 2.1.3 Cho M = M1 ⊕ M2 với M1 , M2 ≤ M Nếu M C3-môđun f : M1 → M2 đồng cấu với Ker(f ) ≤⊕ M1 Im(f ) ≤⊕ M2 Hệ 2.1.4 Nếu M C3-mơđun, M = M1 cấu Im(f ) ≤ M2 với M1 , M2 ≤ M f : M1 → M2 đơn M2 Hệ 2.1.5 Cho M R-môđun Nếu M E(M ) C3-môđun M nội xạ Trong mệnh đề tiếp theo, chứng M1 M2 C3-môđun, có điều kiện C2 tương hỗ M1 M2 Mệnh đề 2.1.6 Cho M = M1 M2 với M1 , M2 ≤ M Nếu M C3-mơđun M1 C2- mơđun tương hỗ với M2 M2 C2-môđun tương hỗ với M1 Hệ sau suy trực tiếp từ Mệnh đề 2.1.6 Hệ 2.1.7 (1) Nếu M R-môđun cho M Đặc biệt, M M C3-mơđun M C2-mơđun M tựa liên tục M liên tục (2) Mỗi tổng trực tiếp hữu hạn M C3-môđun tổng trực tiếp M C2-môđun (3) Mỗi tổng trực tiếp hữu hạn M môđun tựa liên tục tổng trực tiếp hữu hạn M môđun liên tục Tuy nhiên, ví dụ tổng trực tiếp C3-môđun không kế thừa tính chất Ví dụ 2.1.8 Gọi α : Z → Z đồng cấu Z-môđun định nghĩa α(m) = nm với m ∈ Z (n ∈ Z) Vì α đơn cấu Im(α) khơng hạng tử trực tiếp Z, Z (Theo Hệ 2.1.2) Tuy nhiên, Z C3-môđun Z không C3-môđun Trong kết đặc điểm vành nửa đơn liên quan đến C3-môđun Định lý 2.1.9 Các điều kiện sau tương đương vành R cho: (1) R vành nửa đơn; (2) Mỗi R-môđun phải (trái) C3-mơđun Sau định lý mơ tả tính chất vành có R mơđun hữu hạn sinh C3 Mệnh đề 2.1.10 Các điều kiện sau tương đương vành R: (1) Mỗi R môđun phải hữu hạn sinh C3, (2) Mỗi R môđun phải hữu hạn sinh đối ngẫu Rickart, (3) Mỗi R môđun phải hữu hạn sinh có SSP, (4) Mỗi mơđun hữu hạn sinh R môđun phải hữu hạn sinh hạng tử trực tiếp, (5) R vành FGC phải, quy Đối với vành giao hốn ta thu được: Định lý 2.1.11 Gọi R vành giao hốn Khi đó, R-mơđun C3-mơđun R vành nửa đơn Định lý 2.1.11 với vành quy, mơđun hữu hạn sinh khơng phải C3-mơđun ∞ Ví dụ 2.1.12 Vành R = Z2 vành quy von Neumann mà nửa đơn Theo n=1 Định lý 2.1.11 ta có R-mơđun hữu hạn sinh khơng phải C3 Định lý 2.1.13 Mọi môđun giả nội xạ cốt yếu C3 Định lý 2.1.14 Các điều kiện sau tương đương vành R : (1) R V -vành phải, (2) Mọi R-môđun phải hữu hạn đối sinh C3-môđun 2.2 -C3-môđun Định nghĩa 2.2.1 Một R-môđun phải M gọi -C3-môđun tổng trực tiếp số M C3-mơđun Theo Định lý Matlis tính tổng trực tiếp môđun nội xạ vành Nơte, ta có vành R Nơte tổng trực tiếp môđun nội xạ nội xạ Trong kết tiếp theo, rõ vành Nơte tổng trực tiếp môđun nội xạ C3 Định lý 2.2.2 Các mệnh đề sau tương đương vành R: (1) R vành Nơte phải, (2) Tổng trực tiếp R-môđun phải nội xạ C3-môđun, (3) Mọi R-môđun phải nội xạ -C3-môđun 10 Tương tự Mệnh đề 1.2.7 kết sau R vành di truyền phải môđun thương môđun nội xạ C3 Định lý 2.2.3 Các mệnh đề sau tương đương: (1) R vành di truyền phải, (2) Mọi hạng tử trực tiếp R-môđun phải nội xạ C3, (3) Tổng hai môđun nội xạ R-môđun phải C3 2.3 Bao C3 Định nghĩa 2.3.1 Một đồng cấu ϕ : M → E gọi bao C3 M , E C3-mơđun tồn đồng cấu β cho biểu đồ sau giao hoán M ϕ ϕ  ~ /E ∃β E E C3-môđun, tồn đồng cấu α cho biểu đồ sau giao hoán M ϕ  ~ ϕ /E ∃α E Sau kết đặc trưng môđun có bao C3 Định lý 2.3.2 Các mệnh đề sau tương đương: (1) Mỗi R-mơđun phải có bao C3, (2) Mỗi C3-môđun nội xạ, (3) Tổng trực tiếp hai C3-môđun C3-môđun, (4) R vành nửa đơn Kết sau cho ta thấy mối liên hệ V-vành mơđun có bao C3 Định lý 2.3.3 Các mệnh đề sau tương đương: (1) Mỗi R-mơđun hữu hạn đối sinh có bao C3, (2) R V-vành phải 2.4 Phủ C3 Định nghĩa 2.4.1 Cho MR PR Một đồng cấu ϕ : P → M gọi phủ C3 R-môđun phải M P C3-môđun, ϕ tồn cấu ker(ϕ) P Ví dụ sau chứng minh phủ C3 Ví dụ 2.4.2 Gọi R miền giao hốn (do RR C3) J Jacobson Khi tồn cấu tắc π : R → R/J id : R/J → R/J phủ C3 không đẳng cấu R/J 11 Định lý 2.4.3 Các khẳng định sau tương đương: (1) Mỗi môđun phải có phủ C3, (2) Mỗi mơđun phải tự có phủ C3, (3) Mỗi mơđun phải tự C3, (4) Mỗi môđun phải xạ ảnh C3, (5) R vành hoàn chỉnh phải rR (I) = với I iđêan trái hữu hạn sinh R 12 KẾT LUẬN Trong luận văn tơi trình bày số định nghĩa, tính chất C3-môđun, -C3-môđun, bao C3 phủ C3, tóm tắt sau: Tơi nêu định nghĩa môđun hữu hạn sinh, môđun hữu hạn đối sinh, môđun cốt yếu, môđun đối cốt yếu, môđun xạ ảnh, môđun nội xạ, vành Nơte, vành FGC, V-vành, Và nêu số kết liên quan đến Ci-môđun, vành Nơte, vành nửa đơn Tôi tổng quan đưa số tính chất C3-mơđun, C3-môđun không thiết C2-môđun thơng qua Ví dụ 2.1.2 Bên cạnh nêu lên điều kiện để môđun C3-mô đun, mối liên hệ V-vành môđun đối hữu hạn sinh (Định lý 2.1.13) Tơi trình bày lại định nghĩa tính chất -C3-mơđun, rõ vành khơng Nơte tổng trực tiếp mơđun nội xạ khơng C3 (Ví dụ 2.2.3) Trong 2.3, tơi trình bày định nghĩa điều kiện bao C3 Nêu tính chất phủ C3 rõ phủ C3 khơng Dĩ nhiên nhiều tính chất C3-mơđun chưa khảo sát, nhiều đặc trưng lớp vành thông qua C3-môđun chưa tìm thấy, ngồi ví dụ minh họa cho kết Bản thân tơi có điều kiện tiếp tục nghiên cứu vấn đề nêu  ... tích 8 CHƯƠNG VỀ C3- MƠĐUN Chương tơi xin trình bày nội dung luận văn, trình bày C3- mơđun, C3- mơđun, phủ C3, bao C3, môđun vành liên quan 2.1 C3- Môđun Chương đưa số tính chất C3- mơđun Trong có... LUẬN Trong luận văn tơi trình bày số định nghĩa, tính chất C3- môđun, -C3- môđun, bao C3 phủ C3, tóm tắt sau: Tơi nêu định nghĩa môđun hữu hạn sinh, môđun hữu hạn đối sinh, môđun cốt yếu, môđun đối... quan đến môđun để làm sở cho chương sau 1.1 Các định nghĩa 1.2 Các kết liên quan Chương 2: Về C3- mơđun Chương trình bày nội dung luận văn, trình bày C3- mơđun, -C3- môđun vành C3 bao C3, môđun vành