một số vấn đề về k – poset các tập con của tập đa bội

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Trần Lê Hoàng MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ K – POSET CÁC TẬP CON CỦA TẬP ĐA BỘI Chuyên ngành : Đại số và lý thuyết số Mã số : 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. Trần Huyên Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 1 LỜI NÓI ĐẦU Khái niệm k – poset bắt nguồn từ bài toán ước lượng độ lớn bóng ∆A của họ A các tập con nào đó của tập hữu hạn S. Giải quyết bài toán này cần sự hỗ trợ của hai thứ tự khác nhau: một là thứ tự bao hàm các tập con của S; hai là thứ tự tuyến tính để so sánh các tập hợp cùng size, sau này được gọi là thứ tự nén. Tập đa bội là tập hợp mà mỗi phần tử của nó có thể lập lại nhiều lần và các tập con của nó có mô hình quen thuộc nhất là các ước nguyên dương của số tự nhiên m nào đó. Nó thực sự rộng hơn họ gồm các tập con của tập đơn bội. Người ta đã mở rộng nhiều tính chất vốn có của họ các tập con tập đơn bội sang họ các tập con tập đa bội và thu được nhiều kết quả đẹp. Trong đó phải kể đến kết quả của hai nhà toán học Clements và Lindstrom vào năm 1969, đã chứng minh được họ các tập con của tập đa bội lập thành một k – poset Luận văn như là sự lý giải về các nội dung trên, được trình bày làm hai chương. Chương I: Kiến Thức Chuẩn bị Phần này, chủ yếu trình bày khái niệm k – poset Chương II: Tính k – poset các tập con của tập đa bội Phần này trình bày khái niệm tập đa bội và tính k – poset các tập con của nó. Cuối cùng, tác giả xin gửi: Lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô trong trường, đặc biệt là khoa Toán – Tin, đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ trong quá trình học tập. Lời cảm ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn đã nhiệt tình quan tâm giúp đỡ tác giả trong quá trình hoàn thành luận văn. Lời cảm ơn đến phòng KHCNSĐH của trường ĐHSP TPHCM đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp tác giả sớm hoàn thành luận văn. 2 TP. HCM, ngày 08 tháng 08 năm 2011 Tác giả 3 MỤC LỤC 0TLỜI NÓI ĐẦU0T 1 0TMỤC LỤC0T 3 0TChương I0T 4 0TKIẾN THỨC CHUẨN BỊ0T 4 0T1. Khái niệm k – poset.0T 4 0T2. Tính k – poset các tập con của tập hữu hạn 0T { } S = 1,2, ,n 0T .0T 7 0TChương II0T 27 0TTÍNH K – POSET CÁC TẬP CON CỦA TẬP ĐA BỘI0T 27 0T§1. Khái niệm tập đa bội0T 27 0T§2. Tính các k – poset các tập con của tập đa bội0T 32 0TKẾT LUẬN0T 48 0TTÀI LIỆU THAM KHẢO0T 49 4 Chương I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương này chủ yếu giới thiệu khái niệm k – poset. Xem như độc giả đã biết những khái niệm: • Tập hợp cùng các phép toán trên nó như là , , , ,\.∪∩⊂⊃ • Các quy tắc phát biểu mệnh đề với các ký hiệu , , , ∀∃∈ • Các quy tắc đếm quy tắc cộng và quy tắc nhân, hai tính chất cơ bản của số k n C như là k nk nn CC − = và 1 11 kk k nn n CC C − −− = + . Một số quy ước trong luận văn: • Thuật ngữ “size” được dùng để chỉ độ lớn của một đối tượng nào đó, ký hiệu . Chẳng hạn như size A, ký hiệu A , là chỉ cho lực lượng tập A. • Tập S luôn hữu hạn, ( ) SP là họ gồm tất cả các tập con của S. • Đôi khi, ký hiệu n k    được dùng thay . k n C 1. Khái niệm k – poset. Ta nhắc lại khái niệm poset (an partially ordered set) Định nghĩa 1.1. Quan hệ ≤ trên một tập hợp M được gọi là thứ tự bộ phận của nó nếu có tính chất sau đây: i. xx≤ với mọi xM∈ . ii. Nếu xy≤ và yx≤ thì xy= . iii. Nếu xy≤ và yz≤ thì xz≤ . 5 Tập M cùng với thứ tự bộ phận ≤ được gọi là tập hợp được sắp thứ tự bộ phận hay poset và được ký hiệu là ( ) ,PM= ≤ . Quan hệ ≤ được gọi là quan hệ thứ tự Ta nói ,xy là so sánh được với nhau (comparable) nếu xy≤ hoặc yx≤ . Nếu xy≤ và xy≠ , ta viết xy< và nói: x bé thua y, hoặc x đứng trước y, hoặc x thực sự được chứa trong y. y được gọi là phủ x hay liền sau x nếu xy< và không tồn tại z thỏa xzy<< . z được gọi là phần tử không nếu z là phần tử duy nhất thỏa mãn zx≤ với mọi xM∈ , kí hiệu là 0. z được gọi là phần tử tối tiểu nếu không tồn tại x thỏa xz< . z được gọi là phần tử tối đại nếu không tồn tại x thỏa zx< . M được gọi là tập được sắp tuyến tính nếu mọi phần tử thuộc M đều so sánh được với nhau. M được gọi là tập được sắp tốt nếu mọi bộ phận khác rỗng của M đều chứa phần tử bé nhất. Tất nhiên khi đó M là tập được sắp tuyến tính. Dãy 12 ,,, n xx xK được gọi là xích (chain) hay dây xích nếu 12 n xx x<<<K . Chiều dài hay size của xích là số các phần tử trong xích trừ đi 1. Xích 12 n xx x<<<K được gọi là bão hòa (saturated chain) nếu 1i x + phủ i x .  Ví dụ 1.1. Nếu { } 1,2,3, ,Sn= thì ( ) ( ) ,S ⊆P là poset, với ∅ là phần tử 0, xích bão hòa là các xích 12 h AA A⊂ ⊂⊂K thỏa 1 1 ii AA + = + với mọi 11ih≤≤ − chẳng hạn như { } { } { } 1 1,2 1,2, ,h⊂ ⊂⊂K .  Một số poset ( ) ,PM= ≤ có tính chất sau: 6 Với mọi xy< , tất cả xích bão hòa từ x đến y có cùng số lượng phần tử trong sự biểu diễn của xích tức là mọi xích bão hòa từ x đến y có cùng size (size đó chỉ phụ thuộc vào x, y). Đặc biệt, mọi xích bão hòa từ 0 đến x có cùng size. Đối với những poset như trên, ta định nghĩa hạng hay size của phần tử x là size mọi xích bão hòa từ 0 đến x, ký hiệu ( ) rx hoặc x . Khi đó, ta nói ( ) ,PM= ≤ là poset có hạng với hàm hạng là ( ) rx x= . Ví dụ 1.2. Với { } 1,2,3, ,Sn= , ( ) ( ) ,S ⊆P là poset có hạng với hàm hạng ( ) rA A= là size của tập hợp A.  Định nghĩa 1.2. Cho ( ) ,M ≤ là poset có hạng với hàm hạng ( ) rx x= . { } : k M xMx k=∈= được gọi là mức hạng k của M. { } : 1,a xMx a xa∆= ∈ = − < được gọi là bóng của phần tử aM∈ Nếu k AM⊂ thì tập aA Aa ∈ ∆= ∆ U được gọi là bóng của A. Khi đó, 1k AM − ∆⊂  Ví dụ 1.3. Với { } 1,2,3,4,5S = , poset ( ) ( ) ,S ⊆P có { } { } { } { } 3 1,2,3 , 2,3,4 , 1,3,5 M= ⊂A { } { } { } { } { }{ } { } { } 2 1,2 , 1,3 , 2,3 , 2,4 , 3,4 1,5 , 3,5 M∆= ⊂A  Khi ( ) ,M ≤ là poset có hạng thì size của x sẽ không bằng size của y nếu hai phần tử ,xy là so sánh được với nhau (vì xy< nếu xy< ). Do đó, thứ tự của poset không thể so sánh các phần tử trên cùng mức hạng k. 7 Định nghĩa 1.3. Cho M là poset có hạng mà trên mỗi k M , ta trang bị thứ tự tuyến tính p . Nếu A là bộ phận trong mức hạng k của M thì tập gồm A phần tử đầu tiên có size k theo thứ tự p được gọi là cái nén của A, ký hiệu CA . A được gọi là nén hay đoạn đầu nếu A CA=  Định nghĩa 1.4. Poset có hạng M, trên mỗi mức k M được trang bị thứ tự tuyến tính p , được gọi là k – poset nếu nó thỏa mãn thêm hai điều kiện sau: 1. A∆ là đoạn đầu nếu A là đoạn đầu 2. ( ) ( ) CA C A∆ ⊆∆ với A là bộ phận tùy ý trong mức hạng k của M. Điều đó có nghĩa là bóng của đoạn đầu có size bé nhất trong tất cả các bộ phận trong mức hạng k có cùng lực lượng.  Phần còn lại của chương I, luận văn trình bày về tính k – poset của họ các tập con của tập hữu hạn { } 1,2, ,Sn= , cho ta ví dụ về k – poset. 2. Tính k – poset các tập con của tập hữu hạn { } S = 1,2, ,n . Trước hết, luận văn giới thiệu một số thứ tự trên mức hạng k. Định nghĩa 1.5. Cho { } 1,2, ,Sn= , A, B là tập con của S có cùng size k. Khi đó A được gọi là nhỏ hơn B theo thứ tự từ điển (lexicographic order) nếu phần tử bé nhất của tập hợp ( ) ( ) ''AB A B A B∆= ∩ ∩U thuộc về A, ký hiệu . L AB<  8 Ví dụ 1.4. Theo thứ tự từ điển, các tập con size 3 của { } 1,2,3,4,5S = là { } { } { } { } { } { } { } { } 1,2,3 1,2,4 1,2,5 1,3,4 1,3,5 1,4,5 2,3,4 2,3,5 LLLLLL LL <<<<<< << { } { } 2,4,5 3,4,5 . LL <<  Một cách tương tự, ta có thứ tự từ điển ngược. Định nghĩa 1.6. Cho { } 1,2, ,Sn= , A, B là tập con của S có cùng size k. Khi đó A được gọi là nhỏ hơn B theo thứ tự từ điển ngược (antilexicographic order) nếu phần tử lớn nhất của tập hợp ( ) 'AB A B∆= ∩ U ( ) 'AB∩ thuộc về A, ký hiệu . A AB<  Ta có thể đạt được thứ tự từ điển ngược từ thứ tự từ điển. Giả sử { } { } 12 12 , , , , , , , , kk A aa a B bb b= = trong đó 11 , 1, 1 ii ii aa bb i k ++ > > ∀∈ − . Đặt { } 12 1 , 1 , , 1 , k Ananana= +− +− +− { } 12 1 , 1 , , 1 k Bnbnbnb= +− +− +− Rõ ràng . AL ABAB< ⇔< Ví dụ 1.5. Theo thứ tự từ điển ngược, các tập con size 3 của { } 1,2,3,4,5S = gồm có { } { } { } { } { } { } { } { } 5,4,3 5,4,2 5,4,1 5,3,2 5,3,1 5,2,1 4,3,2 4,3,1 A A A AAAA < < < <<<< { } { } 4,2,1 3,2,1 . AA <<  Thứ tự mà ta sẽ dùng là đảo ngược vị trí các phần tử trong thứ tự từ điển ngược. 9 Định nghĩa 1.7. Cho { } 1,2, ,Sn= , A, B là tập con của S có cùng size k. Khi đó A được gọi là nhỏ hơn B theo thứ tự nén hay thứ tự dồn (Squashed order) nếu phần tử lớn nhất của tập hợp ( ) 'AB A B∆= ∩ U ( ) 'AB∩ thuộc về B, ký hiệu . S AB<  Ví dụ 1.6. Từ ví dụ 1.5, các tập con size 3 của { } 1,2,3,4,5S = theo thứ tự nén gồm { } { } { } { } { } { } { } { } 1,2,3 1,2,4 1,3,4 2,3,4 1,2,5 1,3,5 2,3,5 1,4,5 SSS SSS S <<<<<< < { } { } 2,4,5 3,4,5 SS << .  Để thuận lợi khi sử dụng thứ tự nén, người ta biểu diễn các tập con bất kỳ của S thành các dãy nhị phân, tức là dãy chỉ có hai phần tử là 0 và 1. Ví dụ như, tập con { } 1, 3, 4A = của { } 1,2,3,4,5S = có biểu diễn là 10110, tập con { } 1,2,4,7B = của { } 1,2,3,4,5,6,7S = có biểu diễn là 1101001. Cơ số 1 sẽ ở vị trí thứ i nếu i xuất hiện trong tập hợp, cơ số 0 ở các vị trí còn lại. Ví dụ 1.7. Từ ví dụ 1.6, các tập con size 3 của { } 1,2,3,4,5S = theo thứ tự nén được đại diện bởi hai cột sau (Ở cột thứ nhất, tập hợp được viết theo kiểu thông thường; ở cột thứ hai, nó được đại diện bằng chuỗi nhị phân tương ứng) 1 2 3 1 1 1 0 0 phần tử đầu tiên 1 2 4 1 1 0 1 0 phần tử thứ hai 1 3 4 1 0 1 1 0 phần tử thứ ba 2 3 4 0 1 1 1 0 phần tử thứ bốn 1 2 5 1 1 0 0 1 phần tử thứ năm 1 3 5 1 0 1 0 1 phần tử thứ sáu 2 3 5 0 1 1 0 1 phần tử thứ bảy [...]...  ≥  k  + +  t   k − 1  t − 1 Định lý đã được chứng minh  Vậy, P ( S ) là k – poset 27 Chương II TÍNH K – POSET CÁC TẬP CON CỦA TẬP ĐA BỘI Chương II của luận văn trình bày về tính k – poset các tập con của tập đa bội Trước hết ta tìm hiểu khái niệm tập đa bội §1 Khái niệm tập đa bội Tập hữu hạn n phần tử S = {1, 2, , n} đôi khi còn được gọi là tập đơn bội Tập đa bội được hiểu một cách nôm... các tập con của S ( k1 ,k2 , , kn ) vẫn được đảm bảo trong điều kiện k1 ≤ k2 ≤ ≤ kn Đó là nội dung ở § 2 32 §2 Tính các k – poset các tập con của tập đa bội Tiết này trình bày tính k – poset các tập con của S ( k1 ,k2 , , kn ) với điều kiện k1 ≤ k2 ≤ ≤ kn Theo định nghĩa 1.4, S ( k1 ,k2 , , kn ) là k – poset nếu nó thỏa mãn thêm hai điều kiện 1 ∆A là nén nếu A nén 2 ∆C A ⊂ C ∆A Ta đến với điều kiện... vậy, ta xem tập con của tập đa bội m là một vectơ = Khi đó poset U ( m ) {l ∈ ¥ mM} có thể đồng nhất với tập S ( k1 ,k2 , , kn ) gồm l tất cả các vectơ x = ( x1 ,x2 , , xn ) , trong đó xi ≤ ki ∀i ∈1, n tức là S ( k1 ,k2 , , kn )= {x= ( x1 , x2 , , xn ) xi ≤ ki∀i ∈1, n} Vấn đề lúc này là trang bị cho tập các vectơ cùng hạng của S ( k1 ,k2 , , kn ) một thứ tự tuyến tính để nó lập thành một k – poset Định... Suy ra  ak + 1  ak   ak − 1  a − k + 1  ak − k  =  + + +  k    +  1  k   k   k −1     0   a + 1  b  Ta có ak < bk k o theo ak + 1 ≤ bk k o theo  k  ≤  k  ≤ m  k  k Mặt khác, ak > ak −1 > > at +1 > at ≥ t ≥ 1 suy ra ak − 1 ≥ ak −1 , ak − 2 ≥ ak −1 − 1 ≥ ak − 2 , , ak − ( k − t ) ≥ at Điều này dẫn đến mâu thuẫn vì a   a  a  = m  k  +  k −1  + +...  k −1  < m −  k  hay  k − 1 k a   a  0 < m −  k  −  k −1  , chọn ak − 2 là số nguyên  k   k − 1 dương lớn nhất thỏa mãn  ak − 2   ak   ak −1    ≤ m− −   k − 2  k   k − 1 Nếu ak − 2 ≥ ak −1 thì  a   a   a   a   a   a   a   a + 1 m ≥  k  +  k −1  +  k − 2  ≥  k  +  k −1  +  k −1  =  k  +  k −1  ,  k   k − 1  k − 2   k   k. .. cả các tập size k của   {1, 2, , ak }  ak −1   k − 1 tập hợp con size k tiếp theo bằng cách lấy tất cả các tập size ( k − 1) của   {1, 2, , ak −1} nhưng thêm vào phần tử ak + 1 …, a  Như thế cho đến  t  tập hợp con size k cuối cùng là lấy lấy tất cả các tập size t t  của {1, 2, , at } nhưng thêm vào các phần tử {ak + 1, ak −1 + 1, , at +1 + 1} 18 Khi đó, ∆A gồm các tập hợp sau:  ak ... diện của m có thể dễ dàng tìm được bằng cách chọn ak là số nguyên dương lớn nhất thỏa mãn  ak    ≤ m k a  Nếu  k  < m, chọn ak −1 là số nguyên dương lớn nhất thỏa mãn k  ak −1  a  ≤ m− k   −   k 1 k Nếu ak −1 ≥ ak thì  a   a   a   a   ak + 1 m ≥  k  +  k −1  ≥  k  +  k  = ,   k   k − 1  k   k − 1  k  mâu thuẫn với cách chọn ak , hay ak −1 < ak a... ≤  k   k − 1 t  a   a − 1 a − k +t ≤  k  +  k  + +  k ≤ t  k   k −1     a   a − 1 a − k +t  ak − k + 1  ak − k  ≤  k  +  k  + +  k  + +  +  1 k   k −1  t       0   a + 1  a + 1 ≤  k  −1 <  k  ≤ m  k   k  hay m < m! Mâu thuẫn chứng tỏ không thể xảy ra ak ≠ bk Vậy, đại diện k – nhị thức của m là duy nhất  Ví dụ 1.9 Lấy m 26, k 4,... ak   1 tập hợp con size ( k − 1) của {1, 2, , ak } k −   ak −1    tập hợp con size ( k − 2 ) của {1, 2, , ak −1} nhưng thêm vào phần tử  k − 2 {ak + 1}  ak − 2   − 3  tập hợp con size k  ( k − 3) của {1, 2, , ak − 2 } nhưng thêm vào phần tử {ak + 1, ak −1 + 1} , …,  a  Cuối cùng là  t  tập hợp con size ( t − 1) của {1, 2, , at } nhưng thêm vào  t − 1 phần tử {ak + 1, ak −1 + 1,... k1 k2 kn   còn ước số l của m tương ứng với tập     p1 , p1 , , p1 , p2 , p2 , , p2 , , pn , pn , , pn  1 4 2 4 3 1 4 2 4 3 1 42 43   x1 x2 xn   Như vậy, độc giả có thể xem như m là tập đa bội, các ước nguyên dương của m là các tập con của nó, quan hệ bao hàm của tập đa bội là quan hệ chia hết của số nguyên k k Với m = p 1k1 p2 2 pn n , trong đó p1 , p2 , , pn là các số nguyên tố đôi một . 0TTÍNH K – POSET CÁC TẬP CON CỦA TẬP ĐA BỘI0T 27 0T§1. Khái niệm tập đa bội0 T 27 0T§2. Tính các k – poset các tập con của tập đa bội0 T 32 0TKẾT LUẬN0T. ) kt a kt a− −≥ . Điều này dẫn đến mâu thuẫn vì 1 1 1 1 11 1 10 11 1 kk t kk k kk k k k kk aa a m kk t a a a kt kk t a a akt ak ak kk t aa m kk − 