Ta xét hai trường hợp sau: Trường hợp 1: l =0 Nếu h<k thì ( ) ( ) ( ) { 0,k 1 , 1,k 2 ,..., h k, h 1} ∆ =B − − − − và 0 ∆ −B B = ; Trong khi đó, nếu h=k thì
( ) ( ) ( ) { 0,k 1 , 1,k 2 ,..., h 1, 0 } ∆ =B − − − và 1 ∆ −B B = − . Như vậy, mọi khuôn B chứa ( )0,k ta đều có
0 ∆ −B B ≤ (6) Trường hợp 2: l >0 Khi đó, nếu h<k thì ( ) ( ) ( ) ( ) { l 1,k l , ,l k l 1 ,..., h 1,k h , h k, h 1} ∆ =B − − − − − − − − , và 1 ∆ −B B = Nếu h=k thì ( ) ( ) ( ) { l 1,k l , ,l k l 1 ,..., h 1, 0 } ∆ =B − − − − − và 0 ∆ −B B =
Như vậy, mọi khuôn B không chứa ( )0,k đều thỏa mãn 0
Dễ thấy rằng nếu B B1, 2 là khuôn mà B B1U 2 không phải khuôn thì ∆B1, ∆B2 là rời nhau. Đương nhiên A là hợp rời nhau của các khuôn Bi, trong đó các ∆Bi đôi một rời nhau.
Khi đó, trong các khuôn biểu diễn của A, nếu có một khuôn chứa ( )0,k , chẳng hạn như B1 thì ∆ −B B1 1 =0 (vì nếu ∆ −B B = −1 tức h=k thì A B= 1 nén và điều đó là mâu thuẫn) còn các khuôn Bi khác đều có ∆ −B Bi i ≥0.
Do đó,
∆ −A A = ∑{∆ −B Bi i}≥0.
Mặt khác, CA chứa ( )0,k nên 0≥ ∆(CA) − CA kéo theo
( ) ( )
0 C C C
∆ −A A ≥ ≥ ∆ A − A = ∆ A − A
kéo theo ∆ ≥ ∆A (CA) hay
( ) ( )
C ∆A ≥ ∆ CA . Do đó, Do đó,
(C ) C( )∆ A ⊂ ∆A . ∆ A ⊂ ∆A .
Một lập luận tương tự cho trường hợp k1≤ ≤k k2 hoặc k2 <k. Vậy định lính 2.2.2 đúng với n=2.
Trong trường hợp n≥3, người ta đã sử dụng ý tưởng sau: nén các vectơ mà
thành phần thứ i cố định.
Định nghĩa 2.2.1. Cho A là bộ phận trong mức hạng kcủa S k k( 1, ,2 ...,kn). Bộ phận gồm tất cả các vectơ thuộc A mà tại tọa độ thứ i bằng d được ký hiệu :
i d
Bộ phận gồm Ai d: vectơ đầu tiên (theo thứ tự từ điển) trong mức hạng k mà tại tọa độ thứ ibằng dđược ký hiệu CAi d: .
A được gọi là i – nén nếu CAi d: =Ai d: với mọi d =0,1,..., .ki
Dễ thấy rằng, nếu A gồm A vectơ đầu tiên thì A gồm Ai d: phần tử đầu tiên tại tọa độ thứ i bằng d.
Do đó, nếu A nén thì A là i – nén với mọi i=1, 2,...,n. Tuy nhiên, điều ngược lại không đúng.
Ví dụ 2.2.1.Lấy S(111,1, , ), A ={(0, 0,1,1 , 0,1, 0,1 , 1, 0, 0,1) ( ) ( )}.
Khi đó, A1:0 = {(0, 0,1,1 , 0,1, 0,1) ( )}=CA1:0 và A1:1={(1, 0, 0,1)}=CA1:1 suy ra A
là 1 – nén.
Tương tự, độc giả có thể kiểm tra A là i – nénvới mọi i nhưng không là nén vì (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
( ) ( ) ( )
{ 0, 0,1,1 , 0,1, 0,1 , 0,1,1, 0 }
CA = ≠ A.
Như vậy, nếu A là i – nén thì chưa chắc A là nén.
Định lý 2.2.4. Cho n≥3, A là bộ phận trong mức hạng kcủa S k k( 1, ,2...,kn), A
là i – nén với mọi i∈1,n, a=(a1,...,an), b=(b1,...,bn), a = b =k a, <b và bn =0 hoặc an =kn. Khi đó, nếu b∈A thì a∈A.
Chứng minh định lý 2.2.4.
Nếu b∈A mà tọa độ hai vectơ a b, giống nhau ở một thành phần thứ i nào đó thì a∈A (vì A i – nén). Do đó, ta chỉ cần xây dựng một dãy các vectơ cùng hạng từ
a đến b mà hai vectơ liên tiếp nhau trong dãy có tọa độ giống nhau ở một thành phần thứ inào đó. Dãy vectơ đó được xây dựng như sau.
Đầu tiên, xét trường hợp an =kn.
Nếu a1=b1 thì dãy a<b là dãy cần tìm, ta chỉ xét a1<b1.
Nếu ai =0 với mọi 2≤ ≤ −i n 1, vì kn+ − ≥a1 b1 0 nên dãy vectơ cần tìm là
( 1, 0,..., 0, n) ( 1, 0,..., 0, n 1 1) ( 1,..., n)
a= a k < b k + −a b < =b b b . Nếu tồn tại 2≤ ≤ −i n 1để ai >0. Khi đó
( ) ( / / )
1, 2,..., n 1 1, 2,..., n 1, n
a= a a a < a + a a − a , trong đó / /
2,..., n1
a a − được chọn sao cho
/ /
1 2 ... n 1 1 1 2 ... n 1
a +a + +a − = + +a a + +a −
và ( / / )
2,..., n1
a a − xuất hiện sớm nhất có thể trong thứ tự từ điển. Nếu a1+ =1 b1 thì ( ) ( / / ) ( ) 1, 2,..., n 1, 2,..., n 1, n 1,..., n a= a a a < b a a − a ≤ b b =b là dãy cần tìm. Nếu a1+ <1 b1, nếu các / / 2,..., n1
a a − đều bằng 0 thì với lập luận trên ta cũng được dãy vectơ cần xây dựng, nếu có /
0
i
a > ta lập lại quá trình xuất hiện / / 2,..., n 1 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
a a − thì sau tối đa b1−a1 lần sẽ xuất hiện dãy vectơ cần xây dựng. (*)
Trong trường hợp bn =0, áp dụng lập luận ở (*) cho hai vectơ
( 1 1 )
' ,..., n n
b = k −b k −b và a'=(k1−a1,...,kn −an)
ta được dãy các vectơ cùng hạng từ 'b đến 'a sao cho hai vectơ liên tiếp nhau trong dãy, sẽ có tọa độ giống nhau ở một thành phần thứ i nào đó. Khi đó, các phần bù của dãy vectơ này chính là dãy vectơ từ ađến bcần xây dựng.
Định lý 2.2.5. Cho V , W là các bộ phận trong mức hạng kcủa S k k( 1, ,2...,kn),
V là i – nénvới mọi 1,i∈ n, ∆ ⊆V W . Khi đó, tồn tại bộ phận U trong mức hạng k của S k k( 1, ,2 ...,kn), U = W thỏa của S k k( 1, ,2 ...,kn), U = W thỏa (C ) ∆ V ⊆U Chứng minh định lý 2.2.5. Nếu V là nén tức V =CV thì U chính là W cần tìm. Ta chỉ xét trường hợp V không nén tức V ≠CV .
Suy ra V ≠Sk, với Sk ={x∈S k k( 1, ,2...,kn) x =k} là tập tất cả các vectơ size k
thuộc S k k( 1, ,2...,kn)
Khi đó, tồn tại a∈Sk, a∉V .
Gọi a=(a1,...,an) là vectơ đầu tiên không thuộc V ,
( 1,..., n)
b= b b là vectơ cuối cùng của V .
Vì V không nén nên aphải đứng trước b(trong thứ tự từ điển) tức a<b. Theo định lý 2.2.4, bn >0 và an <kn.
Đặt b*=(b1,...,bn− ∈ ∆ ⊂1) V W , khi đó b*∉ ∆(V \{ }b ). Thật vậy, Nếu xlà vectơ thỏa x =k b, ∈ ∆{ }x thì xphải là một trong nvectơ
(b1+1,b2,...,bn−1,bn−1), (b b1, 2+1, ,...,b3 bn−1,bn−1 ,) …,
(b1,...,bn−2,bn−1+1,bn−1 ,) b=(b1,...,bn−1,bn). Rõ ràng trong nvectơ ấy, blà vectơ đầu tiên (trong thứ tự từ điển).
Do đó, *b nằm trong bóng ∆V chỉ có thể có được được từ vectơ bmà không thể từ vectơ nào khác. Nói cách khác
{ }
( )
* \
b ∉ ∆ V b . Đặt V*=(V \{ }b )U{ }a ,
a*=(a1,...,an−1) nếu an >0. Định nghĩa { } ( \ * ) { }* , nêu 0 * , khác n b a a > = U W W W Ta chứng minh * * ∆V ⊂W , lưu ý rằng ∆V *= ∆(V \{ }b )U∆{ }a .
Ta có, ∆ ⊂V W kéo theo ∆(V \{ }b )⊂W nhưng b*∉ ∆(V \{ }b ) hay
{ }
( \ b ) ( \{ }b* ) *
∆ V ⊂ W ⊂ W .
Do đó, chỉ cần chứng minh ∆{ }a ⊂W * thì ∆V *⊂W *.
Để làm điều này, lấy c∈ ∆{ }a tùy ý, ta phải chứng minh c∈W *. Nếu an =0 thì (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
( 1,..., i 1,..., n1, 0)
c= a a − a −
với 1≤ ≤ −i n 1 nào đó.
Khi ấy c∈ ∆{ }d , với d =(a1,...,ai −1,...,an−1,1) là vectơ đứng trước a. Do alà vectơ đầu tiên không thuộc V nên d∈V hay
{ } *
c∈ ∆ d ⊂ ∆ ⊂V W W= . Nếu an >0, tất nhiên *a ∈W *, ta chỉ xét c≠a*∈W *.
Tất nhiên không xảy ra trường hợp ai =0 với mọi 1≤ ≤ −i n 1 vì nếu đúng như vậy thì c=a*. Khi đó,
( 1,..., i 1,..., n 1, n)
c= a a − a − a
với 1≤ ≤ −i n 1 nào đó và ai >0.
Cũng như lập luận trên, ta có c∈ ∆{ }d , với d =(a1,...,ai −1,...,an−1,an+1) là vectơ đứng trước a.
Do đó, d∈V và c∈ ∆{ }d ⊂ ∆ ⊂V W .
Vì W *=(W \{ }b* )U{ }a* , c≠a*, cho nên nếu c≠b* thì c∈W *. Điều này là đúng vì b*∉ ∆{ }a . Thật vậy, nếu b*∈ ∆{ }a thì
( 1 1 ) * ,..., i 1,..., n , n b = a a − a − a hay ( 1,..., i 1,..., n1, n 1) b= a a − a − a + đứng sau a=(a1,...,an), vô lý! Vậy, b*∉ ∆{ }a tức c∈W *. Từ cả hai trường hợp trên suy ra
* *
∆V ⊂W
Bây giờ, ta chứng minh
{ }
( ) { }
*= \ b U a
V V
là i – nén với mọi i.
Lấy tùy ý 1,i∈ n, d∈1,ki, ta chứng minh ( ) ( * : ) ( *): i d i d C V = V . Nếu ai ≠d b, i ≠d thì (( *): ) i d: i d: ( *): i d i d C V =CV =V = V . Nếu ai =d b, i ≠d thì ( )* : i d: { } i d = U a
V V , nhưng a là vectơ đầu tiên không thuộc V nên mọi vectơ trước a có thành phần thứ i là dphải thuộc V và phải thuộc