Tập hữu hạn nphần tử S ={1, 2,...,n} đôi khi còn được gọi là tập đơn bội.
Tập đa bội được hiểu một cách nôm na là tập hợp mà các phần tử được lập lại nhiều lần. Chẳng hạn như tập hợp 1 2 1,1,...,1, 2, 2,..., 2,..., , ,..., n k k k M n n n = 1 2 3 14 2 43 14 2 43
có phần tử 1 được lập lại k1 lần, phần tử 2 được lập lại k2 lần, …, phần tử nđược lập lại kn lần.
Để tường minh, ta sẽ nhìn nhận tập hợp theo một mô hình khác.
Cho S ={1, 2,3,...,n}, gọi p p1, 2,...,pn là các số nguyên tố đôi một khác nhau. Đặt 1 2... n i n i m=∏p = p p p , Khi đó, mọi ước số tự nhiên của mcó dạng
1 2
1t 2t ... tn
n
l = p p p với ti∈{ }0,1 .
Như vậy ước số l của m có thể được đại diện bằng chuỗi nhị phân t t1 2 ...tn, chuỗi này ứng với một tập hợp con của S.
Điều đó có thể tóm gọn như sau:
{ } 1 2 1 2 1, 2,3,..., t t ... tn A n A⊂ =S n ↔ =l p p p trong đó i∈A nếu ti =1.
Rõ ràng, A⊂ B khi và chỉ khi lA là ước của lB, quan hệ bao hàm trong tập hợp tương ứng với quan hệ chia hết của vành các số tự nhiên.
Ví dụ 2.1.1. Với n=3, các tập hợp con của S là ∅, 1 , 2 , 3 , 1, 2 , 1,3 ,{ } { } { } { } { } { } {2,3 , 1, 2,3 } tương ứng với các ước số của p p p1 2 3 là 1,p p p p p p p1, 2, 3, 1 2, 1 3,
2 3, 1 2 3
p p p p p .
Ta có thể đồng nhất họ tất cả các tập con của S với tập tất cả các ước số của một số tự nhiên m nào đó, đồng nhất quan hệ bao hàm của tập hợp với quan hệ chia hết của
số tự nhiên. Lưu ý rằng, m trong trường hợp này không có ước là số chính phương khác 1.
Bây giờ, giả sử mlà một số tự nhiên bất kỳ mà
1 2
1k 2k ... kn
n
m= p p p ,
trong đó ki là các số nguyên dương, p p1, 2,...,pn là các số nguyên tố đôi một khác nhau.
Khi đó, ước số tự nhiên của mcó dạng
1 2
1x 2x ... xn
n
l = p p p với xi∈{0,1,...,ki}, 1≤ ≤i n. Rõ ràng, số tự nhiên mtương ứng với tập
1 2 1, 1,..., 1, 2, 2,..., 2,..., , ,..., n n n n k k k p p p p p p p p p 1 4 2 4 3 1 4 2 4 3 1 4 2 4 3 còn ước số lcủa mtương ứng với tập (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
1 2 1, 1,..., 1, 2, 2,..., 2,..., , ,..., n n n n x x x p p p p p p p p p 1 4 2 4 3 1 4 2 4 3 1 4 2 4 3 .
Như vậy, độc giả có thể xem như mlà tập đa bội, các ước nguyên dương của m là các tập con của nó, quan hệ bao hàm của tập đa bội là quan hệ chia hết của số nguyên.
Với 1 2
1k 2k ... kn
n
m= p p p , trong đó p p1, 2,...,pn là các số nguyên tố đôi một khác nhau và k k1, 2,...,kn là các số nguyên dương, độc giả có thể dễ dàng chứng minh được tập U m( )= ∈{l ¥ m lM} gồm tất cả các ước nguyên dương của m cùng với quan hệ chia hết lập thành một poset có hạng với hàm hạng
( ) 1 2 ... n
trong đó 1 2
1x 2x ... xn
n
l = p p p là ước của m.
Thật ra, ta không cần biết chính xác các số nguyên tố p p1, 2,...,pn. Cái mà ta quan tâm là số mũ của các pi. Trong trường hợp này ta có thể xem như m là bộ
( 1 2..., n)
m≡ k k, , k , các tập con của nó (tức là các ước nguyên dương của m) là các bộ
( 1 2..., n)
x= x x, , x , trong đó 0≤ ≤xi ki, xi∈¥ với mọi i∈1,n, và x=(x x1, ,2 ...,xn) chia hết y=(y y1, ,2...,yn) (hay x là tập con của y) nếu xj ≤ yj với mọi j∈{1, 2,...,n}.
Trong ngôn ngữ đại số, x=(x x1, ,2...,xn) là một vectơ trong không gian n chiều. Chính vì vậy, ta xem tập con của tập đa bội m là một vectơ.
Khi đó poset U m( )= ∈{l ¥ m lM} có thể đồng nhất với tập S k k( 1, ,2...,kn) gồm tất cả các vectơ x=(x x1, ,2...,xn), trong đó xi ≤ki ∀ ∈i 1,n tức là
( 1 2..., n) { ( 1, 2,..., n) i i 1, }
S k k, , k = x= x x x x ≤ ∀ ∈k i n
Vấn đề lúc này là trang bị cho tập các vectơ cùng hạng của S k k( 1, ,2...,kn) một thứ tự tuyến tính để nó lập thành một k – poset.
Định nghĩa 2.1.1. Cho poset M =S k k( 1, ,2...,kn).
{ : }
k
S = x∈M x =k được gọi là mức hạng kcủa M .
( 1, 2, , n) k
x= x x K x ∈S được gọi là nhỏ hơn y=(y y1, 2,K ,yn)∈Sk theo thứ tự từ điển nếu xi < yi với iđầu tiên mà xi ≠ yi, ký hiệu x<L y.
Nếu không có gì nhầm lẫn, từ nay ta viết x< y thay x<L y. Nếu A là bộ phận trong mức hạng k thì bóng của A là
( ) ( )
{x x x1 2...,xn r x x k 1, (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
tồn tại i≤n sao cho (x x1, ,2...,xi +1,...,xn)∈A}
Nếu A là bộ phận trong mức hạng kthì tập gồm A vectơ size kđầu tiên trong thứ tự từ điển được gọi là cái néncủa A, ký hiệu CA.