Tài liệu Khảo sát tính ổn định của hệ thống ppt

Tiêu chuẩn ổn định đại sốĐiều kiện cần  Điều kiện cần để hệ thống ổn định là tất cả các hệ số của phương Đieu kiện can trình đặc trưng phai khac 0 va cung dau... Tiêu chuẩn ổn định đại

Môn học

CƠ SỞ TỰ ĐỘNG

Biên so n: TS Hu nh Thái Hồng

B mơn đi u khi n t đ ng Khoa i n – i n T

i h c Bách Khoa TPHCM Email: hthoang@hcmut.edu.vn Homepage: www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/

Gi ng viên: HTHồng, NVH o, N Hồng, BTHuy n, HHPh ng, HMTrí

Chương 4

KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG

 Khái niệm ổn định

Nội dung chương 4

 Khai niệm on định

 Tiêu chuẩn ổn định đại số

 Điều kiện cần

Ti â h å R h

 Tiêu chuẩn Routh

 Tiêu chuẩn Hurwitz

 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)

 Khái niệm về QĐNS

 Phương pháp vẽ QĐNS

 Xét ổn định dùng QĐNS

 Xet on định dung QĐNS

 Tiêu chuẩn ổn định tần số

 Tiêu chuẩn ổn định Bode

 Ti â h å å đị h N i t

 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist

åå Khái niệm ổn định

Khái niệm ổn định

Định nghĩa ổn định BIBO

 Hệ thống được gọi là ổn định BIBO (Bounded Input BoundedOutput) nếu đáp ứng của hệ bị chặn khi tín hiệu vào bị chặn

Hệ thống

Output) neu đap ưng cua hệ bị chặn khi tín hiệu vao bị chặn

Khái niệm ổn định

Cưc và zero

m m

b b

b b

 Cho hệ thống tự động có hàm truyền là:

n n

A( ) 1

n n

n n

m m

m m

a s

a s

a s

a

b s b

s b s

b s

U

s

Y s

1

1 1

0

)(

)

()

(





n n

n n

a s

a s

a s

a s

A   1   1 

1 0

)

m m

m m

b s b

s b s

b s

B   1   1 

1 0

)

tử số hàm truyền

 Zero: là nghiệm của tử số hàm truyền, tức là nghiệm của phươngtrình B (s) = 0 Do B (s) bậc m nên hệ thống có m zero ký hiệu là z i,

i =1 2 m

 Cực: (Pole) là nghiệm của mẫu số hàm truyền, tức là nghiệm củaphương trình A (s) = 0 Do A (s) bậc n nên hệ thống có n cực ký

i =1,2,…m

Khái niệm ổn định

Giản đồ cưc Giản đồ cưc zero zero

 Giản đồ cực – zero là đồ thị biểu diễn vị trí các cực và các zero

Gian đo cực Gian đo cực zero zero

của hệ thống trong mặt phẳng phức

Khái niệm ổn định

Điều kiện ổn định

 Tính ổn định của hệ thống phụ thuộc vào vị trí các cực

Khái niệm ổn định

(

)()

()

(

t t

y

t u t

t

Cx

B Ax

x

Y ht (s)

0)

()(

1 G

Phương trình đặc trưng Phương trình đặc trưng

0)

()(

1 G s H s  dets I  A  0

å å á

Tiêu chuẩn ổn định đại số

Tiêu chuẩn ổn định đại số

Điều kiện cần

 Điều kiện cần để hệ thống ổn định là tất cả các hệ số của phương

Đieu kiện can

trình đặc trưng phai khac 0 va cung dau

 Thí dụ: Hệ thống có phương trình đặc trưng:

25

4

Không ổn địnhKhông ổn định

Ch k á l ä đ

01

25

4  s  s  s  

Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh

Qui tắc thành lập bảng Routh

 Cho hệ thống có phương trình đặc trưng:

Qui tac thanh lập bang Routh

01

1 1

a s

a s

a s

a0s  a1s   a n1s  a n  0

 Muốn xét tính ổn định của hệ thống theo tiêu chuẩn Routh, trướctiên ta thành lậpäp bảng Routh g theo qui tắc:q

 Bảng Routh có n+1 hàng

 Hàng 1 của bảng Routh gồm các hệ số có chỉ số chẳn

 Hàng 2 của bảng Routh gồm các hệ số có chỉ số lẻ

 Phần tử ở hàng i cột j của bảng Routh (i  3) được tính theo

â thứ

công thức:

1 , 1 1

Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh

Dang bảng Routh

1 , 1 1



 c i



1 , 1

Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh

Phát biểu tiêu chuẩn

 Điều kiện cần và đủ để hệ thống ổn định là tất cả các phần tử nằm ở cột 1 của bảng Routh đều dương Số lần đổi dấu của các

Phat bieu tieu chuan

phần tử ở cột 1 của bảng Routh bằng số nghiệm của phương trìnhđặc trưng nằm bên phải mặt phẳng phức

Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh

Thí du 1

 Xét tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng là:

Thí dụ 1

01

25

4  s  s  s  

s

 Giải: Bảng Routh

 Kết luận: Hệ thống ổn định do tất cả các phần tử ở cột 1 bảng

 Ket luận: Hệ thong on định do tat ca cac phan tư ơ cột 1 bangRouth đều dương

Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh

Thí du 2

 Xét tính ổn định của hệ thống có sơ đồ khối:

Thí dụ 2

50 )

3 (

s s

s G

1 )

(s 

H

( ) ( )

 Giải: Phương trình đặc trưng của hệ thống:

2

) (



s

s H

0 )

( ).

) 5 )(

3 (

s s

s



0 50

) 2 )(

5 )(

3 ( s  s2  s  s   

s



Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh

Thí du 2 (tt)

 Bảng Routh

 Kết luận: Hệ thống không ổn định do tất cả các phần tử ở cột 1ä ä g g ị p äbảng Routh đổi dấu 2 lần

Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh

1 (

s s

K s

G

 Giải: Phương trình đặc trưng của hệ thống là:g ë g ä g

0)

2)(

1(

s s

02

Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh

Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh

Trường hơp đặc biệt 1

 Nếu bảng Routh có hệ số ở cột 1 của hàng nào đó bằng 0, các hệsố còn lại của hàng đó khác 0 thì tạ g thay hệ số bằng 0 ở cột 1 bởi y ä g ä số  dương nhỏ tùy ý, sau đó quá trình tính toán được tiếp tục

Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh

Thí du 4

 Xét tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng là:

Thí dụ 4

0 3

8 4

Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh

Trường hơp đặc biệt 2

 Nếu bảng Routh có tất cả các hệ số của hàng nào đó bằng 0:

 Thành lập đa thức phuThanh lập đa thưc phụ từ các hệ số của hàng trước hàng có tấttư cac hệ so cua hang trươc hang co tatcả các hệ số bằng 0, gọi đa thức đó là A0(s).

 Thay hàng có tất cả các hệ số bằng 0 bởi một hàng khác có

Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh

Thí du 5

 Xét tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng là:

Thí dụ 5

0 4 7

8 8

Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh

Thí du 5 (tt)

 Đa thức phụ:

Thí dụ 5 (tt)

4 4

 Phương trình đặc tính có 2 nghiệm nằm trên trục ảo

 Số nghiệm nằm bên trái mặt phẳng phức là 5 – 2 = 3

Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Hurwitz

Qui tắc thành lập ma trận Hurwitz

 Cho hệ thống có phương trình đặc trưng:

Qui tac thanh lập ma trận Hurwitz

01

1 1

a s

a s

a s

a0s  a1s   a n1s  a n  0

 Muốn xét tính ổn định của hệ thống theo tiêu chuẩn Hurwitz,trước tiên ta thành lậpäp ma trận Hurwitz ä z theo qui tắc:q

 Ma trận Hurwitz là ma trận vuông cấp n n

 Đường chéo của ma trận Hurwitz là các hệ số từ a1 đến a n

 Hàng lẻ của ma trận Hurwitz gồm các hệ số có chỉ số lẻ theothứ tự tăng dần nếu ở bên phải đường chéo và giảm dần nếu ởbên trái đường chéo

ben trai đương cheo

 Hàng chẳn của ma trận Hurwitz gồm các hệ số có chỉ số chẳn

theo thứ tự tăng dần nếu ở bên phải đường chéo và giảm dầnnếu ở bên trái đường chéo

Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Hurwitz

Dang ma trận Hurwitz

a

a a

a a





0 0

0

5 3

1

6 4

2 0

Phát biểu tiêu chuẩn

 Điều kiệnä cần và đủ để hệ thống ổn định làä g ị tất cả các định thức ị

Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Hurwitz

Thí du 1

 Xét tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng là:

0 2 3

0 3 1

0 2 4

0

0

0

2 0

3 1

a a

a a

1 3

4 3

1

2 4

2 0

3 1



a a

a a

0

a a

20 10

2 3

1

2

4 2 0

0 0

2 0

3 1

3 3

1

2 0

3 1



a a

a

a a a

a

a a

a a

3 1

 Kết luận: Hệ thống ổn định do các định thức đều dương

Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Hurwitz

Các hệ quả của tiêu chuẩn Hurwitz

 Hệ bậc 2 ổn định nếu phương trình đặc trưng thỏa mãn điều kiện:

2 0 0

,0

3 0 2

1a a a a

0

3 0 2

1a a a a

i

a i

áá Phương pháp quỹ đạo nghiệm số

Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)

Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)

Qui tắc vẽ QĐNS

 Muốn áp dụng các qui tắc vẽ quỹ đạo nghiệm số, trước tiên taphải biến đổi tương đương phương trình đặc trưng về dang:

0)

s

N

)(

)(

)

()

(0

s D

s

N K s

G 

Đặt:

)(

0 )

Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)

Qui tắc vẽ QĐNS

 Qui tắc 1: Số nhánh của quỹ đạo nghiệm số = bậc của phươngtrình đặc tính = số cực của G0(s) = n

 Qui tắc 3: Quỹ đao nghiệm số đối xứng qua truc thưc

 Qui tac 3: Quy đạo nghiệm so đoi xưng qua trục thực

 Qui tắc 4: Một điểm trên trục thực thuộc về quỹ đạo nghiệm số

nếu tổng số cực và zero của (s) bên phải nó là một số lẻ

Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)

Qui tắc vẽ QĐNS (tt)

 Qui tắc 5: : Góc tạo bởi các đường tiệm cận của quỹ đạo nghiệmsố với trục thực xác định bởi :

 Qui tắc 6: : Giao điểm giữa các tiệm cận với truc thưc là điểm An m

m n



 (p i và z i là các cưc

Q i é 7 Đi å ù h h ä ( á ù) û õ đ hi ä á è

m n

z p

m n

i i

và các zero của G0(s) )

 Qui tắc 7: : Điểm tách nhập (nếu có) của quỹ đạo nghiệm số nằmtrên trục thực và là nghiệm của phương trình:

Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)

Qui tắc vẽ QĐNS (tt)

 Qui tắc 8: : Giao điểm của quỹ đạo nghiệm số với trục ảo có thểxác định bằng cách áp dụng tiêu chuẩn Routh–Hurwitz hoặc thayị g p ï g ë y

s=j vào phương trình đặc trưng

Q i t é 9 G ù á h ù û õ đ hi ä á i h ù

 Qui tắc 9: Góc xuất phát của quỹ đạo nghiệm số tại cực phức p j

được xác định bởi:

) (

i j

i

i j

1 1

0

) arg(

) arg(

180



Dang hình hoc của công thức trên là:

j = 1800 + (góc từ các zero đến cực p j )

 (góc từ các cưc còn lai đến cưc p (goc tư cac cực con lại đen cực p j j ))

Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)

Thí du 1

 Vẽ QĐNS của hệ thống sau đây khi K=0+

)3)(

2(

)(







s s

s

K s

G

 Giải:

))(

(

 Phương trình đặc trưng của hệ thống:

0)

3)(

2(

s

 Các zero: không có

Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)

)1(

3

0

3

)12

()

12

-l m

3

0)]

3()2(0[zero

OA cực

1)(



30

3( 2  

Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)

Thí du 1 (tt)

 Giao điểm của QĐNS với trục ảo:

Cách 1: Dùng tiêu chuẩn Hurwitz

Điều kiện ổn định:

Cach 1: Dung tieu chuan Hurwitz

65

1

j s

s





s3   j 6

Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)

6

K



Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)

Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)

Thí du 2

 Vẽ QĐNS của hệ thống sau đây khi K=0+

)208

s

K s

(

)208

s

 Các cực: p1  0 p2,3   4  j 2

Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)

)1(

3

0

3

)12

()

12

-l m

3

) 0 ( )]

2 4

( )

2 4

( 0 [ zero

OA cực

3 0

s (hai điểm tách nhập)

Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)

0)

(20)

(8)

Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)

Thí du 2 (tt)

 Góc xuất phát của QĐNS tại cực phức p2:

)]

()

Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)

Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)

Thí du 3

 Vẽ QĐNS của hệ thống sau đây khi K=0+

)208

)(

3(

)1

()

s s

s

K s

G

 Giải:

))(

(

 Phương trình đặc trưng của hệ thống:

0)

(

1 G(s)  0  1 K(s 1)  0 (1)

)208

)(

3(

s s

 Các cực: p1  0 p2   3 p3,4   4  j 2

 Các zero: z1   1

Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)

Thí du 3 (tt)

3 )

1 2

( )

1 2

l





1) (

) 1 (

3

1

4

) 1 2

( )

1 2

-l m

4

) 1 ( )]

2 4

( ) 2 4

( ) 3 ( 0 [

OA cực

 Điểm tách nhập:

(1) 

) 1 (

) 20 8

60 88

77 26



d dK

0

)1

(

) 1

s

    1 điểm tách nhập)  0

Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)

Thí du 3 (tt)

 Giao điểm của QĐNS với trục ảo:

(1)  s4  11s3  44s2  ( 60  K)s  K  0 (2)

(1)  s  11s  44s  ( 60  K)s  K  0 (2) Thay s=j vào phương trình (2):

0 )

60 ( 44

60 ( 11

0 44

3

2 4

893 , 5

K



0

)1

314 ,

208

)(

3(

s s



Vậy giao điểm cần tìm là: s   j5 , 893 HSKĐ giới hạn là: K  322

Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)

Thí du 3 (tt)

 Góc xuất phát của QĐNS tại cực phức p3:

)(

     

)906

,1164

,153(

3,146

Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)

Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)

Thí du 4

 Cho hệ thống điều khiển có sơ đồ khối như sau:

)39

(

10)

s G

s

K K

biet rang dK P / ds=0 co 3 nghiệm la 3, 3, 1.5

 Khi K P P =270,, K I I = 2.7 hệ thống có ổn định hay không?ä g ị y g

Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)

Thí du 4 (tt)

 Giải:

 Phương trình đặc trưng của hệ thống:

 Phương trình đặc trưng cua hệ thong:

0)

()(

9

107

3)(

9(

Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)

Thí du 4 (tt)

 Tiệm cận:

0) (l

2 / )

1 2

( )

1 2

1) (l

2

/

0) (l

2

/ 1

3

) 1 2

( )

1 2

l

9)

0()]

3(

)3(

9[



2

91

3

)0()]

3(

)3(

9[zero

2

s s

QĐNS có hai điểm tách nhập trùng nhau tai 3

QĐNS co hai điem tach nhập trung nhau tại 3

Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)

Thí du 4 (tt)

 Góc xuất phát của QĐNS tại cực phức p2:

)]

()

[ ()

3arg(

))9(3[arg(

)03

1800 tg 1



  9 0

2  169



Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)

Thí d 4 (tt)

 Khi K I =2.7, QĐNS của

hệ thống nằm hoàn

toàn bên trái mặt phẳng

phức khi K P =0+,

do đó hệ thống ổn định

khi K I =2.7, K P =270

å å à á

Tieâu chuaån oån ñònh taàn soá

Nhắc lại: Các thông số quan trọng của đặc tính tần số

 T à á ét bi â ( ) l ø t à á ø t i đ ù bi â đ ä û đ ë tí h t à

 Tần số cắt biên (c): là tần số mà tại đó biên độ của đặc tính tầnsố bằng 1 (hay bằng 0 dB)

1)

(  

  ( )   rad

 Độ dự trữ biên (GM – Gain Margin):

)(

 Độ dự trữ pha ( M – Phase Margin):

Tieâu chuaån oån ñònh taàn soá

Bieu ño Bode Bieu ño Nyquist

Tiêu chuẩn ổn định Nyquist

 Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, biết đặc tính tần số của hệ hở

G (s), bài toán đặt ra là xét tính ổn định của hệ thống kín G k (s).

 Tiêu chuẩn Nyquist: Hệ thống kín G k (s) ổn định nếu đường congNyquist của hệ hở G (s) bao điểm (1, j0) l/2 vòng theo chiềudương (ngược chiều kim đồng hồ) khig ( g ï g )  thay đổi từy 0 đến +,,trong đó l là số cực nằm bên phải mặt phẳng phức của hệ hở G (s)

Tiêu chuẩn ổn định Nyquist

Tiêu chuẩn ổn định Nyquist –– Thí dụ 1 Thí dụ 1

 Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị trong đó hệ hở G (s) có đường

 Cho hệ thong hoi tiep am đơn vị, trong đo hệ hơ G (s) co đươngcong Nyquist như hình vẽ Biết rằng G (s) ổn định Xét tính ổnđịnh của hệ thống kín

Tiêu chuẩn ổn định Nyquist

Tiêu chuẩn ổn định Nyquist –– Thí dụ 1 (tt) Thí dụ 1 (tt)

cong Nyquist G (j) của hệ hở không bao điểm (1, j0)

 Trường hợp : G(j) không bao điểm (1, j0)  hệ kín ổn định.

 Trường hợp : G(j) qua điểm (1, j0)  hệ kín ở biên giới ổn

định;

 Trường hơp : G(j) bao điểm (1 j0)  hệ kín không ổn định

 Trương hợp : G(j) bao điem ( 1, j0)  hệ kín khong on định.

Tiêu chuẩn ổn định Nyquist

Tiêu chuẩn ổn định Nyquist –– Thí dụ 2 Thí dụ 2

 H õ đ ù h i ù tí h å đị h û h ä th á h ài ti á â đơ ị bi át

 Hãy đánh giá tính ổn định của hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, biếtrằng hàm truyền hệ hở G (s) là:

) 1 )(

1 )(

1 (

)

(

3 2



s T s

T s

T s

K s

G

) 1 )(

1 )(

1 ( T1s  T2s  T3s 

Tiêu chuẩn ổn định Nyquist

Tiêu chuẩn ổn định Nyquist –– Thí dụ 2 (tt) Thí dụ 2 (tt)

Vì G (s) không có cực nằm bên phải mặt phẳng phức, do đó theotiêu chuẩn Nyquist hệ kín ổn định nếu đường cong Nyquist

G (j) của hệ hở không bao điểm (1, j0)

 Trường hợp : G(j) không bao điểm (1, j0)  hệ kín ổn định

 Trường hợp : G(j) qua điểm (1, j0)  hệ kín ở biên giới ổnđịnh;

 Trường hơp : G(j) bao điểm ( 1 j0)  hệ kín không ổn định

 Trương hợp : G(j) bao điem (1, j0)  hệ kín khong on định

Tiêu chuẩn ổn định Nyquist

Tiêu chuẩn ổn định Nyquist –– Thí dụ 3 Thí dụ 3

Cho hệ thống hở không ổn định có đặc tính tần số như các hìnhvẽ dưới đây Hỏi trường hợp nào hệ kín ổn định

Tiêu chuẩn ổn định Nyquist

Tiêu chuẩn ổn định Nyquist –– Thí dụ 3 (tt) Thí dụ 3 (tt)

Cho hệ thống hở không ổn định có đặc tính tần số như các hìnhvẽ dưới đây Hỏi trường hợp nào hệ kín ổn định

Tiêu chuẩn ổn định Nyquist

Tiêu chuẩn ổn định Nyquist –– Thí dụ 3 (tt) Thí dụ 3 (tt)

Cho hệ thống hở không ổn định có đặc tính tần số như các hìnhvẽ dưới đây Hỏi trường hợp nào hệ kín ổn định

Tiêu chuẩn ổn định Nyquist

Tiêu chuẩn ổn định Nyquist –– Thí dụ 4 Thí dụ 4

h h h á h û ù h ø à đ l ø

 Cho hệ thống hở có hàm truyền đạt là:

(K>0, T>0, n>2) n

T

K s

G

) (

G

) 1 (

) (

)

Tiêu chuẩn ổn định Nyquist

Tiêu chuẩn ổn định Nyquist –– Thí dụ 4 (tt) Thí dụ 4 (tt)

å à

 Biểu đồ Nyquist:

 Điều kiện ổn định: đường cong Nyquist không bao điểm (1 j0)

 Đieu kiện on định: đương cong Nyquist khong bao điem ( 1,j0).Theo biểu đồ Nyquist, điều này xảy ra khi:

1)

( 

M (  )

Tieâu chuaån oån ñònh Nyquist

Tieâu chuaån oån ñònh Nyquist –– Thí duï 4 (tt) Thí duï 4 (tt)

Tiêu chuẩn ổn định Bode

 Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, biết đặc tính tần số của hệ hở

G (s), bài toán đặt ra là xét tính ổn định của hệ thống kín G k (s).

 Tiêu chuẩn Bode: Hệ thống kín G k (s) ổn định nếu hệ thống hở

G (s) có độ dự trữ biên và độ dự trữ pha dương:

0

GM 

địnhổn

thốngHệ

0