http://toanhocmuonmau.violet.vn ĐỀ THI HSG CỤM LẠNG GIANG NĂM HỌC 2012 - 2013 SỞ GD & ĐT BẮC GIANG CỤM LẠNG GIANG Mơn: Tốn Lớp 11 Thời gian làm bài: 180 phút ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi 24 tháng 02 năm 2013 Câu I: (2 điểm) Giải phương trình: 2 cos2 x + sin x cos x + 3π π − 4sin x + = 4 Cho tập hợp A = {0 , , , , , 5, , } Từ tập A lập số tự nhiên có chữ số khác đơi cho số số lẻ chữ số đứng vị trí thứ ln chia hết cho 6? Câu II: (2 điểm) n 5 Tìm hệ số số hạng khơng chứa x khai triển: P ( x ) = x + x ≠ biết rằng: x C41n+1 + C42n+1 + C43n +1 + + C42nn+1 = 232 − (n ∈ N ) * u u0 = 1; u1 = Tìm lim n n 3.2 un+ − 3un +1 + 2un = 0, ∀n ∈ N Cho dãy số (un ) xác định sau : Câu III: (1 điểm) Tìm giới hạn L = lim x →0 + x2 − − x x2 + x Câu IV: (3 điểm) Cho tam giác ABC điểm P nằm tam giác Hãy dựng tam giác cân đỉnh P có đáy song song với cạnh BC có đỉnh nằm hai cạnh AB, AC tam giác ABC cho trước Trong mặt phẳng (α ) cho tam giác ABC vng A, góc B = 600 , AB = a Gọi O trung điểm BC Lấy S mặt phẳng (α ) , cho SB = a SB ⊥ OA Gọi M điểm cạnh AB, mặt phẳng ( β ) qua M song song với SB OA, cắt BC, SC, SA N, P, Q Đặt x = BM ( < x < a ) a Chứng minh MNPQ hình thang vng b Tính diện tích hình thang theo a x Tìm x để diện tích lớn Câu V: (2 điểm) Ba số x, y, z theo thứ tự lập thành cấp số nhân; ba số x, y – 4, z theo thứ tự lập thành cấp số nhân; đồng thời x, y – 4, z – theo thứ tự lập thành cấp số cộng Hãy tìm x, y, z Cho a, b, c ∈ R Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm x3 + ax + bx + c = - HẾT Họ tên thí sinh: SBD: Lưu ý: + Học sinh không sử dụng tài liệu làm + Cán coi thi khơng giải thích thêm DeThiMau.vn http://toanhocmuonmau.violet.vn CÂU HƯỚNG DẪN CHẤM toán 11 NỘI DUNG ĐIỂM PT ⇔ (sin x + cos x ) 4(cos x − sin x ) − sin x − = s inx + cos x = ⇔ ( cos x − s inx ) − sin x − = + s inx + cos x = ⇔ x = − π 0.25 + kπ + ( s inx − cos x ) − sin x − = 0.25 (1) Đặt t = s inx − cos x ( t ≤ 2) t = −1 t = (loai) Khi phương trình (1) trở thành: t − 4t − = ⇔ x = k 2π π ⇔ Với t = −1 ta có s inx − cos x = −1 ⇔ sin x − = − x = 3π + k 2π π 3π Kết luận: Vậy phương trình có nghiệm x = − + kπ ; x = k 2π ; x = + k 2π I (2đ) 0.25 0.25 Gọi số cần tìm : n = a1 a a3 a a5 a6 Số n có tính chất : + Lẻ ⇒ a6 ∈ {1 ; ; ; } + a3 chia hết cho ⇒ a3 ∈ {0 ; 6} * Trường hợp : a3 = : a6 có cách a1 có cách Chọn chữ số cịn lại có A53 cách 0.25 0.25 ⇒ Có 4.6 A53 số * Trường hợp : a3 = a6 có cách chọn a1 có cách (a1 ≠ ; a1 ≠ a3 ; a1 ≠ a6) Chọn chữ số lại có A53 cách 0.25 ⇒ Có 4.5 A53 số Vậy : 4.6 A53 + 4.5 A53 = 2640 số + Xét khai triển (1 + x ) n +1 = n +1 ∑C k =0 0.25 x Với x = , ta có: k k n +1 C40n+1 + C41n+1 + C42n +1 + + C42nn+1 + C42nn++11 + C42nn++12 + + C44nn++11 = 24 n+1 Lại có: Cnk = Cnn− k , nên: C40n+1 + C41n+1 + C42n +1 + + C42nn+1 = C42nn++11 + C42nn++12 + + C44nn++11 Suy ra: ( C40n +1 + C41n +1 + C42n +1 + + C42nn+1 ) = 24 n +1 II 0.5 ⇒ C40n +1 + C41n +1 + C42n+1 + + C42nn+1 = 24 n ⇒ C41n +1 + C42n +1 + + C42nn+1 = 24 n − Theo đầu ta có: 24 n − = 232 − ⇔ 4n = 32 ⇔ n = 8 k 8 5 5 + Với n = , ta có: P ( x ) = x + = ∑ C8k x8−k = ∑ C8k 5k x8−2 k x k =0 x k =0 Số hạng không chứa x ứng với − 2k = ⇔ k = Kết luận: Vậy số hạng không chứa x C DeThiMau.vn 0.25 0.25 http://toanhocmuonmau.violet.vn + Ta có u0 = = −4 + 5.20 u1 = = −4 + 5.21 u2 = 16 = −4 + 5.22 u3 = 36 = −4 + 5.23 0.25 un = −4 + 5.2n , ∀n ∈ N * + Sử dụng phương pháp qui nạp chứng minh un = −4 + 5.2n , ∀n ∈ N số 0.5 hạng tổng quát (un ) un −4 + 5.2 = lim = lim n 3.2 3.2n n + lim Ta có: L = lim x →0 + Tính L1 = lim x →0 = lim x →0 III −4 +5 2n = 3 + x2 −1 − − x + x2 − − x lim = + 2 x →0 x2 + x x x x x + + + x2 − = lim x →0 x2 + x x →0 x ( x + 1) (1 + x ) + + x + 1 x ( x + 1) (1 + x ) + + x + 1 ( ( =0 0.25 2x (1 − x ) ( x + 1) (1 − x ) 0.25 x2 − − 2x = lim + Tính L2 = lim x →0 x →0 x2 + x x ( x + 1) = lim 0.25 + (1 − x ) ) + (1 − x ) + (1 − x ) + ) + Vậy L = L1 + L2 = IV + Phân tích: Giả sử ta dựng ∆PMN thỏa mãn điều kiện toán ta nhận thấy M N ảnh qua phép đối xứng trục , có trục đường thẳng d qua P vng góc với BC cho trước Do đó, ta có cách dựng + Cách dựng: - Dựng đường thẳng d qua P vng góc với BC - Dựng ảnh cạnh AC A ' C ' qua phép đối xứng trục d - Gọi M = AB ∩ A ' C ' Dựng N = Dd ( M ) Khi ta ∆PMN tam giác cần dựng thỏa mãn ycbt + Chứng minh: ta dễ dàng chứng minh ∆PMN tam giác cân P + Biện luận: Do AB A ' C ' cắt điểm M tốn ln có nghiệm hình DeThiMau.vn 0.25 = + (1 − x ) + 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 http://toanhocmuonmau.violet.vn Ta có ( β ) / / OA + OA ⊂ ( ABC ) ⇒ MN / / OA MN = ( β ) ∩ ( ABC ) 2a ( β ) / / SB ⇒ MQ / / SB + SB ⊂ ( SAB ) MQ = ( β ) ∩ ( SAB ) (1) 0.25 ( 2) 0.25 ( 3) + Tương tự: NP / / SB + Từ ( ) , ( 3) ta suy MQ / / NP / / SB ( 4) 0.25 Từ (1) , ( ) SB ⊥ OA ta suy MNPQ hình thang vng , đường cao 0.25 MN + Ta có S MNPQ = MN ( MQ + NP ) (5) + Tính MN Ta có ∆ABC nửa tam giác nên BC = AB = 2a Suy OA = BC = a MN / / OA ∆ABO nên ∆BMN ⇒ MN = BM = BN = x + Tính MQ: MQ / / SB ⇒ MQ AM SB a = ⇒ MQ = AM = (a − x) = (a − x) SB AB AB a 0.5 + Tính NP: NP CN SB.CN a ( 2a − x ) 2a − x = ⇒ NP = = = SB CB CB 2a x ( 4a − x ) 2b Thay kết tìm vào (5) ta S MNPQ = NP / / SB ⇒ + Tìm x để diện tích lớn x ( a − x ) x ( 4a − x ) = 12 Áp dụng BĐT Côsi cho số dương 3x, ( 4a − 3x ) , ta có: Ta có: S MNPQ = 0.5 x + 4a − x x ( 4a − x ) ≤ ≤ 4a a ⇒ S MNPQ ≤ 4a = 12 + Đẳng thức xảy ⇔ 3x = 4a − 3x ⇔ x = Vậy x = V 2a 2a S MNPQ đạt giá trị lớn 0.25 + Từ giả thiết tốn ta có hệ phương trình y = xz (1) ( 2) ( y − ) = xz DeThiMau.vn 0.25 http://toanhocmuonmau.violet.vn x = x + z = z = + Với y = ta có ⇔ x = xz = z = 0.25 + Kết luận: số x, y, z cần tìm x = 1, y = 2, z = x = 4, y = 2, z = + Xét hàm số f ( x ) = x + ax + bx + c hàm số liên tục R c + Ta có: lim ( x3 + ax + bx + c ) = lim x + + + = +∞ nên tồn số x →+∞ x →+∞ x x x dương α đủ lớn, ta có: f (α ) > a + Ta có: lim ( x3 + ax + bx + c ) = lim x + + x →−∞ x →−∞ a x b 0.25 b c + = −∞ nên tồn số âm x x β , cho β đủ lớn, ta có: f ( β ) < + Vì 0.25 0.25 0.25 f (α ) f ( β ) < hàm số f ( x ) liên tục đoạn [α ; β ] ⊂ R nên phương trình f ( x ) = có nghiệm thuộc (α ; β ) Tức phương trình x3 + ax + bx + c = ln có nghiệm với a, b, c ∈ R 0.25 Lưu ý: Trên hướng dẫn chấm sơ lược cách giải Nếu học sinh làm cách khác vận dụng hướng dẫn điểm DeThiMau.vn http://toanhocmuonmau.violet.vn Gọi số cần tìm : n = a1 a a3 a a5 a6 Số n có tính chất : + Lẻ ⇒ a6 ∈ {1 ; ; ; } + a3 chia hết cho ⇒ a3 ∈ {0 ; 6} - Trường hợp : a3 = : a6 có cách a1 có cách Chọn chữ số cịn lại có A53 cách ⇒ Có 4.6 A53 số - Trường hợp : a3 = a6 có cách chọn a1 có cách (a1 ≠ ; a1 ≠ a3 ; a1 ≠ a6) Chọn chữ số cịn lại có A53 cách ⇒ Có 4.5 A53 số Vậy : 4.6 A53 + 4.5 A53 = 2640 số DeThiMau.vn ... nghiệm với a, b, c ∈ R 0.25 Lưu ý: Trên hướng dẫn chấm sơ lược cách giải Nếu học sinh làm cách khác vận dụng hướng dẫn điểm DeThiMau.vn http://toanhocmuonmau.violet.vn Gọi số cần tìm : n = a1 a a3... 3x ⇔ x = Vậy x = V 2a 2a S MNPQ đạt giá trị lớn 0.25 + Từ giả thi? ??t tốn ta có hệ phương trình y = xz (1) ( 2) ( y − ) = xz DeThiMau.vn 0.25 http://toanhocmuonmau.violet.vn x = x... minh: ta dễ dàng chứng minh ∆PMN tam giác cân P + Biện luận: Do AB A ' C ' cắt điểm M toán ln có nghiệm hình DeThiMau.vn 0.25 = + (1 − x ) + 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 http://toanhocmuonmau.violet.vn