Đề thi học sinh giỏi toán THCS giải thưởng Lương Thế Vinh năm học: 2012 2013 môn Toán lớp 88002

PHÒNG GD – ĐT TP THỦ DẦU MỘT KỲ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN THCS GIẢI THƯỞNG LƯƠNG THẾ VINH NĂM HỌC: 2012-2013 MƠN TỐN: LỚP Thời gian làm : 120 phút (Không kể thời gian phát đề) Ngày thi : 30/3/2013 Bài 1: (3d) a) Phân tích đa thức thành nhân tử: (x+2)(x+3)(x+4)(x+5) – 24 a  b  c  b) Cho a,b,c thoả mãn:  2 a  b  c  2009 Tính A = a4 + b4 + c4 Bài 2: (3đ) a) Cho x,y,z thoả mãn: x + y + z = Tìm giá trị lớn B = xy + yz + xz 2x  m x 1   Tìm m để phương trình có nghiệm dương x 2 x 2 1 c) Cho a,b,c có tổng (a,b,c > 0) Chứng minh :    a b c b) Cho Phương trình: Bài 3(2đ) Cho tam giác ABC, phân giác đỉnh A cắt BC D, đoạn DB, DC lấy BE.BF AB ฀ ฀ điểm E F cho EAD Chứng minh  FAD  CE.CF AC Bài 4(2đ) Cho tam giác ABC, điểm D M di động AB cho AD = BM Qua M vẽ đường thẳng song song BC cắt AC E N Chứng minh : tổng DE + MN không đổi Hết ThuVienDeThi.com Giải Bài 1: (3d) a  b  c  a) Cho a,b,c thoả mãn:  2 a  b  c  2009 Tính A = a4 + b4 + c4 Cách 1: Ta có: a+b+c=0  a+b = -c  (a+b)2 – 2ab = c2  (a+b)2 – c2 = 2ab  (a+b+c)(a+b-c) = 2ab  = 2ab  a=0 b=0  Nếu a=0  b = -c b2 + c2 = 2009  b2 + b2 = 2009  2b2 = 2009  b= 2009 2009 c = 2 4 4 2009 2009 4 4    2009 (1) Do đó: A = a + b + c = 2  Nếu b=0  a = -c a2 + c2 = 2009  a2 + a2 = 2009  2a2 = 2009  a= 2009 2009 c = 2 2009 2009   20092 (2) 2 2 Từ (1) (2)  A = a4 + b4 + c4  2009 Do đó: A = a4 + b4 + c4 =  ThuVienDeThi.com Cách 2: Ta có: a2 + b2 + c2 = 2009  (a2 + b2 + c2 )2 = 20092  a4 +b4 +c4 + 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 = 20092  a4 +b4 +c4 + 2(a2b2 + b2c2 + c2a2 ) = 20092  a4 +b4 +c4 = 20092 - 2(a2b2 + b2c2 + c2a2 ) (1) Ta có: a2 + b2 + c2 = 2009  (a+b+c)2 - 2ab - 2ac - 2bc = 2009 2009  ab+ac+bc   ( a+b+c = 0) 20092  (ab+ac+bc )   a2b2  a2b2 + b2c2 + b2c2 + c2a2 2a2bc + + c2a2 + 2abc(a+b+c)  + 2b2ac + 2c2ab 20092  20092 20092   + + ( a+b+c = 0) 2009 (1)  a4 +b4 +c4 = 20092 -2 2009  a4 +b4 +c4  a2b2 b2c2 c2a2 Bài 2: (3đ) a) Cho x,y,z thoả mãn: x + y + z = Tìm giá trị lớn B = xy + yz + xz Cách 1: Ta có: (x-y)2 ≥ với x,y  R Tương tự : (y-z)2 ≥ , (z-x)2 ≥ với x,y,z  R Cộng vế bất đẳng thức ta được: x2 – 2xy + y2 – 2yz + z2 + z2 – 2zx + x2 ≥  2(x2 + y2 + z2 ) - 2(xy+yz+xy) ≥  (x2 + y2 + z2 ) - (xy+yz+xy) ≥  (xy+yz+xy) ≤ (x2 + y2 + z2 )  3(xy+yz+xy) ≤ (x2 + y2 + z2 ) + 2(xy+yz+xy)  3(xy+yz+xy) ≤ (x + y + z)2 =  (xy+yz+xy) ≤ Vậy B = đạt giá trị lớn Dấu “=” xảy x=y=x =1 Cách 2: Ta có: B = xy + yz + xz x + y + z = B = xy + z(x+y) = xy + [3-(x+y)](x+y) =xy + 3(x+y) – (x+y)2 = -x2 – y2 – xy + 3x + 3y ThuVienDeThi.com 2  y   3y  y  3  y  1   =  x     4  y    y 3   x  y  z 1 Dấu “=” xảy  x    x  y  z  Vậy giá trị lớn B x=y=z=1 b) Cho Phương trình: 2x  m x 1   Tìm m để phương trình có nghiệm dương x 2 x 2 Đk: x ≠  Ta được: (2x-m)(x+2) + (x-1)(x-2) = 3(x-2)(x+2)  2x2 + 4x – mx – 2m + x2 – 3x + = 3x2 – 12  (1-m)x = 2m – 14  x m   1 m  m    m  (loai )    m  m    Đề phương trình có nghiệm dương x >     m  (1)  m  m      1  m   m  +Với Đk x ≠  m   1 m ≠  m ≠ (2) Từ (1), (2) Vậy 1< m < m ≠ phương trình có nghiệm dương ThuVienDeThi.com .. .Giải Bài 1: (3d) a  b  c  a) Cho a,b,c thoả mãn:  2 a  b  c  2009 Tính A = a4 + b4 +... 2009   20092 (2) 2 2 Từ (1) (2)  A = a4 + b4 + c4  2009 Do đó: A = a4 + b4 + c4 =  ThuVienDeThi.com Cách 2: Ta có: a2 + b2 + c2 = 2009  (a2 + b2 + c2 )2 = 20092  a4 +b4 +c4 + 2a2b2 + 2b2c2... B = xy + z(x+y) = xy + [3-(x+y)](x+y) =xy + 3(x+y) – (x+y)2 = -x2 – y2 – xy + 3x + 3y ThuVienDeThi.com 2  y   3y  y  3  y  1   =  x     4  y    y 3   x  y  z 1 Dấu