PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO YÊN THÀNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2012- 2013 Môn : Toán – Lớp (Thời gian làm 120 phút) Câu Cho biểu thức: 2x x x4 P x x 2 x x 1 x x 1 a, Rút gọn biểu thức P b, Tìm giá trị x để P x Câu Giải phương trình sau: a, x 1 x b, x x 20 x x Câu a, Chứng minh với a < 1, b < a b ab b, Cho số thực a, b, c > thoả mãn a b c Chứng minh : 1 1 a b c abc Câu Cho đường trịn tâm O, bán kính R khơng đổi, AB CD hai đường kính (O) Đường thẳng vng góc với AB A cắt đường thẳng BC, BD M N Gọi P, Q trung điểm AM AN, H trực tâm tam giác BPQ a) Chứng minh tam giác APH ABQ đồng dạng b) Chứng minh AH = R Câu Cho điểm M nằm góc nhọn xOy Hai điểm A B thay đổi Ox Oy cho 2.OA = 3.OB Tìm vị trí A, B cho 2.MA + 3.MB đạt giá trị nhỏ Hết Cán coi thi khơng giải thích thêm ThuVienDeThi.com HƯỚNG DẪN CHẤM ®Ị thi chän häc sinh giỏi lớp năm học 2012 - 2013 - mƠN TỐN Câu Nội dung Ý B Điểm Điều kiện xác định: x 0; x a 3.0 5.0 2x x x4 Rút gọn P x x 2 x x 1 x x 1 2x x x x 2 x 2 x x 2 x 1 x x 1 x 1 b 2.0 a 2.0 4.0 b 2.0 a 2.0 4.0 b 2.0 x 1 x 2 x x 1 x x 2 x 1 x x 1 x 2 1.0 1.0 x x x4 Ta có P x x x x Kết hợp với điều kiện ta có x giá trị cần tìm ĐKXĐ x Phương trình : x x x 1 x x 6 x2 x2 3 x29 x 11 thoả mãn 1.5 0.5 0.5 1.0 0.5 ĐK: - < x < 1.Ta có: x x 20 4( x x 1) 16 4( x 1) 16 0.75 Mặt khác, VP = - 2x - x2 = - (x + 1)2 0.75 Từ để VT = VP hai vế dấu xảy x = -1 Để chứng minh a b ab ta cần chứng minh (a + b)2 < (1 + ab)2 Vậy (a + b)2 < (1 + ab)2 hay a b ab 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 Từ ( a + b - c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab – 2bc – 2ac 0.5 Xét hiệu (1 + ab)2 - (a + b)2 = + 2ab + a2b2 - a2 - 2ab - b2 = (1 - a2)(1 - b2) Do a < 1, b < nên (1 - a2)(1 - b2) > Nên ac + bc – ab a b2 c2 5 = < 1( Vì a b c ) Chia hai vế cho abc > ta : 1.0 1 1 a b c abc Hình vẽ ThuVienDeThi.com 1.0 0.5 5.0 M P C H O A B Q D N a 2.0 Tam giác APH đồng dạng với tam giác ABQ PAH BAQ 1v APH ABQ ( phụ với PQB ) R AH AP Từ câu a) suy ra: AQ AB AN AM AP AQ 2 AH AB AB AM AN AB AB R R AB AB 4 2.0 Chứng minh AH = b 3.0 1.0 1.0 1.0 z N x 2.0 A M y O B ThuVienDeThi.com Trong mặt phẳng bờ Ox không chứa Oy vẽ tia Oz cho xOz = yOM Trên tia Oz lấy điểm N cho 2ON = 3OM NOA MOB (c.g.c) AN OA Nên 2AN = 3BM BM OB Vậy 2MA + 3MB = 2(MA + NA) > 2MN Dấu "=" xẩy A giao điểm MN với tia Ox Vậy 2MA + 3MB nhỏ A giao điểm đoạn MN với tia Ox B thuộc tia Oy cho 2OA = 3OB ThuVienDeThi.com 0.5 0.5 0.5 0.5 ...HƯỚNG DẪN CHẤM ®Ị thi chän häc sinh giái líp năm học 2012 - 2013 - mễN TON Cõu Nội dung Ý B Điểm Điều kiện xác định: x 0; x a 3.0 5.0... 5 = < 1( Vì a b c ) Chia hai vế cho abc > ta : 1.0 1 1 a b c abc Hình vẽ ThuVienDeThi.com 1.0 0.5 5.0 M P C H O A B Q D N a 2.0 Tam giác APH đồng dạng với tam giác ABQ PAH ... AB AB R R AB AB 4 2.0 Chứng minh AH = b 3.0 1.0 1.0 1.0 z N x 2.0 A M y O B ThuVienDeThi.com Trong mặt phẳng bờ Ox không chứa Oy vẽ tia Oz cho xOz = yOM Trên tia Oz lấy điểm N cho