PHÒNG GD&ĐT THANH SƠN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU CẤP HUYỆN ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC 2012 - 2013 MƠN TỐN LỚP ( Đề thi có 01 trang ) Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu (4,0 điểm) a) Tìm cặp số nguyên x, y thỏa mãn: xy - 2x - 3y b) Cho số A 11 155 56 (với n N, n ) Chứng minh A số phương n n 1 Câu (3,0 điểm) Cho số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện a b c2 a16 b c2013 a b c ab bc ca Tính giá trị biểu thức B 30 a b c2013 Câu (5,0 điểm) Giải phương trình: a) x 12 x3 x x 15 x2 b) x 1 x 1 x x Câu (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH chia cạnh huyền BC thành hai đoạn, cho BH = 4cm CH = 9cm Gọi D E hình chiếu H AB AC a) Chứng minh: AH2 = BH.CH AB2 = BH.BC; b) Tính độ dài DE; c) Các đường thẳng vng góc với DE D E cắt BC theo thứ tự M N Chứng minh M trung điểm BH; d) Tính diện tích tứ giác DENM Câu (2,0 điểm) Cho a b c Chứng minh a b c a b3 c3 ––––––––––––––––––– Hết –––––––––––––––––––– Họ tên thí sinh Cán coi thi không giải thích thêm ThuVienDeThi.com SBD HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH NĂNG KHIẾU NĂM HỌC 2012 - 2013 Mơn Tốn - Lớp Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác tổ chấm thống cho điểm tương ứng với hướng dẫn chấm./ Câu (4,0 điểm) a) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: xy x y b) Chứng minh số A 11 155 56 số phương n n 1 Đáp án a) Ta có: xy x y x y y x 3 y * Lập bảng: x-3 -1 -5 x -2 y-2 -5 -1 y -3 Tính cột 0,25 điểm b) Ta có: A 11 155 56 11 100 55 11 1) 5x 11 x(99 1 n 1 n n n n n n Đặt t 11 A t(9t 1) 5t (3t 1) 33 34 Vậy A số phương 1,00 1,00 n n 1 n Điểm 1,00 1,00 Câu (3,0 điểm) Cho số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện a b2 c a b c ab bc ca Tính giá trị biểu thức B a16 b c 2013 a30 b c 2013 Đáp án a 1 b 1 c 1 a b b c c a Điểm 0,50 0,50 1,00 a b c Vậy B = 1,00 Từ gt 3(a b c ) 2(a b c ab bc ca) 12 2 3(a b c ) 2(a b c ab bc ca) 3 2 2 2 Câu (5,0 điểm) Giải phương trình: a) x 12 x3 x x 15 b) x2 x 1 x 1 x x Đáp án a) Phân tích được: x 12 x3 x x 15 x 12 x 2 x 3x 3 Chỉ được: x 3x 2( x )2 15 với x Điểm 1,00 1,00 ThuVienDeThi.com Tìm x = 1; x = -2,5 b) ĐKXĐ: x x x x 4( x 1) PT x3 1 x 1 x 1 0,50 0,25 1,00 1,00 x x( x 1) x Vì x = khơng thỏa mãn nên PT có nghiệm x = 0,25 Câu (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH chia cạnh huyền BC thành hai đoạn, cho BH = 4cm CH = 9cm Gọi D E hình chiếu H AB AC a) Chứng minh: AH BH CH AB BH BC ; b) Tính độ dài DE; c) Các đường thẳng vng góc với DE D E cắt BC theo thứ tự M N Chứng minh M trung điểm BH; d) Tính diện tích tứ giác DENM Đáp án * Vẽ hình: Điểm 0,50 A E O D K B M H N C ( 900 ) ; CAH a) Xét tam giác AHB tam giác CHA có: AHB CHA ABH ( phụ với HAB ), suy ra: CAH ABH ( g-g) AH CH AH CH BH BH AH 0,25 ( 900 ) ; ABH - chung, Xét tam giác AHB tam giác CAB có: AHB CAB suy ra: CAB ABH ( g-g) 0,50 AB HB AB BC.BH CB AB 0,50 0,25 b) Chứng minh tg ADHE hình chữ nhật ( góc vng) DE AH Mà AH CH BH 4.9 36 AH 6cm Vậy DE = 6cm c) Gọi O giao điểm AH DE, chứng minh ODM OHM ( cạnh 0,50 0,50 0,50 0,50 ThuVienDeThi.com huyền - cạnh góc vng) MH MD mà OH = OD ( tính chất HCN) OM đường trung trực DH KH OM , KH KD ( K giao điểm OM HD) Trong tam giác HDB có: K trung điểm HD, KM // DB ( vng góc với HD) M trung điểm HB d) Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác 2 0,50 vng, có: DM HB 2cm ; CMTT: EN = 4,5cm Diện tích hình thang DENM là: S 0,25 0,25 0,50 ( EN DM ).ED (2 4,5).6 19,5(cm) 2 0,50 Câu (2,0 điểm) Cho a b c Chứng minh a b c a b3 c3 Đáp án Đặt a = x + 1; b = y + 1; c = z + 1, suy x y z Điểm 0,25 Xét hiệu: a b c a b3 c3 x x 1 y y 1 z z 1 3 x x 3x y y y z z 3z x y z 2 0,50 0,50 3 3 3 x x y y z z x2 y z x y z 2 2 2 0,50 Dấu đẳng thức xảy x = y = z = 0, hay a = b = c = 0,25 -HẾT - ThuVienDeThi.com ...HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH NĂNG KHIẾU NĂM HỌC 2012 - 2013 Mơn Tốn - Lớp Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác tổ chấm thống cho điểm tương ứng với... điều kiện a b2 c a b c ab bc ca Tính giá trị biểu thức B a16 b c 2013 a30 b c 2013 Đáp án a 1 b 1 c 1 a b b c c a Điểm 0,50... 12 x 2 x 3x 3 Chỉ được: x 3x 2( x )2 15 với x Điểm 1,00 1,00 ThuVienDeThi.com Tìm x = 1; x = -2,5 b) ĐKXĐ: x x x x 4( x 1) PT x3 1 x 1 x 1 0,50 0,25