Đề thi chọn học sinh năng khiếu cấp huyện năm học 2012 2013 môn Toán lớp 834680

PHÒNG GD&ĐT THANH SƠN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU CẤP HUYỆN ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC 2012 - 2013 MƠN TỐN LỚP ( Đề thi có 01 trang ) Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu (4,0 điểm) a) Tìm cặp số nguyên x, y thỏa mãn: xy - 2x - 3y   b) Cho số A  11 155 56 (với n  N, n  ) Chứng minh A số   phương n n 1 Câu (3,0 điểm) Cho số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện a  b  c2  a16  b  c2013 a  b  c  ab  bc  ca  Tính giá trị biểu thức B  30 a  b  c2013 Câu (5,0 điểm) Giải phương trình: a) x  12 x3  x  x  15  x2    b) x 1 x 1 x  x  Câu (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH chia cạnh huyền BC thành hai đoạn, cho BH = 4cm CH = 9cm Gọi D E hình chiếu H AB AC a) Chứng minh: AH2 = BH.CH AB2 = BH.BC; b) Tính độ dài DE; c) Các đường thẳng vng góc với DE D E cắt BC theo thứ tự M N Chứng minh M trung điểm BH; d) Tính diện tích tứ giác DENM Câu (2,0 điểm) Cho a  b  c  Chứng minh a  b  c  a  b3  c3 ––––––––––––––––––– Hết –––––––––––––––––––– Họ tên thí sinh Cán coi thi không giải thích thêm ThuVienDeThi.com SBD HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH NĂNG KHIẾU NĂM HỌC 2012 - 2013 Mơn Tốn - Lớp Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác tổ chấm thống cho điểm tương ứng với hướng dẫn chấm./ Câu (4,0 điểm) a) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: xy  x  y   b) Chứng minh số A  11 155 56 số phương   n n 1 Đáp án a) Ta có: xy  x  y    x  y     y     x  3 y    * Lập bảng: x-3 -1 -5 x -2 y-2 -5 -1 y -3 Tính cột 0,25 điểm b) Ta có: A  11 155 56  11 100  55   11  1)  5x 11       x(99  1  n 1 n n n n n n Đặt t  11   A  t(9t  1)  5t   (3t  1)  33 34  Vậy A số phương 1,00 1,00 n n 1 n Điểm 1,00 1,00 Câu (3,0 điểm) Cho số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện a  b2  c  a  b  c  ab  bc  ca  Tính giá trị biểu thức B  a16  b  c 2013 a30  b  c 2013 Đáp án  a  1  b  1  c  1  a  b   b  c   c  a   Điểm 0,50 0,50 1,00  a  b  c  Vậy B = 1,00 Từ gt  3(a  b  c )  2(a  b  c  ab  bc  ca)  12 2  3(a  b  c )  2(a  b  c  ab  bc  ca)  3 2 2 2 Câu (5,0 điểm) Giải phương trình: a) x  12 x3  x  x  15  b) x2    x 1 x 1 x  x  Đáp án a) Phân tích được: x  12 x3  x  x  15   x  12 x  2 x  3x  3 Chỉ được: x  3x   2( x  )2  15  với x Điểm 1,00 1,00 ThuVienDeThi.com Tìm x = 1; x = -2,5 b) ĐKXĐ: x  x  x  x  4( x 1) PT    x3 1 x 1 x 1 0,50 0,25 1,00 1,00 x   x( x  1)    x  Vì x = khơng thỏa mãn nên PT có nghiệm x = 0,25 Câu (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH chia cạnh huyền BC thành hai đoạn, cho BH = 4cm CH = 9cm Gọi D E hình chiếu H AB AC a) Chứng minh: AH  BH CH AB  BH BC ; b) Tính độ dài DE; c) Các đường thẳng vng góc với DE D E cắt BC theo thứ tự M N Chứng minh M trung điểm BH; d) Tính diện tích tứ giác DENM Đáp án * Vẽ hình: Điểm 0,50 A E O D K B M H N C ฀ ( 900 ) ; CAH ฀ a) Xét tam giác AHB tam giác CHA có: ฀AHB  CHA  ฀ABH ฀ ( phụ với HAB ), suy ra: CAH ฀ ABH ( g-g)  AH CH   AH  CH BH BH AH 0,25 ฀ ( 900 ) ; ฀ABH - chung, Xét tam giác AHB tam giác CAB có: ฀AHB  CAB suy ra: CAB ฀ ABH ( g-g)  0,50 AB HB   AB  BC.BH CB AB 0,50 0,25 b) Chứng minh tg ADHE hình chữ nhật ( góc vng)  DE  AH Mà AH  CH BH  4.9  36  AH  6cm Vậy DE = 6cm c) Gọi O giao điểm AH DE, chứng minh ODM  OHM ( cạnh 0,50 0,50 0,50 0,50 ThuVienDeThi.com huyền - cạnh góc vng)  MH  MD mà OH = OD ( tính chất HCN)  OM đường trung trực DH  KH  OM , KH  KD ( K giao điểm OM HD) Trong tam giác HDB có: K trung điểm HD, KM // DB ( vng góc với HD)  M trung điểm HB d) Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác 2 0,50 vng, có: DM  HB   2cm ; CMTT: EN = 4,5cm Diện tích hình thang DENM là: S  0,25 0,25 0,50 ( EN  DM ).ED (2  4,5).6   19,5(cm) 2 0,50 Câu (2,0 điểm) Cho a  b  c  Chứng minh a  b  c  a  b3  c3 Đáp án Đặt a = x + 1; b = y + 1; c = z + 1, suy x  y  z  Điểm 0,25 Xét hiệu: a  b  c  a  b3  c3  x x  1  y  y  1  z z  1      3   x x  3x   y y  y   z z  3z   x  y  z 2 0,50 0,50 3 3 3     x  x    y  y    z  z    x2  y  z  x  y  z  2 2 2    0,50 Dấu đẳng thức xảy x = y = z = 0, hay a = b = c = 0,25   -HẾT - ThuVienDeThi.com ...HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH NĂNG KHIẾU NĂM HỌC 2012 - 2013 Mơn Tốn - Lớp Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác tổ chấm thống cho điểm tương ứng với... điều kiện a  b2  c  a  b  c  ab  bc  ca  Tính giá trị biểu thức B  a16  b  c 2013 a30  b  c 2013 Đáp án  a  1  b  1  c  1  a  b   b  c   c  a   Điểm 0,50...  12 x  2 x  3x  3 Chỉ được: x  3x   2( x  )2  15  với x Điểm 1,00 1,00 ThuVienDeThi.com Tìm x = 1; x = -2,5 b) ĐKXĐ: x  x  x  x  4( x 1) PT    x3 1 x 1 x 1 0,50 0,25