Đề thi chọn học sinh giỏi vòng I năm học 2012 2013 môn: Toán lớp 933072

PHỊNG GD&ĐT BÌNH GIANG ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VỊNG I NĂM HỌC 2012-2013 MƠN: TỐN - LỚP (Thời gian làm bài: 150 phút) Câu I (2,0 điểm) Cho biểu thức: A  1) Rút gọn A x2 x 1 với x  0, x    x x 1 x  x 1 1 x 2) Chứng tỏ rằng: A  Câu II (2,0 điểm) 1) Giải phương trình: x  x  15  17 2) Tìm x, y cho: 5x  x   y   y   Câu III (2,0 điểm) 1) Tìm số nguyên x, cho : x  x  p  với p số nguyên tố 2) Tìm m để hàm số bậc y  m  2013m  2012 x  2011 hàm số m  2m  nghịch biến Câu IV (3,0 điểm) 1) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O ; R), hai đường cao BE CF tam giác cắt H Kẻ đường kính AK đường trịn (O ; R), gọi I trung điểm BC a) Chứng minh AH = 2.IO ฀ b) Biết BAC  600 , tính độ dài dây BC theo R ฀  900 ) , BC = a Gọi bán kính đường trịn nội tiếp 2) Cho ABC(A ABC r Chứng minh rằng: r 1  a Câu V (1,0 điểm) Cho x  3y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: C  x  y –––––––– Hết –––––––– DeThiMau.vn Câu HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG VÒNG I NĂM HỌC 2012-2013 MƠN: TỐN - LỚP Phần Nội dung Điểm A A (1,0 đ) Câu I (2,0 điểm) A x2   x 1  x  x 1 x 1   x 1 x  x 1 x   x 1  x  x 1    0.25  x 1 x  x 1 x x   x  x  1 A   x  1 x  x  1 x  (1,0 đ) Câu II (2,0 điểm) x , với x  0, x  x 1   x 1   Đặt t  x  15 (t  0)  t  t    t   TM§K    t   t  1     t  1  lo¹i  Với t   x  15   x  15   x  19 (TMĐK) ĐKXĐ: x  5x  x   y   y    4x  x   x  2y x  y    x  y   (1) x  1  0,  x  y   x  0, y x  1   x  y   2 (2,0 điểm) 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 2  2 x    x  Để (1) xẩy   (TM)   x y y    2 Theo ra: p  x  x  x  x  1 mà x, x + số nguyên liên tiếp Câu III 0.50 1   x   x  x    x     2  1  A 0 A  3 ĐKXĐ: x  15 x  x  15  17  x  15  x  15    Vì   2 0.25 1 x A    3 x  x  3(x  x  1) Do x  0, x   x 1  (1,0 đ) 0.25 x 1 x  x 1 Xét (1,0 đ) 0.25 nên x  x  1 số chẵn  p số chẵn (1,0 đ) Mặt khác p số nguyên tố nên p = 2  x  x     x   x  1   x = x = - (TM) DeThiMau.vn 0.25 0.25 0.25 0.25 0.50 Để hàm số y m  2013m  2012 x  2011 m  2m  biến m  2013m  2012 m  2m   m    m  (1) m  2m  (1)  m  2013m  2012    m  1 m  2012    (1,0 đ) nghịch   m    m    m  2012  m  2012     m    m     m  2012   m  2012   m  2012 Vì B, C thuộc đường trịn đường kính ฀ ฀ AK  ABK  ACK  900 E  KB  AB, KC  AC CH  AB, BH  AC (gt) F O  BK // CH, CK // BH H 1a  BHCK hình bình hành C B (1,0 đ) I I trung điểm BC (gt)  I trung điểm HK K O trung điểm AK (gt)  OI đường trung bình KAH  OI  AH  AH  2.IO ฀ ฀ OA  OC  OAC cân O  OAC  OCA ฀ ฀ ฀ KOC  OAC  OCA (T/c góc ngồi tam giác) ฀ ฀  KOC  2.OAC ฀ ฀ Chứng minh tương tự: KOB  2.OAB 1b ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀  KOC  KOB  OAC  OAB  BOC  2.BAC  1200 (1,0 đ) ฀  1800  1200  :  300 OB  OC  OBC cân O  OCI 0.25 0.25 0.25 0.25 A Câu IV (3,0 điểm)   0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Vì I trung điểm BC (gt)  OI  BC  (1,0 đ)  Trong OIC I  900 : IC  OC.cos300  R  BC  R B r 1   2r  a  a  2r  a  a D a r C/m AB + AC = 2r + a O E  AB  AC  BC A F C  AB2  2AB.AC  AC  2BC 0.25 0.25 BĐT (1)  Câu V 0.25  AB2  2AB.AC  AC  2AB2  2AC   AB  AC   1 (1,0 điểm) 0.25 r 1  , dấu “=” xảy ABC v/cân A a (1,0 đ) Do x  3y  , đặt x  3y   a với a   x = + a – 3y, thay vào DeThiMau.vn 0.25 biểu thức C:  C  10y  6ay  6y  a  2a  0.25 1   C  10  y   a  1    a  2a    10 10  10  10 khi:  C  10  3 y      y   a  1  y  y   10  10   10    10 a  a   x  3y   x  10  * Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa DeThiMau.vn 0.50 0.25 ...Câu HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG VÒNG I NĂM HỌC 2012- 2013 MƠN: TỐN - LỚP Phần N? ?i dung ? ?i? ??m A A (1,0 đ) Câu I (2,0 ? ?i? ??m) A x2   x 1  x  x 1 x 1   x 1... (TM) DeThiMau.vn 0.25 0.25 0.25 0.25 0.50 Để hàm số y m  2013m  2012 x  2011 m  2m  biến m  2013m  2012 m  2m   m    m  (1) m  2m  (1)  m  2013m  2012    m  1 m  2012. .. đ) I I trung ? ?i? ??m BC (gt)  I trung ? ?i? ??m HK K O trung ? ?i? ??m AK (gt)  OI đường trung bình KAH  OI  AH  AH  2.IO ฀ ฀ OA  OC  OAC cân O  OAC  OCA ฀ ฀ ฀ KOC  OAC  OCA (T/c góc ng? ?i tam