PHỊNG GD&ĐT BÌNH GIANG ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VỊNG I NĂM HỌC 2012-2013 MƠN: TỐN - LỚP (Thời gian làm bài: 150 phút) Câu I (2,0 điểm) Cho biểu thức: A 1) Rút gọn A x2 x 1 với x 0, x x x 1 x x 1 1 x 2) Chứng tỏ rằng: A Câu II (2,0 điểm) 1) Giải phương trình: x x 15 17 2) Tìm x, y cho: 5x x y y Câu III (2,0 điểm) 1) Tìm số nguyên x, cho : x x p với p số nguyên tố 2) Tìm m để hàm số bậc y m 2013m 2012 x 2011 hàm số m 2m nghịch biến Câu IV (3,0 điểm) 1) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O ; R), hai đường cao BE CF tam giác cắt H Kẻ đường kính AK đường trịn (O ; R), gọi I trung điểm BC a) Chứng minh AH = 2.IO b) Biết BAC 600 , tính độ dài dây BC theo R 900 ) , BC = a Gọi bán kính đường trịn nội tiếp 2) Cho ABC(A ABC r Chứng minh rằng: r 1 a Câu V (1,0 điểm) Cho x 3y Tìm giá trị nhỏ biểu thức: C x y –––––––– Hết –––––––– DeThiMau.vn Câu HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG VÒNG I NĂM HỌC 2012-2013 MƠN: TỐN - LỚP Phần Nội dung Điểm A A (1,0 đ) Câu I (2,0 điểm) A x2 x 1 x x 1 x 1 x 1 x x 1 x x 1 x x 1 0.25 x 1 x x 1 x x x x 1 A x 1 x x 1 x (1,0 đ) Câu II (2,0 điểm) x , với x 0, x x 1 x 1 Đặt t x 15 (t 0) t t t TM§K t t 1 t 1 lo¹i Với t x 15 x 15 x 19 (TMĐK) ĐKXĐ: x 5x x y y 4x x x 2y x y x y (1) x 1 0, x y x 0, y x 1 x y 2 (2,0 điểm) 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 2 2 x x Để (1) xẩy (TM) x y y 2 Theo ra: p x x x x 1 mà x, x + số nguyên liên tiếp Câu III 0.50 1 x x x x 2 1 A 0 A 3 ĐKXĐ: x 15 x x 15 17 x 15 x 15 Vì 2 0.25 1 x A 3 x x 3(x x 1) Do x 0, x x 1 (1,0 đ) 0.25 x 1 x x 1 Xét (1,0 đ) 0.25 nên x x 1 số chẵn p số chẵn (1,0 đ) Mặt khác p số nguyên tố nên p = 2 x x x x 1 x = x = - (TM) DeThiMau.vn 0.25 0.25 0.25 0.25 0.50 Để hàm số y m 2013m 2012 x 2011 m 2m biến m 2013m 2012 m 2m m m (1) m 2m (1) m 2013m 2012 m 1 m 2012 (1,0 đ) nghịch m m m 2012 m 2012 m m m 2012 m 2012 m 2012 Vì B, C thuộc đường trịn đường kính AK ABK ACK 900 E KB AB, KC AC CH AB, BH AC (gt) F O BK // CH, CK // BH H 1a BHCK hình bình hành C B (1,0 đ) I I trung điểm BC (gt) I trung điểm HK K O trung điểm AK (gt) OI đường trung bình KAH OI AH AH 2.IO OA OC OAC cân O OAC OCA KOC OAC OCA (T/c góc ngồi tam giác) KOC 2.OAC Chứng minh tương tự: KOB 2.OAB 1b KOC KOB OAC OAB BOC 2.BAC 1200 (1,0 đ) 1800 1200 : 300 OB OC OBC cân O OCI 0.25 0.25 0.25 0.25 A Câu IV (3,0 điểm) 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Vì I trung điểm BC (gt) OI BC (1,0 đ) Trong OIC I 900 : IC OC.cos300 R BC R B r 1 2r a a 2r a a D a r C/m AB + AC = 2r + a O E AB AC BC A F C AB2 2AB.AC AC 2BC 0.25 0.25 BĐT (1) Câu V 0.25 AB2 2AB.AC AC 2AB2 2AC AB AC 1 (1,0 điểm) 0.25 r 1 , dấu “=” xảy ABC v/cân A a (1,0 đ) Do x 3y , đặt x 3y a với a x = + a – 3y, thay vào DeThiMau.vn 0.25 biểu thức C: C 10y 6ay 6y a 2a 0.25 1 C 10 y a 1 a 2a 10 10 10 10 khi: C 10 3 y y a 1 y y 10 10 10 10 a a x 3y x 10 * Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa DeThiMau.vn 0.50 0.25 ...Câu HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG VÒNG I NĂM HỌC 2012- 2013 MƠN: TỐN - LỚP Phần N? ?i dung ? ?i? ??m A A (1,0 đ) Câu I (2,0 ? ?i? ??m) A x2 x 1 x x 1 x 1 x 1... (TM) DeThiMau.vn 0.25 0.25 0.25 0.25 0.50 Để hàm số y m 2013m 2012 x 2011 m 2m biến m 2013m 2012 m 2m m m (1) m 2m (1) m 2013m 2012 m 1 m 2012. .. đ) I I trung ? ?i? ??m BC (gt) I trung ? ?i? ??m HK K O trung ? ?i? ??m AK (gt) OI đường trung bình KAH OI AH AH 2.IO OA OC OAC cân O OAC OCA KOC OAC OCA (T/c góc ng? ?i tam