Bài giảng giải tích

BÙI XUÂN DIỆU KHOA TOÁN TIN ỨNG DỤNG Bài Giảng GIẢI TÍCH I (lưu hành nội bộ) HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ - TÍCH PHÂN - HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ Tóm tắt lý thuyết, Các ví dụ, Bài tập lời giải Hà Nội- 2009 MỤC LỤC Mục lục Chương Hàm số biến số (13LT+13BT) Sơ lược yếu tố Lôgic; tập số: N,Z,Q,R Trị tuyệt đối tính chất 3.1 Định nghĩa hàm số, tập xác định, tập giá trị khái niệm: hàm chẵn, hàm lẻ, hàm tuầ Bài tập Dãy số 4.1 Bài tập 10 11 Giới hạn hàm số Vô lớn, vô bé 15 6.1 Vô bé (VCB) 6.2 Vô lớn (VCL) 6.3 Bài tập 7.1 8.1 14 15 16 16 Hàm số liên tục 18 Bài tập 20 Đạo hàm vi phân 22 Bài tập 24 Các định lý hàm khả vi ứng dụng 9.1 Các định lý hàm khả vi 9.2 Qui tắc L’Hospital 10 28 28 29 Các lược đồ khảo sát hàm số 33 10.1 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = f( x) 33 10.2 Khảo sát vẽ đường cong cho dạng tham số 34 10.3 Khảo sát vẽ đường cong hệ toạ độ cực 35 10.4 Bài tập 35 Chương Phép tính tích phân biến số 37 Tích phân bất định 37 MỤC LỤC 1.1 Nguyên hàm hàm số 1.2 Các phương pháp tính tích phân bất định 1.3 Tích phân hàm phân thức hữu tỷ 43 1.4 Tích phân hàm lượng giác 1.5 Tích phân biểu thức vơ tỷ Tích phân xác định 37 45 2.1 Định nghĩa tích phân xác định 2.2 Các tiêu chuẩn khả tích 2.3 Các tính chất tích phân xác định 50 2.4 Tích phân với cận thay đổi (hàm tích phân) 2.5 Các phương pháp tính tích phân xác định 2.6 Hệ thống tập 49 49 49 51 52 Các ứng dụng tích phân xác định Tính diện tích hình phằng 3.2 Tính độ dài đường cong phẳng 62 3.3 Tính thể tích vật thể 3.4 Tính diện tích mặt trịn xoay 65 Tích phân suy rộng 47 51 3.1 39 59 59 63 4.1 Tích phân suy rộng với cận vơ hạn 4.2 Tích phân suy rộng hàm số không bị chặn 69 4.3 Tích phân suy rộng hội tụ tuyệt đối bán hội tụ 70 4.4 Các tiêu chuẩn hội tụ 4.5 Bài tập Chương Hàm số nhiều biến số 67 67 71 72 79 Giới hạn hàm số nhiều biến số 79 1.1 Giới hạn hàm số nhiều biến số 79 1.2 Tính liên tục hàm số nhiều biến số 80 1.3 Bài tập 80 Đạo hàm vi phân 81 2.1 Đạo hàm riêng 81 2.2 Vi phân toàn phần 82 2.3 Đạo hàm hàm số hợp 82 2.4 Đạo hàm vi phân cấp cao 83 2.5 Đạo hàm theo hướng - Gradient 84 2.6 Hàm ẩn - Đạo hàm hàm số ẩn 2.7 Bài tập 85 85 3.1 Cực trị hàm số nhiều biến số 92 Cực trị tự 92 MỤC LỤC 3.2 Cực trị có điều kiện 3.3 Giá trị lớn - Giá trị nhỏ 94 97 MỤC LỤC CHƯƠNG HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ (13LT+13BT) §1 SƠ LƯỢC VỀ CÁC YẾU TỐ LƠGIC; CÁC TẬP SỐ: N,Z,Q,R Phần Lôgic không dạy trực tiếp (phần Đại số dạy) mà nhắc lại phép suy luận thông qua giảng nội dung khác thấy cần thiết Giới thiệu tập số; cần nói rõ tập Q rộng Z chưa lấp đầy trục số tập R lấp đầy trục số chứa tất giới hạn dãy số hội tụ, ta có bao hàm thức N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R §2 TRỊ TUYỆT ĐỐI VÀ TÍNH CHẤT Nhắc lại định nghĩa nêu tính chất sau • |x| ≥ 0, |x| = ⇐⇒ x = 0, |x + y| ≤ |x| + |y|; • |x − y| ≥ ||x| − |y|| , |x| ≥ A ⇐⇒ x ≥ A x ≤ −A • |x| ≤ B ⇐⇒ −B ≤ x ≤ B §3 ĐỊNH NGHĨA HÀM SỐ, TẬP XÁC ĐỊNH, TẬP GIÁ TRỊ VÀ CÁC KHÁI NIỆM: HÀM CHẴN, HÀM LẺ, HÀM TUẦN HOÀN , HÀM HỢP, HÀM NGƯỢC Định nghĩa hàm số: Nhắc lại định nghĩa phổ thông Chú ý viết dạng ánh xạxác định rõ X cịn biểu thức f (dưới dạng biểu thức giải tích) chưa f : X → R tập rõ, khơng tìm biểu thức Còn hàm số cho dạng biểu thức giải tích cần phải xác định rõ miền xác định hàm số Trong chương trình tập trung vào cách cho hàm số dạng hay nhiều biểu thức giải tích Một số hàm Dirichlet, dấu, phần ngun nêu dạng ví dụ hay thể qua phần dạy khác Tập giá trị hàm số: Hàm số đơn điệu Hàm số bị chặn (chặn trên, chặn dưới, bị chặn) Hàm chẵn, hàm lẻ (tính chất đồ thị kết f( x) = hàm chẵn + hàm lẻ) Hàm tuần hoàn: Nêu qua định nghĩa, ví dụ hàm số lượng giác Trong phạm vi chương trình chủ yếu xem có sốf ( x + T) = f( x) T 6= 0( T > bé nhất).0) thỏa mãn mà khơng sâu vào việc tìm chu kỳ (số T > Hàm hợp: định nghĩa ví dụ Hàm ngược: (a) Định nghĩa (b) Mối quan hệ đồ thị hai hàm (c) Định lý điều kiện đủ để tồn hàm ngược, (tăng hay giảm) (d) Trên sở định lý xây dựng hàm số lượng giác ngược vẽ đồ thị củachúng Ở phổ thông học sinh biết y = ax, y = log a x hàm ngược Hàm số sơ cấp Định nghĩa hàm số, tập xác định, tập giá trị khái niệm: hàm chẵn, hàm lẻ, hàm tuần hoàn, hàm hợp, hàm ngược (a) Nêu hàm số sơ cấp bản: y = xα, y = ax, y = log a x, y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = cotg x y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arccotg x (b) Định nghĩa hàm số sơ cấp: Nêu ví dụ lớp hàm sơ cấp: đa thức, phân thức hữu tỷ, hyperbolic 3.1 Bài tập Bài tập 1.1 Tìm TXĐ hàm số a) y arcsin √ 2x c) y = x d) y = arccos( 2sin x) sin πx 1+x Lời giải b TXĐ = {−1/ ≤ x ≤ } a TXĐ = {π/4 + kπ ≤ x ≤ π/2 + kπ, k ∈ Z} c TXĐ = {x ≥ 0, x 6∈ Z} d TXĐ Bài tập 1.2 Tìm miền giá trị hàm số a y = lg( − 2cos x) Lời giải a MGT = {−∞ ≤ y ≤ lg3} Bài tập 1.3 Tìm f( x) biết b y b MGT = {−π/2 ≤ y ≤ π/2} b) y = a f b f Lời giải a ĐS : f( x) = x2 − với |x| ≥ b ĐS: f Bài tập 1.4 Tìm hàm ngược hàm số (trên miền mà hàm số có hàm ngược) a Lời giải = y 2x + b y c y x − x a) ĐS : y b) ĐS : y 1+x c) Ta có y′ = (ex − e−x) nên hàm số cho không đơn ánh Ta phải xét 2 miền: Trên miền x ≥ 0, từ y Ta có song ánh: [0, +∞) → [1, +∞) x y Vậy hàm ngược miền x Trên miền x ≤ 0, tương tự ta có hàm ngược y Bài tập 1.5 Xét tính chẵn lẻ hàm số a f( x) = ax + a−x( a > 0) b f c f( x) = sin x + cos x Lời giải a ĐS: hàm số cho hàm số chẵn b ĐS: hàm số cho hàm số lẻ c ĐS: hàm số cho không chẵn, không lẻ Bài tập 1.6 Chứng minh hàm số f( x) xác định khoảng đối xứng ( −a, a) biểu diễn dạng tổng hàm số chẵn hàm số lẻ Lời giải Với f( x) ta ln có f g(x) h(x) g( x) hàm số chẵn, cịn h( x) hàm số lẻ Bài tập 1.7 Xét tính tuần hồn chu kì hàm số sau (nếu có) a f( x) = A cos λx + B sinλx Định nghĩa hàm số, tập xác định, tập giá trị khái niệm: hàm chẵn, hàm lẻ, hàm tuần hoàn, hàm hợp, hàm ngược 1 b f( x) = sin x + sin2x + sin3x c f( x) = sin2 x d f( x) = sin( x2) Lời giải a) Giả sử T > chu kì hàm số cho Khi f( x + T) = f( x)∀x ∈ R ⇔A cos λ( x + T) + B sin λ(x + T) = A cos λx + B sin λx ∀x ∈ R ⇔A[cos λx − cos λ( x + T)] + B[sin λx − sin λ( x + T)] = ∀x ∈ R R zy′ = − + + ∂s2 + 2!= x−p4 −y y4 x2 − y2 e ∂ u′x = yzxyz xyzzyz xyzyz lny ln x f u′x Bài tập 3.5 Khảo sát liên tục tồn tại, liên tục đạo hàm riêng hàm số f ( x, y) sau a x f ( x, y) = x 6= 0 x = b x sin y − y sin x ( x, y) f ( x, y) = x2 + y2 6= ( 0,0) ( x, y) = ( 0,0) 87 thấy hàm số liên tục với ( x, Lời giải a Ta dễ y) 6= ( 0, y) Vậy f (x, y) liên Xét x = 0, vì= f ( 0, y) tục R2 Với x 6= đạo hàm riêng tồn liên tục: z ′x x x4 + y4 x4 + Xét x = 0, fx′ →0 f ( h, y) h f (0, y) 0π2,,yy=6=00 fy′ ( 0, y) = lim f ( 0, y + k) − f ( 0, y) = lim = k→0 Vậy ta thấy f k→0 k liên tục R2 liên tục R b Hàm số liên tục R2\( 0,0) , cịn ( 0,0) x nên Vậy f( x, y) liên tục R2 Bài tập 3.6.hàm số z hệ thức sau thoả mãnGiả sử z = yf x −y , f hàm số khả vi Chứng minh ′ ′ + =z x y y2 Lời giải Ta có z′x nên 1z x y Bài tập 3.7 Tìm đạo hàm hàm số hợp sau z′x y y a z 88 xy, v = yx b z c z = arcsin ( x − y) , x = 3t, y = 4t3 Lời giải a Ta có ( ′ ′ nên ′ = − = ′ ′ = − ( + ) [− ′ = − ( + ) [− = √ = √ + y2 ; + − ] ] b Ta có −y2 nên z′x y c Ta có ( xt ′ = y′t = 12t2 nên z′t Bài tập 3.8 Tìm vi phân toàn phần hàm số b z = lntg a z x y c z = arctg x+y d u = xy2z (3.2) x − y Lời giải a dz b = − dz sin x 89 c dz du d Bài tập 3.9 Tính gần a A = q3 ( 1,02) + ( 0,05) b B Lời giải 0,05; x = 1; y = Ta có a Xét hàm f f Khi f b Xét hàm f Ta có fx ′ Khi y f Bài tập 3.10 Tìm đạo hàm hàm số ẩn xác định phương trình sau x y y b arctg + = ; tính y′ a x3y − y3x = a4; tính y′ a c x + y + z = ez; tính z′x, z′y d x3 + y3 + z3 − a 3xyz = 0, tính z′x, z′y Lời giải a Xét hàm số ẩn F Vậy y′ 90 b Xét hàm số ẩn F ( x, y) = arctgcó nên ′ = ′ = )2 ′ +( + ) +( + ) = − +( + −2 − = ( + ) (a +(x+y) ) a y c Xét hàm số ẩn F ( x, y, z) ez có F ez nên zx yz; Fy′ = 3y2 − 3xz; Fz′ = d Xét hàm số ẩn F 3z2 − 3xy nên ′ z = 3yz − 3x ; z′ = 3xz − 3y2 − ( + ) = − xy Bài tập 3.11 Cho u = , tính u′x, u′y biết z hàm số ẩn x, y xác định phương trình z.ez = x.ex + y.ey Lời giải Xét hàm số F ( x, y, z) nên zez u′x = (1 + z x) − (x2+ z) ( y + z) −2( x + z)( zx) = ez +zez ez +xezez x (y + z) (y + z) Bài tập 3.12 Tìm đạo hàm hàm số ẩn y( x) , z( x) xác định hệ Lời giải Lấy đạo hàm hai vế phương trình hệ ta có nên y′x = xy−−−xyz z z′x = y−z 91 Bài tập 3.13 Phương trình z , xác định hàm ẩn z = z( x, y) Chứng minh x2z′ số F ( x, y, z) nên Lời giải Xét hàm − = 2z + √y2z−z2 z′x = x2 z 2z +y√2yy2−z2 √−− Từ suy x2z′ Bài tập 3.14 Tính đạo hàm riêng cấp hai hàm số sau a z b z z = arctg c y x = p + + ′′ = p + + ′′ = ′′ p + p + = = p + + + 2x Lời giải = p 2x2 + y2 a Ta cónên2 x+y x + y2 p xy2 z′′xx = 2ln( x + y) + 2x y x +y z′ = nên x x+y x xy c Ta z′x = y −2y = có nên x x + y 2−y z′ 2x2 x+y xy (x2 + y2)2 92 Bài tập 3.15 Tính vi phân cấp hai hàm số sau a z = xy2 − x2y Lời giải b z = ( x2 + y2) a Ta có dz dy nên d2z = −2y( dx) + ( y − x) dxdy+( 2y)( dy) b Ta có dz dy nên + 2x(x + y) −2 x2 x + y ( x + y) b Ta có 2p2 ( d − + − ) ( + )= (dx) dxdy §3 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ 3.1 Cực trị tự Định nghĩa 3.9 Chohàmsốz = f( x, y) xácđịnhtrongmộtmiềnD vàM0(x0, y0) ∈ D Tsnóirằnghàmsốf(x, y) đạtcực tạiM0 trị nếuvớimọiđiểmM tronglâncậnnàođócủa M0 nhưngkhácM0,hiệusốf(M) − f(M0) códấukhơngđổi • Nếuf( M) − f( M0) > trongmộtlâncậnnàođócủaM0 thìM0 đượcgọilàcực tiểu củahàmsốf tạiM0 • Nếuf( M) − f( M0) < trongmộtlâncậnnàođócủaM0 thìM0 đượcgọilàcực đại củahàmsốf tạiM0 Trong phần sử dụng kí hiệu sau: fxx”( M) , s = fxy”( M) , t = fyy”( M) p Định lý 3.27 Nếuhàmsố f( x, y) đạtcựctrịtạiM vàtạiđócácđạohàmriêngp = fx′( M) , q = fy(M) tồntạithìcácđạohàmriêngấybằngkhơng cócácđạohàmriêngđếncấphailiêntụctrong f( x, y) mộtlâncậnnàođócủaM0(x0, y0).GiảsửtạiM0 tacóp = q = 0,khiđó Định lý 3.28 Giảsửhàmsốz = 1.Nếus2 − rt < thìf(x, y) đạtcựctrịtạiM0.Đólàcựctiểunếur > 0,làcựcđạinếu r < 93 2.Nếus2 − rt > thìf( x, y) khơngđạtcựctrịtạiM0 Chú ý: Nếu s2 − rt = chưa kết luận điều điểm M0, cực trị,có phải khơng Trong trường hợp ta dùng định nghĩa để xét xem M0 cực trị hay không cách xét hiệu f( M) − f( M0) , xác định dấu lân cận M0 cực trị ngược lại Bài tập 3.16 Tìm cực trị hàm số sau a z = x2 + xy + y2 + x − y + b z = x + y − x.ey c z = 2x4 + y4 − x2 − 2y2 Lời d z = x2 + y2 − e−( x2+y2) giải a Xét hệ phương trình x 2y Vậy ta có q y zy M (−1,1) điểm tới hạn Ta cóVậy hàm số đạt cực trị tạiA M A > nên M điểm cực tiểu.nên B2 − AC = − = −3 < b Xét hệ phương trình Vậy hàm số có điểm tới hạn M ( 1,0) Ta có A nên B2 − AC = > Hàm số cho khơng có cực trị c Xét hệ phương trình Vậy điểm tới hạn hàm số M1 ( 0,0) ; M2 ( 0,1) ; , M3 ( −1) ; M ; M M ; M ; M ; M Ta có z – vớiTạizM=1( 00.,0) , A = −2; B = 0; C = −4; B2 − AC = −8 < nên M1 điểm cực đại – Tạikhông phải điểm cực đại vớiM2 ( 0,1) ; M3 ( 0, −1) ; A = −z2=; B0.= 0; C = 8; B2 − AC = 16 > nên M2, M3 94 AC = 16 > nên M4, M7 – Tại M điểm cực đại với z = – Tại M z , AC = −32 < nên M5, M6, M8, M9 điểm cực tiểu với giá trị x = q d Xét hệ phương trình y Vậy M( 0,0) điểm tới hạn Xét z z (x2+y2) z Tại M( 0,0) có A = 4; B = 0; C = 4; B2 − AC = −16 < 0; A > nên M hàm số đạt cực tiểu 3.2 Cực trị có điều kiện Cho tập mở U ⊂ R2 hàm số f : U → R Xét tốn tìm cực trị hàm số f biến x, y thoả mãn phương trình ϕ( x, y) = Ta nói điểm ( x0, y0) ∈ U thoả mãn điều kiện ϕ( x0, y0) = hàm f có cực đại tương đối (tương ứng cực tiểu tương đối) tồn lân cận V ⊂ U cho f( x, y) ≤ f( x0, y0) (tương ứng f( x, y) ≥ f( x0, y0) ) với ( x, y) ∈ V thoả mãn điều kiện ϕ( x, y) = Điểm ( x0, y0) gọi cực trị có điều kiện hàm số f( x, y) , điều kiện ϕ( x, y) = gọi điều kiện ràng buộc toán Nếu lân cận ( x0, y0) từ hệ thức ϕ( x, y) = ta xác định hàm số y = y( x) rõ ràng ( x0, y( x0)) cực trị địa phương hàm số biến số g( x) = f( x, y( x)) Như vậy, trường hợp toán tìm cực trị ràng buộc đưa tốn tìm cực trị tự hàm số biến số Ta xét toán sau Bài tập 3.17 Tìm cực trị có điều kiện a z = x1 + y1 với điều kiện x12 + y12 = a12 b z = x.y với điều kiện x + y = 95 Lời giải a Đặt x = sina t; y = cosa t, ta có x12 + y12 = a12 Khi 1 sint cos t z = + = + x ya a Ta có z′t Với t = ta có x Với t = a, hàm số đạt cực tiểu zCT a, hàm số đạt cực đại zCĐ = √a2 ta có x b Từ điều kiện x + y = ta suy y = − x Vậy z = xy = x( − x) Dễ dàng nhận thấy hàm số x = x(1 − x) đạt cực đại x = 21 zCĐ Tuy nhiên khơng phải lúc tìm hàm số y = y( x) từ điều kiện ϕ( x, y) = Do tốn tìm cực trị điều kiện lúc đưa tốn tìm cực trị tự Trong trường hợp ta dùng phương pháp Lagrange trình bày Định lý 3.29 (Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị điều kiện) GiảsửU làmộttập mởtrongR2,f : U → Rvà( x0, y0) làđiểmcựctrịcủahàmf vớiđiềukiệnϕ( x, y) = Hơnnữagiảthiếtrằng: a.Cáchàmf(x, y), ϕ( x, y) cócácđạohàmriêngliêntụctrongmộtlâncậncủa(x0, y0) b Khiđótồntạimộtsốλ0 cùngvớix0, y0 tạothànhnghiệmcủahệphươngtrìnhsau(đốivới λ, x, y) ∂ ∂φ ∂ =0 (3.3) vớiφ (x, y, λ) = f( x, y) + λϕ(x, y) đượcgọilàhàmLagrange Định lý điều kiện cần cực trị có ràng buộc Giải hệ phương trình 3.3 ta thu điểm tới hạn Giả sử M( x0, y0) điểm tới hạn ứng với giá trị λ0 Ta có φ ( x, y, λ0) − φ ( x0, y0, λ0) = f( x, y) + λ0ϕ( x, y) − f( x0, y0) − λ0ϕ( x0, y0) = f( x, y) − f( x0, y0) nên M điểm cực trị hàm số φ ( x, y, λ0) M điểm cực trị hàm số f( x, y) với điều kiện ϕ( x, y) = Muốn xét xem M có phải điểm cực trị hàm số φ ( x, y, λ0) hay không ta quay lại sử dụng định lý 3.28 tính vi phân cấp hai 2 d2dxdydy2 x xy y 96 dx dy liên hệ với hệ thức hay ∂ϕ (x , y ) dy = − ∂ϕx dx (x , y ) Thay biểu thức dy vào d2φ ( x0, y0, λ0) ta có d2φ ( x0, y0, λ0) = G( x0, y0, λ0) dx2 Từ suy • Nếu G( x0, y0, λ0) > ( x0, y0) điểm cực tiểu có điều kiện • Nếu G( x0, y0, λ0) < ( x0, y0) điểm cực đại có điều kiện Bài tập 3.18 Tìm cực trị có điều kiện hàm số z = x1 + 1y với điều kiện x1 + y1 = a1 hệ phương trình Lời giải Xét hàm số Lagrange Từ ta thu hạn Mứng vớiứng với Ta có điểm tới d Từ ∂x2 ∂x∂ydxdy ∂y2 điều x3 x4 y3 kiệnsuy y4 dy2 ranên dy = −y33 dx, thay vào biểu thức x d2 φ ta có • Tại Mnên M1 điểm cực đại có điều kiện • Tại M nên M2 điểm cực tiểu có điều kiện 97 3.3 Giá trị lớn - Giá trị nhỏ Giả sử f : A → R hàm số liên tục tập hợp đóng A R2 Khi đó, f đạt giá trị lớn giá trị nhỏ A Để tìm giá trị ta tìm giá trị hàm số tất điểm dừng miền A điểm đạo hàm riêng khơng tồn tại, sau so sánh giá trị với giá trị hàm biên ∂A A (tức ta phải xét cực trị có điều kiện) Bài tập 3.19 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: a z = x2y( − x − y) hình tam giác giới hạn đường x = 0, y = 0, x + y = b z = sin x + sin y + sin( x + y) hình chữ nhật giới hạn đường x = 0, x = ... nghĩa tích phân xác định 2.2 Các tiêu chuẩn khả tích 2.3 Các tính chất tích phân xác định 50 2.4 Tích phân với cận thay đổi (hàm tích phân) 2.5 Các phương pháp tính tích phân... 1.2 Các phương pháp tính tích phân bất định 1.3 Tích phân hàm phân thức hữu tỷ 43 1.4 Tích phân hàm lượng giác 1.5 Tích phân biểu thức vơ tỷ Tích phân xác định 37 ... n→+∞ Bài tập 1.20 Chứng minh n→lim+∞ n n = Lời giải n 2 Dùng nguyên lý kẹp ta có điều phải chứng minh Giới hạn hàm số 13 n→+∞ n! Bài tập 1.21 Chứng minh Lời giải Ta có 0< = < n ≥ n! n n Bài