Báo cáo bài tập lớn giải tích 2 ôn tập các dạng bài đã học và sưu tầm các ví dụ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH CHỦ ĐỀ : ÔN TẬP CÁC DẠNG BÀI ĐÃ HỌC VÀ SƯU TẦM CÁC VÍ DỤ Giảng viên hướng dẫn :Huỳnh Thị Hồng Diễm Nhóm lớp: L21,nhóm:07 Tp Hồ Chí Minh,Ngày tháng năm 2021 Mục lục Sinh viên thực hiên:………………………………………… Hoàn thành chủ đề:……………………………………… I: Bài làm thành viên…………………………………… II:Nội dung …………………………………………………… Chủ đề 1:Vector Gradient, mặt phẳng tiếp diện Chủ đề 2: Vi phân Chủ đề 3: Đạo hàm hàm nhiều biến Chủ đề 4: Ứng dụng hình học tích phân kép Chủ đề 5: Tích phân bội ba Chủ đề 6: Tích phân đường Chủ đề : Tích phân mặt Chủ đề : Chuỗi ( chuỗi số,chuỗi lũy thừa) Danh sách thành viên nhóm (L21) : + Lê Hoàng Đức + Nguyễn Hữu Hạnh -MSSV: 2012991 -MSSV: 2013095 + Hồ Thanh Hải -MSSV: 2013066 + Nguyễn Tấn Hào -MSSV: 2013053 + Phan Anh Hào -MSSV: 2013055 + Trần Công Hiển -MSSV: 2013188 + Đặng Trung Hiếu -MSSV: 2013137 + Đỗ Hữu Trung Hiếu -MSSV: 2013138 I/ Bài làm thành viên STT:01 Tên: Đặng Trung Hiếu MSSV:2013137 Chủ đề 1: Vector Gradient, mặt phẳng tiết diện Ví dụ 1: Cho f(x,y) = +2x+4xy, M(1;2) , Mo(3;5) Tìm đạo hàm f M theo hướng với vecto đơn vị Giải: = +2+4y = +4x =( (M), (M))= == = (M)= (M).l₁ + (M).l₂= =4 Ví dụ 2: Viết phương trình mặt phẳng tiếp diện mặt cong điểm P ( Giải: Đặt F(x,y,z) = Ta có: F’x = 2x ; F’y = 2y ; F’z = 2z Tại P ( ta có F’x = ; F’y = ; F’z = Phương trình mặt phẳng tiếp diện mặt cong P : ( x - + (y–+ (zHay x + y +z – =0 Chủ đề 2: Vi phân Ví dụ 1: Tính vi phân hàm số f(x,y)= tan( ? Giải: (x,y)= = (x,y)= = (x,y)dx+ (x,y)dy = + Ví dụ 2:Cho hàm số f(x,y) = Tính df(1;-1)? Giải: = =8 = = -5 (x,y)dx+ (x,y)dy= 8dx-5dy Chủ đề 3: Đạo hàm hàm nhiều biến: Ví dụ 1: Cho doanh nghiệp sản xuất mặt hang với giá P₁= 60 P₂=75 Hàm chi phí C= Q₁²+ Q₁².Q₂²+ Q₂² Tìm mức sản lượng Q₁, Q₂ doanh nghiệp cần sản xuất để lợi nhuận cực đại ? Giải: Hàm doanh thu : R= P₁Q₁+ P₂Q₂= 60Q₁+75Q₂ Hàm chi phí: C= Q₁²+ Q₁².Q₂²+ Q₂² Hàm lợi nhuận: =R – C =60Q₁+75Q₂ - (Q₁²+ Q₁².Q₂²+ Q₂²) = -2 ; = -1 ;= -2 Xét điểm M( 15; 30) có Vì = -2 < nên M( 15;30) điểm cực đại đơn vị sản xuất 15 đơn vị hàng hóa thứ 30 đơn vị hàng hóa thứ hai Chủ đề 4: Ứng dụng hình học tích phân kép Ví dụ 1: Tính với D={ ? Giải: Chiếu lên trục Oy: D: = = Ví dụ 2: Tính diện tích miền D giới hạn Giải Ta có: S= , đặt S= = = Chủ đề 5: Tích phân bội ba Ví dụ 1: Tính I = với D miền giới hạn z +; z = Hình chiếu V xuống mặt phẳng Oxy hình trịn Giải: Chuyển sang hệ tọa độ trụ V giới hạn I= = Ví dụ 2: Tính I= với V miền giới hạn Giải: Chuyển sang hệ tọa độ cầu :, miền V giới hạn I= = Chủ đề 6: Tích phân đường Ví dụ 1: Tính ; C đường cong ; Giải: ◦ = 2a Ví dụ 2: Tính ? Giải: Đặt: Từ cơng thức Green : Đặt Vậy Chủ đề 7: Tích phân mặt Ví dụ 1: Tìm phần diện tích mặt Parabolic có phương trình z = 1-x²-y² nằm mặt trụ x²+y²=1 Giải: S= Có: , Đặt với S= = Ví dụ 2: Tính S nửa mặt cầu , hướng chiếu S phía ngồi mặt cầu.? Giải: Ta có mặt ; hình chiếu S lên mặt phẳng Oxy miền D: Hơn tạo với Oz góc nhọn nên: Đặt Chủ đề 8: Chuỗi Ví dụ 1: Xét hội tụ phân kì chuỗi số? Giải: Ta có: Mà hội tự Ví dụ 2:Khảo sát hội tụ phân kì chuỗi Giải: ◦= = = = >1 nên chuỗi phân kì STT:02 Tên:Nguyễn Tấn Hào MSSV: 2013053 Chủ đề 1: Vector Gradient, mặt phẳng tiết diện Ví dụ 1:Tìm đạo hàm điểm theo hướng pháp véctơ đường tròn Giải: => => Véctơ đơn vị => => Ví dụ 2: Viết phương trình mặt tiếp diện phương trình pháp tuyến với mặt cong A(2,1,1) Giải: => Phương trình mặt phẳng tiếp diện: Phương trình pháp tuyến: Chủ đề 2:Vi phân Ví dụ 1: Cho hàm số Tìm Giải: , Ví dụ 2: Tìm dz/dt với x = cost, y = sint ? Giải: Ta có: , , , 10 2 7.1 Phễu có dạng hình nón z  x  y giới hạn mặt phẳng z 0.5 mặt phẳng z 4 S : z  x  y  dS    z x    z y  dxdy  2dxdy Ta có: Chiếu xuống mặt phẳng Oxy  0.5 r  D : 0  2 Đặt x r cos , y r sin  Khối lượng phễu: m p( x, y , z ) dS S 76  14  x  x  y D 2 0.5  2dxdy  d  14  r cos  2r rdr 2  203 511     cos d 24  3 406   601.27 S1 7.2 Gọi x  y  z 0 mặt phẳng Lấy mặt phẳng S1 S  S1 tạo thành mặt kín vật thể  có pháp vecto hướng phía ngồi vật thể  Theo cơng thức Gauss – Ostrogratxki, ta có: I1   x  y  dydyz   y  3z  dzdx   z  3x  dxdy S S G O     1 dxdydz 4dxdydz   Nhận thấy mặt phẳng đơi với R 2 S1 cắt hình cầu làm 4 64  I   4dxdydz 4 2    Với I2  I  diện tích mặt S1 Xét  I : z  x  y  n    1, 1, 1  x  y  z dS 0  3 S1 77 64  I I1  I  Chủ đề 8: Chuỗi  Ví dụ 1:Khảo s9t s; hô=i t> Giải: Tổng riêng k k 1 2k  ( k 1) 2 t@nh tAng cB 2.1 2.2  2.k     Sk  (1 1)2 22 (2  1)2 k (k  1)2 1 1 1        2 k (k  1)2  1   k  1 (k 1)2  Vâ ›y chuỗi hô i› tụ k k 1 2k  1 ( k 1) 2 STT: 08 Tên:Lê Hoàng Đức MSSV:2012991 Chủ đề 1:Vectơ Gradient,mặt phẳng tiếp diện Ví dụ 1: Đặt đĩa phẳng kim loại hệ trục tọa độ Oxy Nhiệt độ điểm đĩa cho công thức T(x, y) = x  xy Trên đĩa có hạt tìm nhiệt thiết kế để ln di chuyển theo hướng nhiệt tăng nhanh Khi đặt hạt điểm M(1, 2), di chuyển theo hướng nào? 2 Giải: 78 T' x 2 x  y2 ;T y ' 2 xy  T (1; 2) (T 'x (1;2);T 'y (1; 2)) (6; 4) Vậy đặt hạt điểm M(1, 2), di chuyển theo hướng nhiệt tăng nhanh hướng vecto gradient T (1; 2) =(6;4) Ví dụ 2: Viết phương trình mặt phẳng tiếp diện mặt trụ paraboloid y + z - = điểm M (1;  2; 2) Giải: Phương trình mặt phẳng tiếp diện mặt trụ paraboloid y + z2 - = điểm M (1;  2; 2) z-  ' (y 2 ) ' f(x0 ;y0 ) = f x (x0 ;y0 )(x - x0 ) + f y (x0 ;y0 )(y - y0 ) z – = 0(x - 1) -  2 y2 với z = f(x;y) = (y + 2) 4z + y – = Vậy phương trình mặt phẳng tiếp diện mặt trụ paraboloid y + z - = điểm M (1;  2; 2) mặt phẳng : 4z + y – = Chủ đề 2: Vi phân Ví dụ 1:Tìm df với f(x;y)= x  3xy  y2 Giải: Theo công thức vi phân ta có: ' df = f dx + x f' y dy = (2x + 3y)dx + (3x − 2y)dy Ví dụ 2: Tìm vi phân cấp hai f(x, y)= x x=1;y=2 79 y  y3 + x3  y x Giải: y 2y f 'x 2xy  3x  ; f ''xx  y  6x  x x  f '' xx (1;2) 14 f '' xy 2x   f ''xy (1;2) 1 x f ' y x  y  ; f '' yy 6 y  f '' yy(1; 2) 12 x d f ( x0; y0 )  f ' xx ( x0; y0 ) dx  f ''xy ( x0; y0 ) dxdy  f '' yy ( x0; y0 ) dy  d f (1;2) 14 dx  dxdy 12 dy Chủ đề 3:Đạo hàm hàm nhiều biến( BT thực tế) Ví dụ 1: Một hộp có chiều dài x (m), chiều rộng y (m) chiều cao z (m) Tại thời điểm xác định, x = 3(m) y = z = (m), y z tăng với tốc độ (m/s) x giảm với tốc độ (m/s) Tại thời điểm đó, tốc độ biến thiên thể tích Giải: Gọi V thể tích hộp   V xyz Tốc độ biến thiên thể tích điểm(3;2;2) dV (3; 2;2) V 'x (3; 2;2)dx  V 'y (3;2;2)dy  V z' (3;2;2)dz V ' x yz  V ' x (3; 2;2) 4;V ' y xz  V ' y (3; 2; 2) 6;V ' z xy  V ' z (3; 2; 2) 6 Với V ' x (3; 2;2)dx  V ' y (3; 2; 2)dy  V ' z (3; 2; 2) dx  1; dy 2; dz 2  dV (3; 2; 2) 4.( 1)  6.2  6.2 20 Vậy tốc độ biến thiên thể tích thời điểm tăng 20( cm /s) 80 Ví dụ 2: Chỉ số cảm nhiệt ( C ) mơ hình hóa hàm số W(T,v) 13,12  0,6215T  11,37 v0,16  0,3965Tv0,16 T nhiệt độ mơi trường ( C ) v tốc độ gió (km/h) Khi T = 30 C v = 30 (km/h), 0 số cảm nhiệt W tăng nhiệt độ môi trường tăng C? Giải: ' 0,16 W T 0,6215  0, 3965v  W ' T (30;30) 1,3 C Vậy số cảm nhiệt W tăng 1,3 C nhiệt độ môi trường tăng 1C 0 Chủ đề 4:Ứng dụng tích phân kép Ví dụ 1: Tìm khối lượng m phẳng D giới hạn y x ; y 2  x , biết hàm mật độ điểm (x, y) D ρ (x, y) = − x Bỏ qua đơn vị tính Giải: x2 2  x  x 1; x  Khối lượng M= 2 x dx 2  x  (2  x) y 2 x 2 dx  (2  x)(2  x  x 2)dx 11, 25 2 x x2 2 Vậy khối lượng phẳng D 11,25 Ví dụ 2:Tính diện tích phần hình trịn đường  x  y x Giải: 81 x  y 2 x giới hạn Phương pháp tọa độ cực Đặt x r cos ; y rsin   r2 cos2   r2 sin2  2 r cos   r 2 cos   Với     4  Diện tích hình S=  d  2cos    4  rdr  2 cos2  d      1 Vậy diện tích hình Chủ đề 5:Tích phân bội ba Ví dụ 1:Câu 2-Ca 2-Đề thi CHK 192 Cho Ω miền giới hạn mặt cong : x z 9  x2020  y 2022   y 9, z  x 2020  y 2022  Tính thể tích miền Ω (bỏ qua đơn vị tính) Giải: Thể tích vật thể : x2020  y2022 1 9 V dxdydz dxdy  D  x 2020 y 2022 dz  9dxdy  1 D x r cos ; y  rsin   (r cos )2  (r sin )2 9 Đặt:  r 3 2 với   2 2 81  V  d  9 rdr   d  81 0 82 với D: x  y 9 Vậy thể tích vật thể 81  Ví dụ 2:Câu 4-Ca 1-Đề thi CHK 172 Tính I   x  y dxdydz  ,trong Ω miền cho z  x2  y2 , x2  y2  z2 4z x y , Giải: Phương pháp tọa độ cầu Đặt x   sin  cos y   sin  sin  z   cos  3z  x  y  3 cos  ( sin cos )  ( sin sin )   tan      x  y  z 4z  ( sin cos )2  ( sin sin )2  ( cos )2 4 cos    4 cos   Chiếu Ω xuống mặt phẳng Oxy,ta I   x  y dxdydz    4cos 3  0   d d    3   4 sin  d    Chủ đề 6:Tích phân đường Ví dụ 1:Câu 4-Ca 3-Đề thi CHK192 Trong lần thử nghiệm máy bay mơ hình,do lỗi thiết bị điều khiển,máy bay bay 10s chạm vào tường rơi 83 xuống.Chuyển động máy bay mơ tả phương trình tham số x(t) = , y(t) = t - 3sint , z(t) = - 3cost Trong x(t),y(t),z(t) tính theo mét (m) ,và t tính theo giây (s) Tính độ dài đường bay máy bay lần thử nghiệm Giải: ' ' ' x (t) = 0, y (t) = - 3cost , z (t) = 3sint Độ dài đường bay máy bay: 10  ( x (t )) ' L=  ( y ' (t ))  ( z ' (t )) dt 10 0 =  (1  3cos t )  (3sint) dt 10  10  6cos tdt  31,34 mét 84 Vậy độ dài đường bay máy bay lần thử nghiệm 31,34 mét Ví dụ 2:Câu 3-Ca 1- Đề thi CHK 182 Cho miền phẳng D: D.Tính x2  y2 4, x 1 (x  1)dy  ydx I  x2 y2 C C biên định hướng dương Giải: C1 x :1     t :  5  3 Tham số hóa C2 x 1, y t  x ' 0, y ' 1 : y: :  x' 2sin t, y' 2 cos t Tham số hóa x 2cost , y 2 sint   3   t:  2 2 I I  I (x  1)dy  ydx I1   x2  y C1 5 = (2 cos t  1)2 cos t  2sin t.( sint) dt 4 (2 cos t )2  (2 sin t)2     3 ( x  1)dy  ydx   I   x2  y2 C2  I I  I  (1  1).1  t.0 0 2 t 4  Chủ đề 7:Tích phân mặt Ví dụ 1:Câu 5-Ca 1-Đề thi CHK 192 85 Một phễu kim loại mỏng có hình dạng phần mặt 2 nón z  x  y ứng với 0,5 z 4 Tính khối lượng phễu,biết mật độ điểm ( x, y, z) ứng với  ( x, y, z ) 14  x  z bỏ qua đơn vị tính Giải: Khối lượng phễu: M  ( x, y, z) dS S  ( x, y, z)  Z 'x  Z 'y dxdy với D hình chiếu phễu lên mặt D phẳng = Oxy (14  x  x2  y )  D x2 y2  dxdy x2  y2 x2  y2  (14  r cos   r) dxdy D 0,5  x  y 4  0,5 r 4;  2 2 0,5  M  d  r (14  r cos   2r )dr = 406  Vậy khối lượng phễu 406  601, 27 Ví dụ 2:Câu 6-Ca 2-Đề thi CHK 192 2 Cho (S ) mặt cầu x  y  z ngồi.Tính tích phân mặt 9 ,biết I  xdydz  xydxdz  z 3dxdy S Giải: 86 (S ) định hướng phía I  xdydz  xydxdz  z 3dxdy S = = (( x) ' x  (  xy)'y  (z3 )'z ) dxdydz  (1  x  3z )dxdydz  x   sin  cos y   sin  sin  z   cos  Đặt (Công thức Gauss-Ostrogratxki)  : x2  y2  z2 9 ; x2  y2  z2 9  ( sin cos )2  ( sin sin )2  ( cos )2 9   3 Chiếu Ω lên Oxy ta hình trịn  2 0 x2  y2 9   2  I d  d   sin  (1   sin  cos  3  cos 2 )d  1152 = Chủ đề 8:Chuỗi Ví dụ 1:Câu 8-Ca 3-Đề thi CHK 192  Khảo sát hội tụ chuỗi  ( 1) n 1 n 1 Giải: Đặt U  lim Un lim n  n  n n  4n  n 0 4n  87 n n2  Un'  4n  1 8n (n  2)  4n  16n   (2n  4)  17   (4 n2 1)2 (4 n2 1)2 (4n2 1)2 U 'n  với  Vậy chuỗi n 1  U n  ( 1) n 1 n 1 n 4n  giảm hội tụ theo tiêu chuyển Leinitz Ví dụ 2:Xét phân kì ,hơi tụ chuỗi Giải: Khi n  2 n  e n n   n3   n n n3 Vậy chuỗi n  e n n n 1   phân kì 2   1 88  n e n n1 n 1   89 90 ... thể giới hạn x2+y2=1,z =2- x2-y2,z=0 ? Giải: + Hình chiếu E xuống Oxy: D:x2+y21 + Mặt phía z =2- x2-y2 + Mặt phía z=0 Vậy ta có tích phân sau: I= =.dx.dy =.dr.d = 22 Ví dụ 2: Tính tích phân bội ba... paraboloid Dxy :x2+z21 + Phương trình mặt phẳng S: y=1-x2-z2 => Vậy S=.dx.dz = =-1 Ví dụ 2 :Tích phân mặt loại Tính I = với S : mặt phía ngồi mặt cầu x2 + y2 + z2 = R2 Giải: 26 Gọi S1, S2 nửa mặt cầu... M(1 ,2, 2) 120 0C Tìm tốc độ biến thiên T M theo hướng đến điểm N (2, 1,3) ? Giải: Ta có :T(x,y,z)= Tại M(1 ,2, 2) có nhiệt độ 120 0C thì: TM(1 ,2, 2)= 120 0C Suy = 120 => c=360 Vậy T= +=(1,-1,1); =(1 ,2, 2)