Đề tài: Kích thích sự sáng tạo của học sinh trong việc vận dụng bài toán dạng phân tích đa thức thành nhân tử vào việc giải các dạng bài toán khác trong chương trình lớp 8 bậc THCS39747

Đề tài: Kích thích sáng tạo học sinh việc vận dụng toán dạng phân tích đa thức thành nhân tử vào việc giải dạng toán khác chương trình lớp bậc THCS Đặt vấn đề Trong bối cảnh toàn Ngành Giáo dục Đào tạo nỗ lực đổi phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động học sinh hoạt động học tập, để đáp ứng đòi hỏi đổi đặt cho bùng nổ kiến thức sáng tạo kiến thức mới, cần phải phát triển lực tư duy, lực giải vấn đề tính sáng tạo Rèn luyện kỹ tư sáng tạo, kích thích phát triển tư sáng tạo yêu cầu thiếu việc dạy học giải tập tất môn học nói chung, có môn Toán học Vấn đề lại đặc biệt ý đối tượng học sinh giỏi; với công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Trong năm gần đây, thân phân công dạy chương trình nâng cao bồi dưỡng học sinh giỏi, nhận thấy hầu hết học sinh thường khai thác kiện toán cách phiến diện chưa triệt để, sáng tạo mà phụ thuộc vào sách giáo khoa, hướng dẫn giáo viên cách rập khuôn, máy móc Vì vậy, gặp toán dạng thay đổi kiên, cách hỏi,thì em thường bí mà chưa biết sáng tạo, phát tìm từ đà biết Làm để xoá cách nhìn xơ cứng học sinh trước toán? Đó câu hỏi thường trực đặt đầu tôi.Thực điều việc làm khó khăn, hai mà đòi hỏi người thầy giáo phải có kiến thức vững vàng, có khả thâu tóm vấn đề tốt, phải luôn chịu khó tích luỹ, có lòng ham mê khoa học truyền lòng ham mê tới học sinh Phát từ đà biết đà tạo cho em sù nh¹y bÐn t­ duy, høng thó häc tập điều quan trọng em học sinh giỏi Dưới hướng dẫn, gợi mở giáo viên em hái lượm kết thú vị từ toán đơn giản.Bằng cách phát tính chất toán, cách diễn đạt toán hình thức khác, nói toán nào, ta thu kết nhiều bất ngờ Từ thực tế giảng dạy môn Toán trường THCS nhiều năm, nhận thấy việc kích thích sáng tạo, linh hoạt học sinh giải tập Toán DeThiMau.vn việc làm cần thiết, để từ giúp học sinh tìm tòi, sáng tạo gây hứng thú học toán II-Giải vấn đề 1.Một số nguyên nhân thường gặp Tìm hiểu qua số học sinh đồng nghiệp, phát thấy số nguyên nhân sau: - Do học sinh chưa khai thác đề cách triệt để, toàn diện - Chưa nắm chất số toán - Chưa chịu khó tìm tòi, sáng tạo làm - Đặc biệt em chưa biết phát qua kiến thức đà biết vận dụng lúc, chỗ Từ nguyên nhân trên, thiết nghĩ: Để kích thích phát huy khả tư học sinh, người thầy giáo phải giúp em nhìn nhận vấn đề góc độ khác Đặc biệt từ điều đà biết, hình thức diễn tả khác chọn hình thức phù hợp với trình độ học sinh, yêu cầu học sinh giải tập từ khai thác tri thức tìm tình áp dụng cụ thể việc giải tập tương ứng, nội dung lại từ tài liệu sách giáo khoa, tri thức đà khai thác sử dụng hiệu Điều làm sáng rõ qua số toán sau 2.Giải pháp Trước hết giúp học sinh khai thác kỹ, nắm rõ chất hai toán bản: Bài toán 1: Phân tích đa thức: x3 +y3 +z3 -3xyz thành nhân tử + Tìm hiểu toán: Đề đòi hỏi ta phải phân tích đa thức đà cho thành nhân tử tức biến đổi tổng ®· cho thµnh mét tÝch gåm hai hay nhiỊu thõa số + Hướng dẫn cách tìm lời giải: ta đà biết phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: đặt nhân tử chung; dùng đẳng thức; nhóm nhiều hạng tử Thông thường phải phối hợp phương pháp cách linh hoạt để phân tích toán phương pháp chưa sử dụng Bởi ta phải sử dụng phương pháp khác thêm bớt hạng tử Vậy hạng tử cần thêm bớt để làm xuất đẳng thức lập phương tổng sau ta lại áp dụng tiếp đẳng thức tổng lập phương vào để phân tích? Bằng câu hỏi gợi mở, giáo viên học sinh thảo luận đưa lời giải Có thể giáo viên hướng dẫn cho học sinh theo s¬ sau: x3 +y3 +z3 – 3xyz  DeThiMau.vn x3 +y3 + 3xy(x+y) +z3 – 3xy(x+y) – 3xyz hc: x3 +z3 + 3xz(x+z) +y3 – 3xz(x+z) – 3xyz hc: y3 +z3 + 3yz(y+z) +x3 – 3yz(y+z) – 3xyz  3 (x+y) +z – 3xy(x+y+z) hc: (x+z)3 +y3 – 3xz(x+y+z) hc: (y+z)3 +x3 – 3yz(x+y+z)  (x+y+z) (x+y) – (x+y)z +z2 - 3xy(x+y+z) hc: (x+y+z) (x+z)2 – (x+z)y + y2 - 3xz(x+y+z) hc: (x+y+z)  (y+z)2 – (y+z)x + x2 - 3yz(x+y+x)  2 (x+y+z)(x +y +z2 xy yz xz) Bài toán 2: Chứng minh x3 +y3 +z3 = 3xyz vµ chØ x +y +z =0 x= y= z Hướng dẫn giải: Ta cã: x3 +y3 +z3 =3xyz  x3 +y3 +z3 – 3xyz =0  (x+y+z)(x2 +y2 +z2 –xy –xz –yz) = (kết toán 1) (x+y+z)(2x2 +2y2 +2z2 –2xy –2xz –2yz) =0  (x+y+z)(x-y)2 +(x-z)2 +(y-z)2 =   x+y+z = hc (x-y)2 +(x-z)2 +(y-z)2 =  x+y+z = hc x=y=z Vận dụng hai toán trên, em dễ dàng giải số toán diễn đạt hình thức khác; số có yêu cầu mức độ cao kể khó em Chẳng hạn: Bài toán 3: Chứng minh x,y,z z x3 +y3 +z3 3xyz chia hết cho x+y+z toán ta đà phân tích được:x3 +y3 +z3 3xyz = (x+y+z)(x2 +y2 +z2 xy yz xz), điều giúp học sinh chứng minh được:x3 +y3 +z3 3xyz chia hết cho x+y+z Bài toán Chứng minh x3 +y3 +z3 3xyz vµ chØ x+y+z  H­íng dÉn gi¶i: Tõ x3 +y3 +z3 3xyz, chun vÕ ta cã: x3 +y3 +z3 -3xyz < Khai triển vế trái cách áp dụng kết to¸n 1, ta cã: DeThiMau.vn (x+y+z)(x-y)2 +(x-z)2 +(y-z)2  x+y+z  (v× (x-y)2 +(x-z)2 +(y-z)2  0).Từ cho học sinh nêu lên lời giải toán Bài toán 5: Chứng minh x3 +y3 +z3 3xyz x+y+z (Giải tương tự tập 4) Bài toán Cho a3 +b3 +c3 = 3abc, tÝnh a b a M=(1 + ) (1 + b N= b c ) (1+ ) c a abc (a  b)(b  c)(c  a ) Phân tích: Để giải toán ta phải biết khai thác từ giả thiết : a3 + b3 + c3 = 3abc  a3 + b3 + c3 3abc = 0, đến áp dụng toán ta có : a + b + c = a= b = c.Từ hướng dẫn học sinh giải toán theo trình tự sau: Giải 3 a.Từ giả thiết a +b +c 3abc =0 a+b+c =0 a=b=c.(bài to¸n 2) + NÕu a+b+c =0  a+b=-c; b+c=-a; c+a=-b th× a b M=(1 + ) (1 + b c ab bc ac (c).(a ).(b) ) (1+ ) = = =-1 c a b c a abc + NÕu a=b=c th× M = (1+ a b c )(1+ )(1+ ) b c a Hay M = (1+1)(1+1)(1+1) = b.giải tương tự ta có:+Nếu a+b+c =0 N=-1 +Nếu a=b=c N= Bài toán 7.a Cho x+y+z =0, tính: P = x2 yz 2.2.2 = 8 + y2 yz + z xy Với toán gi¶ thiÕt cho biÕt; x+ y + z = 0, áp dụng kết toán ta có: x3 +y3 +z3 = 3xyz Khai triÓn biÓu thøc P để làm xuất điều toán đà cho sau thay vào ta tính giá trị P Ta giải toán sau: DeThiMau.vn x3 Tõ gi¶ thiÕt x+y+z = P 2 = = xyz(bài toán 2) x y z3 + + xyz xyz xyz = 3xyz =3 xyz x y z + + yz yz xy = (x3 +y3 + z3) xyz = Gi¶i +y3 +z3 b Cho x+y+z = x,y,z khác 0, tÝnh: x2 y2 z2 Q= 2 + 2 + 2 x y z y z x z y x Tương tự câu a, ta giải câu b: Từ x+y+z = x = -(y+z); y = -(z+x); z = -(x+y);  x2 – y2 –z2 = 2yz; y2 –z2 – x2 = 2zx; x3 +y3 +z3 = 3xyz (bài toán 2)  Q z2 – x2 – y2 = 2xy x2 y2 z2 = 2 + 2 + 2 x y z y z x z y x x3 y3 z3 = + + yz zx xy x3  y3  z = 2xyz xyz = = xyz Bài tập Tính giá trị biểu thức A=( ab bc ca c a b + + )( + + ), biÕt r»ng: a+b+c = c a b ab bc ca Gi¶i ab bc ca + + c a b c c bc ca B = + ( + ) ab ab a b Gäi B = Ta cã: = b  bc  ac  a c + ab ab =1+ c (b  c)(c  a  b) 2c 2c =1+ =1+ ab ab ab abc DeThiMau.vn a 2a =1+ bc abc 2b b B =1+ ca abc 3 2(a  b  c ) 2.3abc VËy A = + =3+ = + = ( v× a3 + b3 + c3 = 3abc) abc abc Tương tự: B Bài to¸n 10.Cho a + b + c + d = Chøng minh r»ng: a3 +b3 +c3 +d3 = 3(c + d)(ab – cd) = 3(a + b)(cd – ab) = 3(a + c)(bd ac) Phân tích: Từ kiện toán đà cho: a + b + c + d = 0, ta nhãm hai hạng tử để làm xuất tổng ba hạng tư b»ng kh«ng (a + b + (c+d) = ), để từ áp dụng kết toán ta cã: a3 + b3 +(c+d)3 = 3ab(c+d), khai triển tiếp vế trái đẳng thức ta được: a3 +b3 +c3 +d3 +3cd(c+d) = 3ab(c+d) Nªn ta cã thĨ giải toán sau: Giải Thật vậy,từ giả thiết ®· cho: a + b + c +d = a + b + (c+d) =  a3 + b3 +(c+d)3 = 3ab(c+d)(bài toán 2) a3 +b3 +c3 +d3 +3cd(c+d) = 3ab(c+d)  a3 +b3 +c3 +d3 = 3ab(c+d) – 3cd(c+d) = 3(c+d)(ab – cd) T­¬ng tù ta có đẳng thức Bài toán 11 Giải phương trình: a, (2x 5)3 + (4 3x)3 + (x +1)3 = (1) 3 b, (x – 1) + (2x – 3) + (3x – 5) - 3(x – 1)(2x – 3)(3x – 5) = (2) Phân tích: a.Khi ta đặt: a= 2x – b = 4- 3x c=x+1 ta cã: a + b + c = 2x- + – 3x + x + =0 Phương trình (1) trở thành: a3 +b3 + c3 = Từ toán 2: a +b +c =  a3 +b3 +c3 = 3abc, Ta cã: (1)  3(2x – 5)(3x – 4)(x + 1) = Giải phương trình tích ta có tập nghiệm phương trình(1) là:S = -1; ; b Ta đặt: a=x1 b = 2x – c = 3x – Phương trình (2) trở thành: a3 +b3 +c3 - 3abc = 0; Từ toán 1; a3 + b3 + c3 – 3abc = (a+b+c)(a2 +b2 + c2 –ab –bc –ca) DeThiMau.vn = (a+b+c)(a-b)2 +(b-c)2 +(c-a)2 (x-1+2x-3+3x-5) )(x-2)2 +(2x- 4)2 +(x- 2)2 =  (6x 9).6(x 2)2 = Ta được: (2)   9(x – 2)2(2x – 3) = Giải phương trình tích ta có tập nghiệm phương trình(2) là:S = 2; Bài toán 11.Phân tích đa thức thành nhân tử: a, (x-y)3 + (y-z)3 + (z-x)3 b, (x+y+z)3 + (x-y-z)3 + (y-z-x)3 + (z-x-y)3 Hướng dẫn giải a, Đặt a = x-y b = y-z c = z-x Th× a+b+c = VËn dụng toán 1, ta có: (x-y)3 + (y-z)3 + (z-x)3 = 3(x-y)(y-z)(z-x) b, Đặt a = x-y-z b = y-z-x c = z-x-y x+y+z = -a-b-c áp dụng to¸n 10 ta cã: (x+y+z)3 + (x-y-z)3 + (y-z-x)3 + (z-x-y)3 = (-a-b-c)3 +a3 +b3 + c3 = 3(b+c)(-a-b-c)a – bc  = 3(b+c)(-a2 – ab – ac – bc) = -3(b+c)(a+b)(a+c) = 12 xyz 3 VËy (x+y+z) + (x-y-z) + (y-z-x) + (z-x-y)3 = 12 xyz Bµi to¸n 12 Cho a a + b b + c c - abc = 0, tÝnh P = (1 + a ) (1 + b b ) (1 + c c ) a H­íng dÉn: Tõ a a + b b + c c = abc  ( a )3 + ( b )3 + ( c )3 - a b c = Đặt A = a ; B = b ; C = c toán toán 6a Kết luận: DeThiMau.vn Như toán 10,11,12 ta thấy có phức tạp toán mặt đòi hỏi người giải toán biết dịch chuyển tình tình trước Nghĩa biết quy lạ quen nhìn thấy cấu trúc; chức đối tượng Mặt khác biĨu thøc ®ã cịng cã sù tham gia nhiỊu ®èi tượng đòi hỏi chất lượng hoạt động cao Đặc biệt 12, cách diễn tả 6a sang dạng thức(Vô tỉ hoá biểu thức hữu tỉ) ta có toán thích hợp cho đối tượng học sinh học biến đổi đồng biểu thức vô tỉ Tương tự cách làm ta chuyển toán thành toán với biểu thức vô tỉ III-kết việc áp dụng sáng kiến kinh nghiệm trình giảng dạy Sau trình vận dụng việc khai thác, nhìn nhận đánh giá toán nhiều cách nhìn khác Từ việc thay đổi hình thức thể toán , nhằm làm cho đa dạng phong phú Quá trình nâng dần từ giản đơn đến phức tạp,với mục đích nâng cao tính linh hoạt, khả sáng tạo tư cho học trò thông qua học môn toán Qua thực tiễn giảng dạy năm học 2006-2007, đối chiếu với thời điểm đầu năm học, thân đà nhận thấy: -Học sinh có hứng thú học tập môn toán trước, ngày có nhiều em yêu thích học tập môn toán, đầu năm khối trường có khoảng 5% yêu thích học toán , dến có khoảng 17% học sinh -Học sinh động việc tìm tòi lời giải toán, vấn đề đề thể rõ nét chỗ: Dù đứng trước tình (tình toán học) học sinh có ý thức tìm tòi hướng giải (không thụ động trước số em trông chờ kết bạn cô) nỗ lực thân nhiều em đà tìm hướng đúng, giải vấn đề cách trọn vẹn -Đặc biệt, tự em đà hình thành mối liên hệ chủ yếu kiến thức, học đại số mà Đại số-Hình học-Số học -Học sinh nắm vận dụng kiến thức cách sâu sắc hơn, linh hoạt Thể hiểu bài, làm vận dụng kiến thức thành thạo có kỹ , kỹ xảo Qua giáo dục hình thành em khả linh hoạt để giải vấn đề toán học, môn khoa học mà khả lựa chon, giải vấn đề thực tiễn cách khoa häc, tèi ­u nhÊt -Tû lƯ häc sinh gi¸ giỏi toán nâng lên rõ rệt Học kỳ I chØ cã 15 % kh¸ giái , sang häc kỳ II số lượng học sinh giỏi nâng lên 23% IV.Bài học kinh nghiệm DeThiMau.vn Qua thực tế hướng dẫn học sinh giải toán rút số kinh nghiệm sau: Khi hướng dẫn học sinh khai thác toán dạng giáo viên cần: + Giúp em khai thác cách triệt để, toàn diện Mặt khác giáo viên cần nhấn mạnh để học sinh nắm chất nó, chỗ dựa vững để em làm toán với yêu cầu mức độ cao + Giáo viên cần gợi mở để em tìm tòi, phát cách giải khác cho toán để thuận tiện việc định hướng giải toán biến dạng có yêu cầu cao + Khi phát nhiều cách giải khác chắn em biết cách giải ngắn gọn dễ hiểu Các em khám phá điều bí ẩn để råi kÝch thÝch tÝnh ham hiĨu biÕt, thÝch chinh phơc giới xung quanh, từ gây hứng thú việc học tập Khi giải toán với mức độ phức tạp cao hơn, giáo viên gợi mở định hướng giúp học sinh biết phân tích tìm điểm nút , chìa khoá dẫn đến thành công việc giải toán Khi học sinh phát mới, người giáo viên cần phải lắng nghe tôn trọng ý kiến em Trong câu hỏi tập, thiết phải dành lại cho em mảnh đất, dù bÐ nhá, cho sù ®éc lËp suy nghÜ ®Ĩ tõ nảy sinh mầm mống sáng tạo Để có phát trên, giáo viên cần có đam mê giải toán, tâm huyết với học sinh Khi phát phải mạnh dạn đưa hướng dẫn thử nghiệm để khẳng định vấn đề Trên vài kinh nghiệm nhỏ riêng tôi, phạm vi viết chưa chuyển tải tưởng Rất mong góp ý chân thành Hội đồng Khoa học cấp để giúp hoàn thiện viết Xin chân thành cảm ơn! Nghi Thái, ngày 20 tháng năm 2007 Người viết Hoàng Thị Loan DeThiMau.vn ... phải phân tích đa thức đà cho thành nhân tử tức biến đổi tổng đà cho thành tích gồm hai hay nhiều thừa số + Hướng dẫn cách tìm lời giải: ta đà biết phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: ... Điều làm sáng rõ qua số toán sau 2 .Giải pháp Trước hết giúp học sinh khai thác kỹ, nắm rõ chất hai toán bản: Bài toán 1: Phân tích đa thức: x3 +y3 +z3 -3xyz thành nhân tử + Tìm hiểu toán: Đề đòi... học sinh học biến đổi đồng biểu thức vô tỉ Tương tự cách làm ta chuyển toán thành toán với biểu thức vô tỉ III-kết việc áp dụng sáng kiến kinh nghiệm trình giảng dạy Sau trình vận dụng việc khai