Đề tài: Kích thích sự sáng tạo của học sinh trong việc vận dụng bài toán dạng phân tích đa thức thành nhân tử vào việc giải các dạng bài toán khác trong chương trình lớp 8 bậc THCS. pdf
Đềtài:Kíchthíchsựsángtạocủahọcsinhtrongviệcvậndụngbàitoándạng phân tíchđathứcthànhnhântử vào việcgiảicácdạngbàitoánkháctrongchươngtrìnhlớp8bậcTHCS. ĐẶT VẤN ĐỀ. Trong bối cảnh toàn Ngành Giáo dục và Đào tạođang nỗ lực đổi mới phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động củahọcsinhtrong hoạt động học tập, để đáp ứng những đòi hỏi đổi mới được đặt ra cho sự bùng nổ kiến thức và sángtạo kiến thức mới, cần phải phát triển năng lực tư duy, năng lực giải quyết vấnđề và tính sáng tạo. Rèn luyện kỹ năng tư duy sáng tạo, kíchthích phát triển tư duy sángtạo là một yêu cầu không thể thiếu trongviệc dạy họcgiảibài tập ở tất cả các môn học nói chung, trong đó có bộ môn Toán học. Vấnđề này lại càng được đặc biệt chú ý đối với đối tượng họcsinh khá giỏi; với công tác bồi dưỡng họcsinh giỏi. Trong những năm gần đây, bản thân được phân công dạy chươngtrình nâng cao và bồi dưỡng họcsinh giỏi, tôi nhận thấy hầu hết họcsinh thường khai thác dữ kiện bàitoán một cách phiến diện chưa triệt để, sángtạo mà còn phụ thuộc vào sách giáo khoa, sự hướng dẫn của giáo viên một cách rập khuôn, máy móc. Vì vậy, khi gặp cácbàitoán cùng dạng nhưng thay đổi dữ kiên, cách hỏi,…thì các em thường bí mà chưa biết sáng tạo, phát hiện tìm ra những cái mới từ những cái đã biết. Làm thế nào để xoá được cách nhìn xơ cứng củahọcsinh trước một bài toán? Đó là một câu hỏi luôn thường trực đặt ra trong đầu tôi.Thực hiện được điều đó là việc làm hết sức khó khăn, không phải chỉ trong ngày một ngày hai mà đòi hỏi người thầy giáo phải có kiến thức vững vàng, có khả năng thâu tóm vấnđề tốt, phải luôn luôn chịu khó tích luỹ, có lòng ham mê khoa học và truyền được lòng ham mê đó tới học sinh. Phát hiện được cái mới từ những cái đã biết là đãtạo được cho các em sự nhạy bén trongtư duy, hứng thú tronghọc tập điều này rất quan trọng đối với những em họcsinh khá giỏi. Dưới sự hướng dẫn, gợi mở của giáo viên các em có thể hái lượm được biết bao kết quả thú vị từ một bàitoán đơn giản.Bằng cách phát hiện những tính chất mới củabài toán, bằng cách diễn đạt bàitoán dưới hình thức khác, có thể nói ở bất cứ bàitoán nào, ta cũng thu được những kết quả mới nhiều khi khá bất ngờ. Từthực tế giảng dạy môn Toán ở trường THCS nhiều năm, tôi nhận thấy việckíchthíchsáng tạo, linh hoạt củahọcsinhtronggiảicácbài tập Toán là một việc làm rất cần thiết, đểtừ đó giúp họcsinh tìm tòi, sángtạo và gây được hứng thú tronghọc toán. II-GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ. 1.Một số nguyên nhân thường gặp . Tìm hiểu qua một số họcsinh và đồng nghiệp, tôi phát hiện thấy một số nguyên nhân cơ bản sau: - Do họcsinh chưa khai thác đềbài một cách triệt để, toàn diện. - Chưa nắm được bản chất của một số bàitoán cơ bản. - Chưa chịu khó tìm tòi, sángtạo khi làm bài. - Đặc biệt các em chưa biết phát hiện ra cái mới qua những kiến thứcđã biết và vậndụngđúng lúc, đúng chỗ. Từ những nguyên nhân trên, tôi thiết nghĩ: Đểkíchthích phát huy khả năng tư duy củahọc sinh, người thầy giáo phải giúp các em nhìn nhận một vấnđề dưới các góc độ khác nhau. Đặc biệt từ điều đúngđã biết, bằng hình thức diễn tả khác nhau rồi chọn hình thức phù hợp với trình độ học sinh, yêu cầu họcsinhgiảibài tập đó hoặc từ khai thác tri thức đó tìm ra tình huống áp dụng cụ thể bằng việcgiải quyết cácbài tập tương ứng, các nội dung ấy lại từ chính tài liệu sách giáo khoa, vì vậy tri thức ấy đã được khai thác sửdụng hiệu quả nhất. Điều này được làm sáng rõ hơn qua một số bàitoán sau. 2.Giải pháp. Trước hết tôi giúp họcsinh khai thác kỹ, nắm rõ bản chất của hai bàitoán cơ bản: Bàitoán 1: Phântíchđa thức: x 3 +y 3 +z 3 -3xyz thànhnhân tử. + Tìm hiểu bài toán: Đềbài đòi hỏi ta phải phântíchđathứcđã cho thànhnhântử tức là biến đổi tổng đã cho thành một tích gồm hai hay nhiều thừa số. + Hướng dẫn cách tìm lời giải: ta đã biết 3 phương pháp phântích một đa thứcthànhnhân tử: đặt nhântử chung; dùng hằng đẳng thức; nhóm nhiều hạng tử. Thông thường phải phối hợp cả 3 phương pháp một cách linh hoạt đểphân tích. Ở bàitoán này cả 3 phương pháp đó đều chưa sửdụng được. Bởi vậy ta phải sửdụng phương pháp khác đó là thêm bớt cùng một hạng tử . Vậy hạng tử cần thêm bớt ở đây là bao nhiêu để làm xuất hiện hằng đẳngthức lập phương của một tổng rồi sau đó ta lại áp dụng tiếp hằng đẳngthức tổng 2 lập phương vàođểphân tích? Bằng câu hỏi gợi mở, giáo viên để cho họcsinh thảo luận rồi đưa ra lời giải. Có thể giáo viên hướng dẫn cho họcsinh theo sơ sau: x 3 +y 3 +z 3 – 3xyz ⇓ x 3 +y 3 + 3xy(x+y) +z 3 – 3xy(x+y) – 3xyz hoặc: x 3 +z 3 + 3xz(x+z) +y 3 – 3xz(x+z) – 3xyz hoặc: y 3 +z 3 + 3yz(y+z) +x 3 – 3yz(y+z) – 3xyz ⇓ (x+y) 3 +z 3 – 3xy(x+y+z) hoặc: (x+z) 3 +y 3 – 3xz(x+y+z) hoặc: (y+z) 3 +x 3 – 3yz(x+y+z) ⇓ (x+y+z) [(x+y) 2 – (x+y)z +z 2 ] - 3xy(x+y+z) hoặc: (x+y+z) [(x+z) 2 – (x+z)y + y 2 ] - 3xz(x+y+z) hoặc: (x+y+z) [ (y+z) 2 – (y+z)x + x 2 ] - 3yz(x+y+x) ⇓ (x+y+z)(x 2 +y 2 +z 2 –xy –yz –xz). Bàitoán 2: Chứng minh rằng x 3 +y 3 +z 3 = 3xyz khi và chỉ khi x +y +z =0 hoặc x= y= z. Hướng dẫn giải: Ta có: x 3 +y 3 +z 3 =3xyz ⇔ x 3 +y 3 +z 3 – 3xyz =0 ⇔ (x+y+z)(x 2 +y 2 +z 2 –xy –xz –yz) = 0 (kết quả bàitoán 1) 2 1 (x+y+z)(2x 2 +2y 2 +2z 2 –2xy –2xz –2yz) =0 2 1 (x+y+z)[(x-y) 2 +(x-z) 2 +(y-z) 2 ] = 0 x+y+z = 0 hoặc (x-y) 2 +(x-z) 2 +(y-z) 2 = 0 x+y+z = 0 hoặc x=y=z Vậndụng hai bàitoán cơ bản trên, các em dễdànggiải quyết một số bàitoán được diễn đạt dưới những hình thức khác; một số bài có yêu cầu ở mức độ cao kể cả những bài rất khó đối với các em. Chẳng hạn: Bàitoán 3: Chứng minh rằng ∀ ∀∀ ∀x,y,z ∈ ∈∈ ∈z thì x 3 +y 3 +z 3 – 3xyz chia hết cho x+y+z. Ở bàitoán 1 ta đãphântích được:x 3 +y 3 +z 3 – 3xyz = (x+y+z)(x 2 +y 2 +z 2 –xy –yz – xz), điều này giúp họcsinh chứng minh được:x 3 +y 3 +z 3 – 3xyz chia hết cho x+y+z. Bàitoán 4. Chứng minh rằng x 3 +y 3 +z 3 < << <3xyz khi và chỉ khi x+y+z < << < 0 Hướng dẫn giải: Từ x 3 +y 3 +z 3 < << <3xyz, chuyển vế ta có: x 3 +y 3 +z 3 -3xyz < 0. Khai triển vế trái bằng cách áp dụng kết quả bàitoán 1, ta có: 2 1 (x+y+z)[(x-y) 2 +(x-z) 2 +(y-z) 2 ] < 0 ⇔x+y+z < 0 (vì (x-y) 2 +(x-z) 2 +(y-z) 2 > 0).Từ đó cho họcsinh nêu lên lời giảicủabài toán. Bàitoán 5: Chứng minh rằng x 3 +y 3 +z 3 > >> > 3xyz khi và chỉ khi x+y+z > >> >0 (Giải tương tự như bài tập 4) Bàitoán 6. Cho a 3 +b 3 +c 3 = 3abc, tính. a. M=(1 + ) b a (1 + c b ) (1+ a c ) b. N= ))()(( accbba abc +++ Phân tích: Đểgiải được bàitoán này ta phải biết khai thác từ giả thiết : a 3 + b 3 + c 3 = 3abc ⇒ a 3 + b 3 + c 3 – 3abc = 0, đến đây áp dụngbàitoán 2 ta có : a + b + c = 0 hoặc a= b = c.Từ đó tôi có thể hướng dẫn họcsinhgiảibàitoán theo trìnhtự sau: Giải. a.Từ giả thiết a 3 +b 3 +c 3 – 3abc =0 ⇒a+b+c =0 hoặc a=b=c.(bài toán 2) + Nếu a+b+c =0 ⇒ a+b=-c; b+c=-a; c+a=-b thì M=(1 + ) b a (1 + c b ) (1+ a c ) = b ba + . c cb + . a ca + = abc bac )).().(( − − − =-1 + Nếu a=b=c thì M = (1+ b a )(1+ c b )(1+ a c ) Hay M = (1+1)(1+1)(1+1) = 2.2.2 = 8 b.giải tương tự ta có:+Nếu a+b+c =0 thì N=-1 +Nếu a=b=c thì N= 8 1 Bàitoán 7.a. Cho x+y+z =0, tính: P = yz x 2 + yz y 2 + 2 xy z Với bàitoán này giả thiết cho biết; x+ y + z = 0, áp dụng kết quả bàitoán 2 ta có: x 3 +y 3 +z 3 = 3xyz . Khai triển biểu thức P để làm xuất hiện điều bàitoánđã cho sau đó thay vào ta sẽ tính được giá trị của P. Ta có thể giảibàitoán như sau: Giải. Từ giả thiết x+y+z = 0 ⇒x 3 +y 3 +z 3 = 3 xyz(bài toán 2) ⇒ P = yz x 2 + yz y 2 + xy z 2 = xyz x 3 + xyz y 3 + xyz z 3 = xyz 1 (x 3 +y 3 + z 3 ) = xyz 1 .3xyz =3 b. Cho x+y+z = 0 và x,y,z khác 0, tính: Q = 222 2 zyx x −− + 222 2 xzy y −− + 222 2 xyz z −− Tương tự câu a, ta giải được câu b: Từ x+y+z = 0 ⇒ x = -(y+z); y = -(z+x); z = -(x+y); ⇒ x 2 – y 2 –z 2 = 2yz; y 2 –z 2 – x 2 = 2zx; z 2 – x 2 – y 2 = 2xy. và x 3 +y 3 +z 3 = 3xyz (bài toán 2) Q = 222 2 zyx x −− + 222 2 xzy y −− + 222 2 xyz z −− = yz x 2 3 + zx y 2 3 + xy z 2 3 = 3 33 2xyz zyx ++ = xyz xyz 2 3 = 2 3 . Bài tập 8. Tính giá trị biểu thức. A = ( c ba − + a cb − + b ac − ) ( b a c − + c b a − + a c b − ), biết rằng: a+b+c = 0 Giải. Gọi B = c ba − + a cb − + b ac − Ta có: B. b a c − = 1 + b a c − ( a cb − + b ac − ) = 1 + b a c − . 2 2 ab aacbcb −+− = 1 + b a c − . ab baccb ))(( − − − = 1 + ab c 2 2 = 1 + abc c 3 2 Tương tự: B. c b a − = 1 + abc a 3 2 B. a c b − = 1 + abc b 3 2 Vậy A = 3 + abc cba )(2 333 ++ = 3 + abc abc3.2 = 3 + 6 = 9 ( vì a 3 + b 3 + c 3 = 3abc) Bàitoán 10.Cho a + b + c + d = 0. Chứng minh rằng: a 3 +b 3 +c 3 +d 3 = 3(c + d)(ab – cd) = 3(a + b)(cd – ab) = 3(a + c)(bd – ac). Phân tích: Từ dữ kiện củabàitoánđã cho: a + b + c + d = 0, ta nhóm hai trong bốn hạng tửđể làm xuất hiện tổng của ba hạng tử bằng không (a + b + (c+d) = 0 ), đểtừ đó áp dụng kết quả bàitoán 2 ta có: a 3 + b 3 +(c+d) 3 = 3ab(c+d), khai triển tiếp vế trái củađẳngthức ta được: a 3 +b 3 +c 3 +d 3 +3cd(c+d) = 3ab(c+d). Nên ta có thể giảibàitoán như sau: Giải. Thật vậy,từ giả thiết đã cho: a + b + c +d = 0 ⇒a + b + (c+d) = 0 ⇒ a 3 + b 3 +(c+d) 3 = 3ab(c+d)(bài toán 2) ⇒ a 3 +b 3 +c 3 +d 3 +3cd(c+d) = 3ab(c+d) ⇒ a 3 +b 3 +c 3 +d 3 = 3ab(c+d) – 3cd(c+d) = 3(c+d)(ab – cd). Tương tự ta có cácđẳngthức tiếp theo. Bàitoán 11. Giảicác phương trình: a, (2x – 5) 3 + (4 – 3x) 3 + (x +1) 3 = 0 (1) b, (x – 1) 3 + (2x – 3) 3 + (3x – 5) 3 - 3(x – 1)(2x – 3)(3x – 5) = 0 (2) Phân tích: a.Khi ta đặt: a= 2x – 5 b = 4- 3x c = x + 1 ta có: a + b + c = 2x- 5 + 4 – 3x + x + 1 =0 Phương trình (1) trở thành: a 3 +b 3 + c 3 = 0 Từbàitoán 2: a +b +c = 0 ⇔ a 3 +b 3 +c 3 = 3abc, Ta có: (1) ⇔ 3(2x – 5)(3x – 4)(x + 1) = 0 Giải phương trìnhtích này ta có tập nghiệm của phương trình(1) là:S = {-1; 3 4 ; 2 5 } b. Ta đặt: a = x – 1 b = 2x – 3 c = 3x – 5 Phương trình (2) trở thành: a 3 +b 3 +c 3 - 3abc = 0; Từbàitoán 1; a 3 + b 3 + c 3 – 3abc = (a+b+c)(a 2 +b 2 + c 2 –ab –bc –ca) = 2 1 (a+b+c)[(a-b) 2 +(b-c) 2 +(c-a) 2 ] Ta được: (2) ⇔ 2 1 (x-1+2x-3+3x-5) )[(x-2) 2 +(2x- 4) 2 +(x- 2) 2 ] = 0 ⇔ 2 1 (6x – 9).6(x – 2) 2 = 0 ⇔ 9(x – 2) 2 (2x – 3) = 0 Giải phương trìnhtích này ta có tập nghiệm của phương trình(2) là:S = {2; 2 3 } Bàitoán 11.Phân tíchđathứcthànhnhân tử: a, (x-y) 3 + (y-z) 3 + (z-x) 3 b, (x+y+z) 3 + (x-y-z) 3 + (y-z-x) 3 + (z-x-y) 3 Hướng dẫn giải. a, Đặt a = x-y b = y-z c = z-x Thì a+b+c = 0. Vậndụngbàitoán 1, ta có: (x-y) 3 + (y-z) 3 + (z-x) 3 = 3(x-y)(y-z)(z-x) b, Đặt a = x-y-z b = y-z-x c = z-x-y ⇒x+y+z = -a-b-c Áp dụngbàitoán 10 ta có: (x+y+z) 3 + (x-y-z) 3 + (y-z-x) 3 + (z-x-y) 3 = (-a-b-c) 3 +a 3 +b 3 + c 3 = 3(b+c)[(-a-b-c)a – bc ] = 3(b+c)(-a 2 – ab – ac – bc) = -3(b+c)(a+b)(a+c) = 12 xyz. Vậy (x+y+z) 3 + (x-y-z) 3 + (y-z-x) 3 + (z-x-y) 3 = 12 xyz. Bàitoán 12. Cho a a + b b + c c - 3 abc = 0, tính P = (1 + b a ) (1 + c b ) (1 + a c ) Hướng dẫn: Từ a a + b b + c c = 3 abc ⇒ ⇒⇒ ⇒ ( a ) 3 + ( b ) 3 + ( c ) 3 - 3 a . b . c = 0. Đặt A = a ; B = b ; C = c thì bàitoán này chính là bàitoán 6a. Kết luận: Như vậy ở cácbàitoán 10,11,12 ta thấy có sự phức tạp hơn cácbàitoán trên một mặt đòi hỏi người giảitoán biết dịch chuyển tình huống này về các tình huống trước nó. Nghĩa là biết quy lạ về quen nhìn thấy cấu trúc; chức năng mới của đối tượng. Mặt kháccác biểu thức đó cũng có sự tham gia nhiều đối tượng hơn đòi hỏi chất lượng hoạt động cao hơn. Đặc biệt bài 12, bằng cách diễn tả bài 6a sangdạng căn thức(Vô tỉ hoá biểu thức hữu tỉ) ta có bàitoán mới thích hợp cho đối tượng họcsinhhọc biến đổi đồng nhất biểu thức vô tỉ. Tương tự cách làm đó ta có thể chuyển cácbàitoán trên thànhbàitoán với biểu thức vô tỉ. III-KẾT QUẢ CỦAVIỆC ÁP DỤNGSÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TRONG QUÁ TRÌNH GIẢNG DẠY. Sau quá trìnhvậndụngviệc khai thác, nhìn nhận và đánh giá một bàitoán bằng nhiều cách nhìn khác nhau. Từviệc thay đổi hình thức thể hiện bàitoán , nhằm làm cho nó đadạng và phong phú hơn .Quá trình này được nâng dần từ giản đơn đến phức tạp,với mục đích nâng cao tính linh hoạt, khả năng sángtạotư duy cho học trò thông qua học bộ môn toán. Qua thực tiễn giảng dạy trong năm học 2006-2007, đối chiếu với thời điểm đầu năm học, bản thân đãnhận thấy: -Học sinh có hứng thú học tập bộ môn toán hơn trước, càng ngày càng có nhiều em yêu thíchhọc tập môn toán, đầu năm khối 8của trường chỉ có khoảng 5% yêu thíchhọctoán , dến nay có khoảng 17% họcsinh . -Học sinh năng động hơn trongviệc tìm tòi lời giải một bài toán, vấnđềđề này được thể hiện rõ nét ở chỗ: Dù đứng trước một tình huống nào (tình huống toán học) thì họcsinh có ý thức tìm tòi hướng giải quyết (không thụ động như trước một số em trông chờ kết quả của bạn của cô) và chính bằng nỗ lực bản thân nhiều em đã tìm được hướng đi đúng, giải quyết vấnđề một cách trọn vẹn. -Đặc biệt, tựcác em đã hình thành được mối liên hệ chủ yếu củacác kiến thức, cácbàihọc không những trong đại số mà giữa Đại số-Hình học-Số học. -Học sinh nắm và vậndụng kiến thức một cách sâu sắc hơn, linh hoạt hơn. Thể hiện hiểu bài, làm bài và vậndụng kiến thứcthành thạo có kỹ năng , kỹ xảo. Qua đó giáo dục và hình thành ở các em khả năng linh hoạt đểgiải quyết cácvấnđề không những trongtoán học, trongcác môn khoa học mà khả năng lựa chon, giải quyết cácvấnđềthực tiễn một cách khoa học, tối ưu nhất. -Tỷ lệ họcsinh giá và giỏi toán nâng lên rõ rệt . Học kỳ I chỉ có 15 % khá giỏi , sanghọc kỳ II số lượng họcsinh khá giỏi được nâng lên 23% . IV.BÀI HỌC KINH NGHIỆM. Qua thực tế hướng dẫn họcsinhgiảicácbàitoán như trên tôi rút ra một số kinh nghiệm sau: Khi hướng dẫn họcsinh khai thác cácbàitoándạng cơ bản giáo viên cần: + Giúp các em khai thác một cách triệt để, toàn diện. Mặt khác giáo viên cần nhấn mạnh đểhọcsinh nắm được bản chất của nó, đó chính là chỗ dựa vững chắc đểcác em có thể làm được cácbàitoán với yêu cầu ở mức độ cao hơn. + Giáo viên cần gợi mở đểcác em tìm tòi, phát hiện ra các cách giảikhác nhau cho một bàitoánđể thuận tiện trongviệc định hướng giảicácbàitoán biến dạng hoặc có yêu cầu cao hơn. + Khi phát hiện ra nhiều cách giảikhác nhau chắc chắn các em sẽ biết được cách giải nào là ngắn gọn và dễ hiểu nhất . Các em như khám phá được những điều bí ẩn để rồi kíchthích tính ham hiểu biết, thích chinh phục thế giới xung quanh, từ đó gây hứng thú trongviệchọc tập. Khi giảicácbàitoán với mức độ phức tạp cao hơn, giáo viên có thể gợi mở định hướng giúp họcsinh biết phântích tìm ra điểm nút , đó là chìa khoá dẫn đến thành công trongviệcgiải toán. Khi họcsinh phát hiện ra những cái mới, người giáo viên cần phải lắng nghe và tôn trọng ý kiến củacác em. Trongcác câu hỏi và bài tập, nhất thiết phải dành lại cho các em mảnh đất, dù là bé nhỏ, cho sự độc lập suy nghĩ đểtừ đó nảy sinh mầm mống củasựsángtạo . Để có những phát hiện trên, giáo viên cần có sự đam mê giải toán, tâm huyết với học sinh. Khi phát hiện ra những cái mới phải mạnh dạn đưa ra hướng dẫn thử nghiệm để khẳng định vấn đề. Trên đây là một vài kinh nghiệm nhỏ của riêng tôi, trong phạm vi bài viết này có thể chưa chuyển tải hết ý tưởng của mình. Rất mong được sự góp ý chân thànhcủa Hội đồng Khoa họccác cấp để giúp tôi hoàn thiện bài viết của mình hơn. Xin chân thành cảm ơn! Nghi Thái, ngày 20 tháng 5 năm 2007. NGƯỜI VIẾT Hoàng Thị Loan . Đề tài: Kích thích sự sáng tạo của học sinh trong việc vận dụng bài toán dạng phân tích đa thức thành nhân tử vào việc giải các dạng bài toán khác trong chương trình lớp 8 bậc THCS. . môn Toán ở trường THCS nhiều năm, tôi nhận thấy việc kích thích sáng tạo, linh hoạt của học sinh trong giải các bài tập Toán là một việc làm rất cần thiết, để từ đó giúp học sinh tìm tòi, sáng. -3xyz thành nhân tử. + Tìm hiểu bài toán: Đề bài đòi hỏi ta phải phân tích đa thức đã cho thành nhân tử tức là biến đổi tổng đã cho thành một tích gồm hai hay nhiều thừa số. + Hướng dẫn cách