PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN YÊN ĐỊNH ĐỀ THI CHÍNH THỨC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012 - 2013 Mơn thi: Tốn Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 26/02/2013 (Đề thi gồm 01 trang) x 2 x x2 x Câu 1: (3 điểm) Cho A = x 1 x x 1 a) Rút gọn A b) Tìm x để A > c) Tìm giá trị lớn A Câu 2: (6 điểm) a) Giải phương trình: x x x x 18 b) Giải bất phương trình: |2x-7| < x2 + 2x + ( x y )( x y ) 45 c) Giải hệ phương trình: ( x y )( x y ) 85 Câu : (4 điểm) a) Cho a b c , tính giá trị biểu thức: 1 2 2 2 b c a a c b a b2 c2 b) Tìm số tự nhiên n cho A n n số phương P Câu : (5 điểm) a) Từ điểm A nằm (O;R) kẻ hai tiếp tuyến AM, AN (M,N (O;R)) Trên cung nhỏ MN lấy điểm P khác M N Tiếp tuyến P cắt AM B, cắt AN C Cho A cố định AO = a Chứng minh chu vi tam giác ABC không đổi P di động cung nhỏ MN Tính giá trị khơng đổi theo a R b) Cho tam giác ABC có diện tích 36 (đơn vị diện tích) Trên cạnh BC cạnh CA lấy điểm D E cho DC = 3DB EA = 2EC; AD cắt BE I Tính diện tích tam giác BID Câu 5: (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Q x 10 y 10 16 ( x y 16 ) (1 x y ) 2 y x Hết DeThiMau.vn HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012 - 2013 Mơn thi: Tốn Ngày thi: 26/02/2013 (Hướng dẫn chấm gồm 03 trang) PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN YÊN ĐỊNH Câu Đáp án hướng dẫn chấm ý a ĐKXĐ: x 0, x A x ( x 1) A x ( x 1) x ( x 1) b c x (vì x x ) x 1 x 1 1 A x ( x 1) x x ( x ) 4 4 A 1 Vậy GTLN A = x x (t / m) 4 Điểm 0.25đ 0.75đ 0.25đ 0.75đ 0.75đ 0.25đ x x x x 18 2( x x 8) x x Đặt x x y, y ta phương trình: y2 3y y2 y y a y ( y 2)(2 y 1) y y = b 0.25đ 0.25đ 0.5đ 0.25đ 0.5đ 0.25đ 0.25đ 2 x x x Nên: |2x-7| < x2 + 2x + 0.5đ x 0.25đ x2+4x+4>9 (x+2)2 >9 |x+2| >3 0.25đ 2 x x x 2 x x DeThiMau.vn x c 0.5đ 0.25đ ( x y )( x y ) 45 ( x y )( x y ) 45 (1) Biến đổi ( x y )( x y ) 85 ( x y )( x y ) 85 (2) 0.25đ Từ hệ ta có x – y > Nhân hai vế (1) với 17 nhân hai vế (2) với đồng sau nhân ta được: 17(x – y)(x + y)2 = 9(x - y)(x2 +y2) 4x2 + 17xy + 4y2 = Nếu y = x = => khơng thỏa mãn hệ Nếu y , chia hai vế 4x2 + 17xy + 4y2 = cho y2 đặt t = x/y được: 4t2 +17t + = (t+4)(4t+1) = t = - t = - 1/4 x = -4y y = - 4x thay vào hệ phương trình nghiệm phương trình cho là: (x ; y) {(4;-1);(1;-4)} 1 2 2 2 b c a a c b a b2 c2 1 2 2 2 2 b c (b c) a c (a c) a b (a b) abc 1 0 (voi : abc 0) 2bc 2ac 2ab 2abc A n n số phương nên A có dạng A n n k (k N * ) P a b x x 3 x 5 Kết luận nghiệm bất phương trình 0.25đ 0.5đ 0.5đ 0.25đ 0.25đ (dk : abc 0) 1đ 1đ 4n 4n 24 4k (2k ) (2n 1) 23 0.5đ 2k 2n 23 (2k 2n 1)(2k 2n 1) 23 2k 2n 0.5đ 2k 2n 23 k 2k 2n n 0.75đ (Vì 23 số nguyên tố 2k + 2n + 1> 2k – 2n -1) a Vậy với n = A số phương C ABC = AB+BC+CA M B = AB+BP+PC+CA P = (AB+BM)+(CN+CA) O A (t/c tt cắt nhau) = AM + AN = 2AM C (t/c tt cắt nhau) N = OA2 OM a R Vì A cố định nên OA=a khơng đổi P di chuyển cung nhỏ MN chu vi tam giác ABC không đổi C ABC = a R DeThiMau.vn 0.25đ 0.25đ 0.5đ 0.25đ 0.5đ 0.25đ 0.25đ Ghi chú: - Khơng có điểm vẽ hình - Chứng minh mà khơng có hình vẽ hình vẽ sai khơng cơng nhận (khơng có điểm) (Các đường nét đứt vẽ thêm để gợi ý chứng minh chấm, học sinh phải trình bày kẻ thêm đường phụ chứng minh - cần) S BIA Trình bày c/m: S BID S BIC Trình bày c/m: S BIC b 0.5đ A 1.0đ => S BID S BIA S ABD 0.5đ Trình bày c/m: S ABD S ABC => S BID 36 S ABC 1 36 36 E 0.5đ I B D C 0.5đ Ghi chú: - Khơng có điểm vẽ hình - Chứng minh mà khơng có hình vẽ hình vẽ sai khơng cơng nhận (khơng có điểm) ĐK: x≠0, y≠0 16 ( x y 16 ) (1 x y ) x 10 y 10 1 ( x 16 y 16 1) (1 x y ) 2 y x Q x 10 y 10 y x 0.5đ Áp dụng bắt đẳng thức Cô-si cho bốn số dương ta có: x 10 y 10 1 x y 2 y x 16 ( x y 16 1) x y 4 0.25đ 0.25đ => Q x y x y x y x y Vậy giá trị nhỏ Q Q = – 5/2 x2 = y2 = Chú ý: HS giải theo cách khác, cho điểm tối đa DeThiMau.vn 0.5đ 0.5đ ...HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012 - 2013 Mơn thi: Tốn Ngày thi: 26/02 /2013 (Hướng dẫn chấm gồm 03 trang) PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN YÊN ĐỊNH Câu Đáp án hướng... |2x-7| < x2 + 2x + 0.5đ x 0.25đ x2+4x+4 >9 (x+2)2 >9 |x+2| >3 0.25đ 2 x x x 2 x x DeThiMau.vn x c 0.5đ 0.25đ ( x y )( x y ) 45 (... C (t/c tt cắt nhau) N = OA2 OM a R Vì A cố định nên OA=a khơng đổi P di chuyển cung nhỏ MN chu vi tam giác ABC khơng đổi C ABC = a R DeThiMau.vn 0.25đ 0.25đ 0.5đ 0.25đ 0.5đ 0.25đ 0.25đ