Đề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện Thanh Oai năm học 20152016 môn thi: Toán Trường THCS Đỗ Động49781

PHÒNG GD& ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS ĐỖ ĐỘNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2015-2016 MƠN : TỐN Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Câu 1: (6 điểm) a  a a 1 a2  a a  a 1 1.(4đ) Cho biểu thức: M    a a a a a a với a  0; a  a) Rút gọn M b) Với giá trị a biểu thức N  2.( 2đ) Tính giá trị biểu thức E  x       ;  xy  xy  x y x y y nhận giá trị nguyên M với  12  20 18  27  45 Câu 2: (4 điểm)  x   2  x  2 x 1.(2đ) Giải phương trình: 2.(2đ) Với a; b số thực dương thỏa mãn a 2b   1 a 1 b Tìm giá trị lớn P = ab2 Câu : (4 điểm) 1.(2đ) Tìm số nguyên (x,y) thỏa mãn: 5x2 + 13y2 + 6xy = 4(3x – y) 2.(2đ) Cho a, b, c số lớn Chứng minh bất đẳng thức sau: 𝑎2 2𝑏2 3𝑐2 + + ≥ 24 𝑎‒1 𝑏‒1 𝑐‒1 Câu : (5 điểm) Cho điểm M nằm nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R (M khơng trùng với A B) Trong nửa mặt phẳng chứa nửa đường trịn có bờ đường thẳng A AB, kẻ tiếp tuyến Ax Đường thẳng BM cắt Ax I; tia phân giác IAM cắt nửa đường tròn O E, cắt IB F; đường thẳng BE cắt AI H, cắt AM K a) Chứng minh điểm F, E, K, M nằm đường tròn b) Chứng minh HF  BI c) Xác định vị trí M nửa đường trịn O để chu vi AMB đạt giá trị lớn tìm giá trị theo R? Câu (1.0 điểm) Tìm số tự nhiên x, y biết rằng: 2 x  12 x  2 x  32 x   y  11879 -Hết ThuVienDeThi.com PHÒNG GD& ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS ĐỖ ĐỘNG HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2015-2016 MƠN : TỐN Đáp án hướng dẫn chấm Điểm Câu1 6đ 0,25 ĐKXĐ a  0; a  (*) a M a 1  a Vậy M   a  1a  a  1 a  1a  a  1 a a  1 a  a  1 a  a 1 với a  0; a  (*) a Ta có M  (4đ) a  a 1 a 1  2 a a Do a  0; a  nên b 0 N   2,25  a  1   a   2 aM   N nguyên N = M a 1 a 1 a  a  2  a 24 a 0,5đ     a    a  2  3   (TM *)  a   a    Vậy N nguyên a  2   ; 2   2 0.25đ  0,5đ 0,25đ Ta có: x        (2đ) x   2    2  2   2.2   0,75     0,75 y  2 3  12  20   3 18  27  45 2 3 4 1 3 9 E 8 3 1 ThuVienDeThi.com 0,5 Câu 4đ ĐK: 4  x  PT cho tương đương với: x x4 2   x  2 x 0.5đ * x = nghiệm * Giải  x    x    (2đ) 0.25đ Đặt u  x  ; v   x ta thu 0.5đ 14  v  2u  2 96 u  ; v   u  2u      5  x    x   (TM)  2 25 u  v  u  2(loai) 96 Vậy pt cho có nghiệm: x1  , x2   0.25đ 25 Theo BĐT Cô – si cho hai số dương ta có: b a b  1   2 1 b 1 b 1 a 1 b ab 1  a 1  b  0.5đ 0.5đ 2 (2đ)  4ab 4ab  Suy :      b  1  a 1  b   a  b a 2b 2b 4ab   Mà  1    ab    1 a 1 a 1 b  1 b  1 b 1 b Dấu xảy  a  b  Vậy Pmax = ab 0.5đ Câu 4đ PT tương đương x  y   2 x  3  2 y  1  10 Mà 10 biểu diễn dạng tổng bình phương : 10 = 02 + 12 + 32 2x – 3; 2y + số lẻ nên: (2đ) 0.5đ x  3y   2 x  3   2 y  1  (*) 2 x  3y   2 x  3  (**)  2 y  1  0,5 0,25 0,25 0,25 Xét hệ (*) từ Phương trình đầu  x  3 y  2 3 y   3  PT vô nghiệm 0,25 2 x   3  x  y  Xét hệ (**) 2 y   1    x  x  3y    y  1  0,25 Đáp số: x = y = 0; x = 3, y = -1 ThuVienDeThi.com 0,25 𝑎2 Đặt P = P= (2đ) 𝑎‒1 + 2𝑏2 𝑏‒1 3𝑐2 + 𝑐‒1 0,25 𝑎2 ‒ + 2𝑏2 ‒ + 3𝑐2 ‒ + + + 𝑎‒1 𝑏‒1 𝑐‒1 P= 𝑎+1+ + 2(𝑏 + 1) + + 3(𝑐 + 1) + 𝑎‒1 𝑏‒1 𝑐‒1 P= 𝑎‒1+ + 2(𝑏 ‒ 1) + + 3(𝑐 ‒ 1) + + 12 𝑎‒1 𝑏‒1 𝑐‒1 ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) Do 𝑎,𝑏,𝑐 > áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số dương ta có : P ≥ (𝑎 ‒ 1) + 2(𝑏 ‒ 1) + 3(𝑐 ‒ 1) + 12 = 24 𝑎‒1 𝑏‒1 𝑐‒1 0,5 0,5 0,5 0,25 Vậy P ≥ 24 (đpcm) Dấu đẳng thức xảy a = b = c = Câu 5đ Hình vẽ x I F M H A a b E K O B A Ta có M, E nằm nửa đường trịn đường kính AB nên FMK  900 A  900 FEK 0.5 Vậy điểm F, E, K, M nằm đường trịn đường kính FK 0.25 Ta có HAK cân A nên AH = AK (1) 0.25 K trực tâm AFB nên ta có FK  AB suy FK // AH (2) 0.25 A A A A Do FAH (gt) AAFK  FAK  AAFK mà FAH  FAK 0.25 Suy AK = KF, kết hợp với (1) ta AH = KF (3) 0.25 ThuVienDeThi.com ...PHÒNG GD& ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS ĐỖ ĐỘNG HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2015-2016 MƠN : TỐN Đáp án hướng dẫn chấm Điểm Câu1... Đặt u  x  ; v   x ta thu 0.5đ 14  v  2u  2 96 u  ; v   u  2u      5  x    x   (TM)  2 25 u  v  u  2(loai) 96 Vậy pt cho có nghiệm: x1  , x2   0.25đ 25 Theo...  2.2   0,75     0,75 y  2 3  12  20   3 18  27  45 2 3 4 1 3 ? ?9 E 8 3 1 ThuVienDeThi.com 0,5 Câu 4đ ĐK: 4  x  PT cho tương đương với: x x4 2   x  2 x 0.5đ