ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2015 - 2016 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút PHÒNG GD&ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS THANH MAI Câu 1: (6 điểm) x2 x x 1 : x x 1 x x 1 x Cho A = a Rút gọn A b Tìm x để A Z Cho abc , bca , cab số tự nhiên có chữ số Chứng minh rằng: abc 37 bca cab chia hết cho 37 Câu 2: (4 điểm) Giải phương trình: x x x x =1 Cho x, y, z thỏa mãn xyz = 2015 Chứng minh rằng: 2015 x y z + + =1 xy 2015 x 2015 yz y 2015 zx z Câu 3: (3 điểm) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x4 + x2 + = y2 Cho a,b,c số dương a+b+c=2015 Tìm giá trị nhỏ biÓu thøc a2 b2 c2 A= bc ca ab Câu (6.0 điểm) Cho điểm M nằm nửa đường trịn tâm O đường kính AB = 2R (M không trùng với A B) Trong nửa mặt phẳng chứa nửa đường trịn có bờ đường thẳng AB, kẻ tiếp tuyến Ax Đường thẳng BM cắt Ax I; tia phân giác IAM cắt nửa đường tròn O E, cắt IB F; đường thẳng BE cắt AI H, cắt AM K a) Chứng minh điểm F, E, K, M nằm đường tròn b) Chứng minh HF BI c) Xác định vị trí M nửa đường tròn O để chu vi AMB đạt giá trị lớn tìm giá trị theo R? Câu 5: (1 điểm) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 1! + 2! + + x! = n2 ( x! = 1.2.3 x) - Hết - ThuVienDeThi.com PHÒNG GD&ĐT THANH OAI HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG LỚP NĂM HỌC 2015 - 2016 TRƯỜNG THCS THANH MAI Mơn: Tốn Câu 1: (6 điểm) a) ĐK: x ≥ 0; x ≠ 0.5 Rút gọn A = x x 1 1.5 b) Vì x ≥ nên < A ≤ A Z => A = A = 2 =1 x x =0 x = x x 1 +) A = => =2 x x =0 x = x x 1 Ta có: abc + 11 bca = 111a + 1110b + 111c 37 (vì 111 37) Mà abc 37 => 11 bca => bca 37 (vì (11; 37) =1) Ta có: abc 37 => 11 abc 37 Xét tổng: 11 abc + cab = 1110a+111b+111c => cab 37 0.5 +) A = => 0.5 1.0 37 1.0 Câu 2: (4 điểm) (2đ) x x x x =1 x + x =1 x 1 + x 1 =1 0.5 Áp dụng: a b a b Dấu xảy a.b≥0 => (2đ) x + x =1 2≤ x ≤3 5≤x≤10 y xy xy = = yz y 2015 xyz xy 2015 x 2015 xy 2015 x 2015 z xyz = = 2015 x 2015 xy zx z xyzx xyz xy1 2015 x 2015 x y z Do + + = + xy 2015 x 2015 yz y 2015 zx z xy 2015 x 2015 2015 xy + = (đpcm) 2015 x 2015 xy 2015 xy 2015 x Ta có : Câu 3: (3 điểm) (1,5d) Vì x2 ≥ với x nên (x4+x2+1) -(x2+1) < x4+x2+1 ≤ (x4+x2+1)+x2 (x2)2 (x2+1)2 = x4+x2+1 x=0 suy y= Vậy nhiệm ngun (x;y) cần tìm là: (0;1), (0;-1) (1,5®) Ta cã: 0.5 0.5 0.5 a2 bc + ≥ a ( Bđt Côsi cho hai số dương ) bc Tương tự: ca c2 ab + ≥b; + ≥c ab ThuVienDeThi.com 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 a2 b2 c2 abc ≥ bc ca ab Cộng vế với vế ta được: 0.5 Vậy Min A = 2015/2 Dấu xảy a=b=c = 2015/3 Câu (6.0 điểm) Hình vẽ x I F M H E K A O B 900 Ta có M, E nằm nửa đường trịn đường kính AB nên FMK FEK 900 Vậy điểm F, E, K, M nằm đường tròn đường kính FK Ta có HAK cân A nên AH = AK (1) K trực tâm AFB nên ta có FK AB suy FK // AH (2) AFK mà FAH FAK AFK FAK Do FAH (gt) Suy AK = KF, kết hợp với (1) ta AH = KF (3) Từ (2) (3) ta có AKFH hình bình hành nên HF // AK Mà AK IB suy HF IB Chu vi AMB CAMB MA MB AB lớn khi MA + MB lớn (vì AB khơng đổi) Áp dụng bất đẳng thức a b a b 2 dấu "=" xảy ta có MA MB 2( MA MB ) AB 2 a b, 1.0 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 Nên MA + MB đạt giá trị lớn AB MA = MB hay M nằm cung AB Vậy M nằm cung AB CAMB đạt giá trị lớn Khi CAMB MA MB AB AB AB (1 2) AB R(1 2) Câu 5: (1 điểm) 1! + 2! + + x! = n2 x=1 suy n2 = => n = x=2 suy n2 = => n Z ( loại) x=3 suy n2 = => n=3 x=4 suy n2 = 33 => n Z ( loại) Ta chứng minh x≥5 phương trình vơ nghiệm ThuVienDeThi.com 0.5 0.5 Thật x≥5 1! + 2! + + x! = 33+ 5! + + x! có chữ số tận mà n2 khơng có tận Vậy phương trình có nghiệm ngun dương ( x;n) (1;1) , (3;3) - Hết – DUYỆT CỦA TỔ NGƯỜI RA ĐỀ ThuVienDeThi.com ...PHÒNG GD&ĐT THANH OAI HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG LỚP NĂM HỌC 2015 - 2016 TRƯỜNG THCS THANH MAI Mơn: Tốn Câu 1: (6 điểm) a) ĐK: x ≥ 0; x ≠ 0.5 Rút... ThuVienDeThi.com 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 a2 b2 c2 abc ≥ bc ca ab Cộng vế với vế ta được: 0.5 Vậy Min A = 2015/2 Dấu xảy a=b=c = 2015/3 Câu (6.0 điểm) Hình vẽ x I F M H E K A O B 90 0 Ta... ThuVienDeThi.com 0.5 0.5 Thật x≥5 1! + 2! + + x! = 33+ 5! + + x! có chữ số tận mà n2 khơng có tận Vậy phương trình có nghiệm ngun dương ( x;n) (1;1) , (3;3) - Hết – DUYỆT CỦA TỔ NGƯỜI RA ĐỀ ThuVienDeThi.com