Thông tin tài liệu
PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THIỆU HĨA ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm có 01 trang) ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2014 - 2015 Mơn: Tốn Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Ngày thi: 02 tháng 12 năm 2014 Câu 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức: A ( x 1 x ): 1 x 4x 1 1 x 4x x 1 a) Rút gọn A; b) Tìm giá trị nguyên x để A đạt giá trị nguyên; c) Tính giá trị A với x 7 49(5 2)(3 2 )(3 2 ) Câu 2: (4,0 điểm) a) Giải phương trình: x x x b) Tìm nghiệm nguyên phương trình 20 y xy 150 15 x Câu 3: (3,0 điểm) Cho đường thẳng (m – 2)x + (m – 1)y = (d) a) Chứng minh đường thẳng (d) qua điểm cố định với giá trị m b) Tính giá trị m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng (d) lớn Câu 4: (5,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) hai đường kính AB CD cho tiếp tuyến A đường tròn (O; R) cắt đường thẳng BC BD hai điểm tương ứng E F Gọi P Q trung điểm đoạn thẳng AE AF a) Chứng minh tam giác AEO tam giác ABQ đồng dạng b) Chứng minh trực tâm H tam giác BPQ trung điểm đoạn thẳng OA c) Hai đường kính AB CD thoả mãn điều kiện BPQ có diện tích nhỏ Câu (2,0 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 3a 3b 3c Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 1 b2 1 c2 1 a2 Câu 6: (2,0 điểm) Từ điểm A đường tròn (O; R), kẻ hai tiếp tuyến AB AC với đường tròn (B C tiếp điểm) Gọi M điểm đường thẳng qua trung điểm AB AC Kẻ tiếp tuyến MK đường tròn (O; R) Chứng minh MK = MA Họ tên học sinh: ; Số báo danh: ThuVienDeThi.com PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THIỆU HĨA ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2014 - 2015 Mơn: Tốn Nội dung Câu Câu 1 a ĐK: x 0; x ; x (2,0đ) Điểm 4,0 đ 0,5 đ x x 1 : A=1 x x (2 x 1) x x b (1,0đ) A=1- x x x (2 x 1) (2 x 1)(2 x 1) x 1 0,5 đ A=1- x 1 x 1 x 1 1 x 1 x 1 x 1 x 0,5 đ A Z Z 1 x 0,25 đ Z nên x số hữu tỉ 1 x Suy x số phương, x Z => x Ư(2) Do x 0; x 1; x Z x Ư(2) => x = Do Vậy x = A có giá trị nguyên c Với x = 7 49(5 2)(3 2 )(3 2 ) (1,0đ) x = - 49(5 2)(5 2) 75 (39 20 2) x 75.(39 20 5) Vậy A Câu a (2,0đ) 0,5 đ x 3 x x 3 75.(39 20 5) Điều kiện x x x 1 x 2 x 1 x 4 3 2 x x 1 x x 1, x 1, x 1 x x4 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 4,0 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ x4 2 x4 4 x 8 x = thỏa mãn điều kiện Vậy nghiệm PT x = ThuVienDeThi.com 0,5 đ b Ta có : 150 – 15x = 20y2 – 6xy 6xy – 15x = 20y2 – 150 (2,0đ) 3x(2y – 5) = 5(4y2 – 25) – 25 (2y – 5)(10y + 25 – 3x) = 25 = 1.25 = (-1).(-25) = 5.5 = (-5).(-5) Xét trường hợp sau: 2 y x 10 ) 10 y 25 x 25 y 70 2 y 1 x ) 10 y 25 x 25 y 70 2 y x ) 10 y 25 x y 2 y 25 x 58 ) 10 y 25 x y 15 x 10 2 y 25 ) 74 10 y 25 x 1 y 2 y 5 x 10 ) 10 y 25 x 5 y Vậy (x,y) = (10;3) (x,y) = (10;0) (x,y) = (58;15) Câu a Điều kiện cần đủ để đường thẳng (m – 2)x + (m – 1)y = (d) qua (1,5đ) điểm cố định N(xo,yo) là: (m – 2)xo + (m – 1)yo = 1, với m mxo – 2xo + myo – yo – = 0, với m (xo + yo)m – (2xo + yo + 1) = với m xo 1 xo y o yo 2 x o y o Vậy đường thẳng (d) qua điểm cố định N (-1; 1) b + Với m = 2, ta có đường thẳng y = (1,5đ) khoảng cách từ O đến (d) (1) + Với m = 1, ta có đường thẳng x = -1 khoảng cách từ O đến (d) (2) + Với m ≠ m ≠ Gọi A giao điểm đường thẳng (d) với trục tung Ta có: x = y = 1 , OA = m 1 m 1 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 3,0 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ Gọi B giao điểm đường thẳng (d) với trục hồnh Ta có: y = x = 1 , OB = m2 m2 Gọi h khoảng cách Từ O đến đường thẳng (d) Ta có: 1 1 (m 1) (m 2) 2m 6m 2(m ) 2 2 2 h OA OB Suy h2 2, max h = m = (3) Từ (1), (2) (3) suy Max h = m = ThuVienDeThi.com 0,5 đ 0,5 đ 5,0 đ Câu B D I O C H E P a (1,5) Q A F Ta có BEF vng B; có BA EF BA đường cao BEF nên AB2 = AE AF AE AB AE AE AB AB (1) 1 AB AF OA AQ AB AF 2 0,5 đ 0,5 đ Mặt khác tam giác AEO tam giác ABQ vuông đỉnh A (2) Từ (1) (2), Suy AEO ABQ (c.g.c) 0,5 đ b BA đường cao tam giác BPQ suy H thuộc BA (1,5đ) Nối PH cắt BQ I Do AEO ABQ (câu a) Suy ABQ AEO 0,5 đ Lại có ABQ IPQ (góc có cạnh tương ứng vng góc) , mà hai góc vị trí đồng vị => PH //OE nên AEO IPQ Trong AEO có PE = PA (giả thiết); PH//OE suy HO = HA hay H trung điểm OA c AB.PQ R S R PQ R ( AP AQ ) ( AE AF) Ta có BPQ (2,0đ) 2 Áp dụng BĐT Cơ si, ta được: R R ( AE+AF) AE.AF R AB R R 2R 2 Do GTLN S BPQ 2R AE = AF BEF vuông cân B BCD vuông cân B AB CD Vậy SBPQ đạt giá trị nhỏ 2R2 AB CD ThuVienDeThi.com 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ M Câu (2,0 đ) 2,0 đ b(1 3a ) (1 3a )b (1 3a )(1 b b ) 3a 3a = = + 3a 2 2 1 b 1 b 1 b Do b 2b (Bất đẳng thức cô-si) b(1 3a ) 3a Hay (1); 3a 2 1 b 2 Ta có: 0,5 đ Tương tự ta có: c(1 3b) 3b (2); 3b 2 1 c a (1 3c) 3c (3) 3c 2 1 a 0,5 đ Từ (1);(2);(3), ta có: a b c 3(ab bc ac) 5(a b c) 2 2 2 2 Lại có (a - b) + (b - c) + (c - a) suy a + b + c (ab + bc + ac) Nên (a + b + c)2 3(ab + bc + ac) = suy a + b + c Do P P + 3(a + b + c) - Vậy giá trị nhỏ P 6, a = b = c = Câu 0,5 đ 0,5 đ 2,0 đ B P O I A Q K C M (2,0 đ) Gọi P, Q trung điểm AB, AC Giao điểm OA PQ I AB AC hai tiếp tuyến nên AB = AC AO tia phân giác góc BAC PAQ cân A AO PQ Áp dụng Định lý Pitago ta có: MK2 = MO2 – R2 ( MKO vuông K) MK2 = (MI2 + OI2) – R2 ( MOI vuông I) MK2 = (MI2 + OI2) – (OP2 – PB2) ( BOP vuông B) MK2 = (MI2 + OI2) – [(OI2 + PI2) – PA2] ( IOP vuông I PA = PB) MK2 = MI2 + OI2 – OI2 + (PA2 – PI2) MK2 = MI2 + AI2 ( IAP vuông I) MK2 = MA2 ( IAM vuông I) MK = MA 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ Hết ThuVienDeThi.com ...PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THI? ??U HĨA ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2014 - 2015 Mơn: Tốn Nội dung Câu Câu 1 a ĐK: x 0;... trị ngun c Với x = 7 49( 5 2)(3 2 )(3 2 ) (1,0đ) x = - 49( 5 2)(5 2) 75 ( 39 20 2) x 75.( 39 20 5) Vậy A Câu a (2,0đ) 0,5 đ x 3 x x 3 75.( 39 20 5) Điều kiện... 4,0 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ x4 2 x4 4 x 8 x = thỏa mãn điều kiện Vậy nghiệm PT x = ThuVienDeThi.com 0,5 đ b Ta có : 150 – 15x = 20y2 – 6xy 6xy – 15x = 20y2 – 150 (2,0đ) 3x(2y – 5)
Ngày đăng: 25/03/2022, 08:57
Xem thêm:
