PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THIỆU HĨA ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm có 01 trang) ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2014 - 2015 Mơn: Tốn Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Ngày thi: 02 tháng 12 năm 2014 Câu 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức: A ( x 1 x ): 1 x 4x 1 1 x 4x x 1 a) Rút gọn A; b) Tìm giá trị nguyên x để A đạt giá trị nguyên; c) Tính giá trị A với x 7 49(5 2)(3 2 )(3 2 ) Câu 2: (4,0 điểm) a) Giải phương trình: x x x b) Tìm nghiệm nguyên phương trình 20 y xy 150 15 x Câu 3: (3,0 điểm) Cho đường thẳng (m – 2)x + (m – 1)y = (d) a) Chứng minh đường thẳng (d) qua điểm cố định với giá trị m b) Tính giá trị m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng (d) lớn Câu 4: (5,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) hai đường kính AB CD cho tiếp tuyến A đường tròn (O; R) cắt đường thẳng BC BD hai điểm tương ứng E F Gọi P Q trung điểm đoạn thẳng AE AF a) Chứng minh tam giác AEO tam giác ABQ đồng dạng b) Chứng minh trực tâm H tam giác BPQ trung điểm đoạn thẳng OA c) Hai đường kính AB CD thoả mãn điều kiện BPQ có diện tích nhỏ Câu (2,0 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 3a 3b 3c Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 1 b2 1 c2 1 a2 Câu 6: (2,0 điểm) Từ điểm A đường tròn (O; R), kẻ hai tiếp tuyến AB AC với đường tròn (B C tiếp điểm) Gọi M điểm đường thẳng qua trung điểm AB AC Kẻ tiếp tuyến MK đường tròn (O; R) Chứng minh MK = MA Họ tên học sinh: ; Số báo danh: ThuVienDeThi.com PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THIỆU HĨA ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2014 - 2015 Mơn: Tốn Nội dung Câu Câu 1 a ĐK: x 0; x ; x (2,0đ) Điểm 4,0 đ 0,5 đ x x 1 : A=1 x x (2 x 1) x x b (1,0đ) A=1- x x x (2 x 1) (2 x 1)(2 x 1) x 1 0,5 đ A=1- x 1 x 1 x 1 1 x 1 x 1 x 1 x 0,5 đ A Z Z 1 x 0,25 đ Z nên x số hữu tỉ 1 x Suy x số phương, x Z => x Ư(2) Do x 0; x 1; x Z x Ư(2) => x = Do Vậy x = A có giá trị nguyên c Với x = 7 49(5 2)(3 2 )(3 2 ) (1,0đ) x = - 49(5 2)(5 2) 75 (39 20 2) x 75.(39 20 5) Vậy A Câu a (2,0đ) 0,5 đ x 3 x x 3 75.(39 20 5) Điều kiện x x x 1 x 2 x 1 x 4 3 2 x x 1 x x 1, x 1, x 1 x x4 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 4,0 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ x4 2 x4 4 x 8 x = thỏa mãn điều kiện Vậy nghiệm PT x = ThuVienDeThi.com 0,5 đ b Ta có : 150 – 15x = 20y2 – 6xy 6xy – 15x = 20y2 – 150 (2,0đ) 3x(2y – 5) = 5(4y2 – 25) – 25 (2y – 5)(10y + 25 – 3x) = 25 = 1.25 = (-1).(-25) = 5.5 = (-5).(-5) Xét trường hợp sau: 2 y x 10 ) 10 y 25 x 25 y 70 2 y 1 x ) 10 y 25 x 25 y 70 2 y x ) 10 y 25 x y 2 y 25 x 58 ) 10 y 25 x y 15 x 10 2 y 25 ) 74 10 y 25 x 1 y 2 y 5 x 10 ) 10 y 25 x 5 y Vậy (x,y) = (10;3) (x,y) = (10;0) (x,y) = (58;15) Câu a Điều kiện cần đủ để đường thẳng (m – 2)x + (m – 1)y = (d) qua (1,5đ) điểm cố định N(xo,yo) là: (m – 2)xo + (m – 1)yo = 1, với m mxo – 2xo + myo – yo – = 0, với m (xo + yo)m – (2xo + yo + 1) = với m xo 1 xo y o yo 2 x o y o Vậy đường thẳng (d) qua điểm cố định N (-1; 1) b + Với m = 2, ta có đường thẳng y = (1,5đ) khoảng cách từ O đến (d) (1) + Với m = 1, ta có đường thẳng x = -1 khoảng cách từ O đến (d) (2) + Với m ≠ m ≠ Gọi A giao điểm đường thẳng (d) với trục tung Ta có: x = y = 1 , OA = m 1 m 1 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 3,0 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ Gọi B giao điểm đường thẳng (d) với trục hồnh Ta có: y = x = 1 , OB = m2 m2 Gọi h khoảng cách Từ O đến đường thẳng (d) Ta có: 1 1 (m 1) (m 2) 2m 6m 2(m ) 2 2 2 h OA OB Suy h2 2, max h = m = (3) Từ (1), (2) (3) suy Max h = m = ThuVienDeThi.com 0,5 đ 0,5 đ 5,0 đ Câu B D I O C H E P a (1,5) Q A F Ta có BEF vng B; có BA EF BA đường cao BEF nên AB2 = AE AF AE AB AE AE AB AB (1) 1 AB AF OA AQ AB AF 2 0,5 đ 0,5 đ Mặt khác tam giác AEO tam giác ABQ vuông đỉnh A (2) Từ (1) (2), Suy AEO ABQ (c.g.c) 0,5 đ b BA đường cao tam giác BPQ suy H thuộc BA (1,5đ) Nối PH cắt BQ I Do AEO ABQ (câu a) Suy ABQ AEO 0,5 đ Lại có ABQ IPQ (góc có cạnh tương ứng vng góc) , mà hai góc vị trí đồng vị => PH //OE nên AEO IPQ Trong AEO có PE = PA (giả thiết); PH//OE suy HO = HA hay H trung điểm OA c AB.PQ R S R PQ R ( AP AQ ) ( AE AF) Ta có BPQ (2,0đ) 2 Áp dụng BĐT Cơ si, ta được: R R ( AE+AF) AE.AF R AB R R 2R 2 Do GTLN S BPQ 2R AE = AF BEF vuông cân B BCD vuông cân B AB CD Vậy SBPQ đạt giá trị nhỏ 2R2 AB CD ThuVienDeThi.com 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ M Câu (2,0 đ) 2,0 đ b(1 3a ) (1 3a )b (1 3a )(1 b b ) 3a 3a = = + 3a 2 2 1 b 1 b 1 b Do b 2b (Bất đẳng thức cô-si) b(1 3a ) 3a Hay (1); 3a 2 1 b 2 Ta có: 0,5 đ Tương tự ta có: c(1 3b) 3b (2); 3b 2 1 c a (1 3c) 3c (3) 3c 2 1 a 0,5 đ Từ (1);(2);(3), ta có: a b c 3(ab bc ac) 5(a b c) 2 2 2 2 Lại có (a - b) + (b - c) + (c - a) suy a + b + c (ab + bc + ac) Nên (a + b + c)2 3(ab + bc + ac) = suy a + b + c Do P P + 3(a + b + c) - Vậy giá trị nhỏ P 6, a = b = c = Câu 0,5 đ 0,5 đ 2,0 đ B P O I A Q K C M (2,0 đ) Gọi P, Q trung điểm AB, AC Giao điểm OA PQ I AB AC hai tiếp tuyến nên AB = AC AO tia phân giác góc BAC PAQ cân A AO PQ Áp dụng Định lý Pitago ta có: MK2 = MO2 – R2 ( MKO vuông K) MK2 = (MI2 + OI2) – R2 ( MOI vuông I) MK2 = (MI2 + OI2) – (OP2 – PB2) ( BOP vuông B) MK2 = (MI2 + OI2) – [(OI2 + PI2) – PA2] ( IOP vuông I PA = PB) MK2 = MI2 + OI2 – OI2 + (PA2 – PI2) MK2 = MI2 + AI2 ( IAP vuông I) MK2 = MA2 ( IAM vuông I) MK = MA 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ Hết ThuVienDeThi.com ...PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THI? ??U HĨA ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2014 - 2015 Mơn: Tốn Nội dung Câu Câu 1 a ĐK: x 0;... trị ngun c Với x = 7 49( 5 2)(3 2 )(3 2 ) (1,0đ) x = - 49( 5 2)(5 2) 75 ( 39 20 2) x 75.( 39 20 5) Vậy A Câu a (2,0đ) 0,5 đ x 3 x x 3 75.( 39 20 5) Điều kiện... 4,0 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ x4 2 x4 4 x 8 x = thỏa mãn điều kiện Vậy nghiệm PT x = ThuVienDeThi.com 0,5 đ b Ta có : 150 – 15x = 20y2 – 6xy 6xy – 15x = 20y2 – 150 (2,0đ) 3x(2y – 5)