Đề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện Thanh Oai năm học 20152016 môn thi: Toán Trường THCS Xuân Dương25756

PHÒNG GD&ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS XUÂN DƯƠNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP NĂM HỌC 2015 – 2016 Mơn thi: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: (6đ) Cho biĨu thøc P= - + ( víi x≥ ; x≠ 1) a) Rót gän biĨu thøc P b) Tính giá trị biểu thức với x = + +2 c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P Câu 2: (4đ) a) Giải phương trình: x  x   x   x  21x  11 b) Tìm giá trị nhỏ A= xy yz zx   với x,y,z số dương x2 + y2 + z2 = z x y Câu 3: (3đ) a)Tìm nghiệm nguyên phương trình : 2x6 + y2 –2 x3y = 320 b) Cho x, y, z số dương thoả mãn Chứng minh rằng: 1   6 x y yz zx 1    3x  y  z 3x  y  3z x  y  3z Câu 4: (6đ) Cho đường tròn tâm O đường kính AB M điểm thuộc đoạn thẳng OA, vẽ đường trịn tâm O’ đường kính MB Gọi I trung điểm đoạn thẳng MA, vẽ dây cung CD vuông góc với ABtạiI Đường thẳng BC cắt đường trịn (O’) J a) Chứng minh: Đường thẳng IJ tiếp tuyến đường trịn (O’) b) Xác định vị trí M đoạn thẳng OA để diện tích tam giác IJO’ lớn Câu 5: (1đ) Tìm số nguyên dương x,y thỏa mãn: 2xy + x + y = 83 -Hết ThuVienDeThi.com PHÒNG GD&ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS XUÂN DƯƠNG Câu ý Nội dung trình bày a P = (6đ) ĐÁP ÁN CHẤM THI HGS TOÁN Năm học: 2015– 2016 - Điểm + 0,5 0,5 = = = 0,5 = 0,5 = 0,75 = 0,25 b Đặt y = + y = 7+5 +7-5 0,25 + 3( + ) 0,25  y = 14 - 3y  y +3y -14 = …………  (y- 2)( y + 2y + 7) = ( y + 2y + + ≥ 6)  ……  y =  x = Thay x =4 vào biểu thức rút gọn P ta P=4 c P = = … = x +3 + -6 0,25 Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ®èi víi sè d­¬ng ta cã P = x +3 + -6≥2 -6 0,5 P ≥ 10 - = VËy Min P =  x +3 = x=4 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 a ĐK: x  x=0,5 0,5 (4đ) ThuVienDeThi.com Biến đổi: x  x   x   x  21x  11   x  42 x  1  x  42 x  1  2x   2x   x  112 x  1 x  112 x  1   x  1( x    x  11)  1,0  x   0(1) Hoặc x    x  11  (2) Giải (1) x=0,5 (thỏa mãn),giải (2) x=5 (thỏa mãn) b A= 0,5 xy yz zx   z x y Nên A2 = x2 y2 y2 z2 z2 x2    ( x2+y2+z2 =1) z x y 0,75 = B +2 Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho số dương ta có x2 y2 y2 z2 x2 y2 y2 z2    2y2 z2 x2 z2 x2 y2 z2 z2 x2 Tương tự   2z 2 x y x2 y2 z2 x2   2x 2 z y Cộng vế với vế ta 2B   B  Do A2 = B +2  nên A  Vậy Min A =  x=y=z= (3đ) a 0,75 0,5 3 Từ 2x6 + y2 – 2x3y = 320 (x3-y)2 +(x3)2=320 => (x3)2 £ 320 0,5 mà x nguyên nên x £ Nếu x=1 x=-1 y không nguyên (loại) Nếu x=2=> y=-2 y=6 Nếu x=-2 => y=-6 y=2 Vậy phương trình cho có cặp nghiệm (x;y) là: (2;-2);(2;6);(-2;-6);(-2;2) 0,75 0,25 ThuVienDeThi.com b Áp dụng BĐT  1   a b ab (với a, b > 0) 0,5 11 1     ab 4 a b Ta có:  1 1 1      3x  y  z 2 x  y  z   x  y  z   x  y  z x  y  z   1  1 1 1             x  y   x  z  x  y    y  z    x  y x  z x  y y  z    1 1      16  x  y x  z y  z  1 1       x  y  z 16  x  z x  y y  z  1 1       x  y  z 16  y  z x  y x  z  Tương tự: 0,5 Cộng vế theo vế, ta có: 1 1 4         3x  y  z 3x  y  3z x  y  3z 16  x  y x  z y  z   4 1        16  x  y x  z y  z  4 0,5 1,0 C (6đ) J A I M O O’ B D a Xét tứ giác ACMD có : IA = IM (gt), IC = ID (vì AB  CD : gt)  ACMD hình thoi 0,5 ThuVienDeThi.com  AC // DM, mà AC  CB (do C thuộc đường trịn đường kính AB)  DM  CB; MJ  CB (do J thuộc đường tròn đường kính MB)  D, M, J thẳng hàng 0,5 A A A = 900 ) + IMD = 900 (vì DIM Ta có : IDM A = IDM A Mà IJM (do IC = IJ = ID :  CJD vng J có JI trung tuyến) 0,5 A A A MJO' = JMO' = IMD (do O’J = O’M : bán kính đường trịn (O’); ˆ ˆ JMO ' IMD đối đỉnh) A  900  IJ tiếp tuyến (O’), A + MJO' A  900  IJO  IJM J tiếp điểm b 0,5 Ta có: IA = IM  IO’ = AB = R (R bán kính (O)) O’M = O’B (bán kính (O’)  JIO’ vng I : IJ2 + O’J2 = IO’2 = R2 Mà IJ2 + O’J2  2IJ.O’J = 4SJIO’ R Do SJIO’  R SJIO’ = IJ = O’J  JIO’ vuông cân 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 có cạnh huyền IO’ = R nên : 2O’J2 = O’I2 = R2  O’J = (1đ) R 2 Khi MB = 2O’M = 2O’J = R 0,5 Tìm x,y nguyên dương thỏa mãn: 2xy + x +y = 83  xy  x  y   167  (2 x  1)(2 y  1)  167 Do x,y nguyên dương  (2 x  1);(2 y  1)  Z  (2 x  1);(2 y  1)  Ư(167) 0,5 0,5 Lập bảng tìm (x,y)=(0;83);(83;0) ThuVienDeThi.com ...PHÒNG GD&ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS XUÂN DƯƠNG Câu ý Nội dung trình bày a P = (6đ) ĐÁP ÁN CHẤM THI HGS TOÁN Năm học: 2015– 2016 - Điểm + 0,5 0,5 = = = 0,5 = 0,5... ThuVienDeThi.com  AC // DM, mà AC  CB (do C thuộc đường tròn đường kính AB)  DM  CB; MJ  CB (do J thuộc đường trịn đường kính MB)  D, M, J thẳng hàng 0,5 A A A = 90 0 ) + IMD = 90 0 (vì DIM... = IMD (do O’J = O’M : bán kính đường tròn (O’); ˆ ˆ JMO ' IMD đối đỉnh) A  90 0  IJ tiếp tuyến (O’), A + MJO' A  90 0  IJO  IJM J tiếp điểm b 0,5 Ta có: IA = IM  IO’ = AB = R (R bán kính