Kẻ các tiếp tuyến KA, KB với đường tròn A, B là các tiếp điểm.. Kẻ đường kính AOC.. Chứng minh rằng: ∆KBC đồng dạng với ∆OBE... Kẻ các tiếp tuyến KA, KB với đường tròn A, B là các tiếp đ
Trang 1Đề + ĐáP áN thi chọn học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện
Môn: Toán Thời gian: 150 phút Năm học: 2010 - 2011
Câu 1: (5 điểm)
1 Cho: A =
1 1
ab :
a, Tìm điều kiện của a, b để biểu thức có nghĩa
b, Rút gọn A
2, Cho ba số nguyên x, y, z thỏa m2n: x + y + z ⋮ 6 chứng minh rằng:
M = {(x+y)(y+z)(z+ ưx) 2xyz 6}⋮
Câu 2 (3 điểm)
3 3
2 1 1 2+3 2 2 3+ +100 99 99 100
Câu 3 (4 điểm)
Giải các phương trình và hệ phương trình sau đây:
a, 3 + 2x 3ư = x b, x 1 3 y 2 2
Câu 4: (4 điểm)
Tính diện tích tam giác vuông có chu vi là 72cm, hiệu giữa đường trung tuyến và đường cao ứng với cạnh huyền bằng 7cm
Câu 5: (4 điểm)
Cho đường tròn tâm O, điểm K nằm bên ngoài đường tròn Kẻ các tiếp tuyến KA, KB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm) Kẻ đường kính AOC Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại C cắt AB tại E Chứng minh rằng: ∆KBC đồng dạng với ∆OBE
Trang 2Đáp án
Chú ý: Đáp án chỉ mang tính tham khảo
Câu 1: 1 Cho: A =
1 1
ab :
a, ĐKXĐ: a > 0, b > 0, a ≠ b
b, Rút gọn: A = ( ) ( )3 3
2 2
=
2 2
2 2
a b ab ( a b )
= ( ) 2 2
(b a)(b a) ab
a b b a
−
= ( ) (b a)
a.b
+
2, Cho ba số nguyên x, y, z thỏa m2n: x + y + z ⋮ 6 chứng minh rằng:
M = {(x+y)(y+z)(z+ −x) 2xyz 6}⋮
Ta có: x3 - x = (x -1)x(x + 1)⋮ 6 (Vì tích của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6)
⇒ x3 + y3 + z3 - (x + y + z) = (x3 - x) + (y3 - y) + (z3 - z) ⋮ 6
(Vì mỗi biểu thức trong ngoặc đều chia hết cho 6)
⇒ x3 + y3 + z3 - (x + y + z) ⋮ 6 Mà (x + y + z) ⋮ 6 ⇒ x3 + y3 + z3 ⋮ 6
Mặt khác: (x + y + z)3 = (x + y)3 + 3(x + y)z(x + y + x) + z3
= x3 + 3xy(x + y) + y3 + 3(xz + yz)(x + y + z) + z3
= x3 + y3 + z3 + 3(x + y + z)(xy + yz + xz) - 3xyz
Do (x + y + z) ⋮ 6 và x3 + y3 + z3 ⋮ 6 ⇒ 3xyz ⋮ 6
Vậy M = (x + y)(y + z)(z + x) - 2xyz
= {(x + y + z) - z}{y + z + x) - x}{(z + x + y) - y} - 2xyz (vì x + y + z ⋮ 6)
= (6k - z)(6k - x)( 6k - y) - 2xyz
= 6N - xyz - 2xyz = 6N - 3xyz ⋮ 6 (vì 6N ⋮ 6 và 3xyz ⋮ 6) ⇒ (đpcm)
Câu 2 1 So sánh: 2 3 2 3
3 3
=
= 3 1 3 1 2 3
3
2 3
3 3
2 1 1 2+3 2 2 3+ +100 99 99 100
Với mọi n ∈ N* ta có:
n(n 1) n(n 1) n(n 1)
Trang 3S = 1 1 1 1 1 1 1 1
1ư 2 + 2 ư 3 + 3ư 4 + + 99 ư 100 = 1 - 1 9
10 =10
Câu 3 Giải các phương trình và hệ phương trình sau đây:
a, 3 + 2x 3ư = x ⇔ x 3 0 2
ư ≥
x2 3 x 3
⇔
≥
=
=
Loại ⇔ x = 6
Vậy phương trình có một nghiệm x = 6
b, x 1 3 y 2 2
(*) ĐKXĐ: x ≥ 1, y ≥ -2
Đặt U = x 1ư ≥ 0, V = y+2 ≥ 0 Khi đó
2U 5V 15 2U 5V 15
⇔
Vậy (*) ⇔ x 1 5 x 26
⇔
= ư
(T/m) Vậy hệ có một nghiệm duy nhất (26; -1)
Câu 4: (4 điểm)
Tính diện tích tam giác vuông có chu vi là 72cm, hiệu giữa đường trung tuyến và đường cao ứng với cạnh huyền bằng 7cm
(Tự viết GT/KL)
Gọi AB = c, BC = a, CA = b, AH = h (Với 0 < a, b, c, h < 72) Khi đó a2 = b2 + c2 (Pitago)
bc (2bc) (b c a 2bc)
(b c) a (a b c)(b c a)
= 1(a b c)(a b c 2a) 1.72.(72 2a)
4 + + + + ư = 4 ư (1)
+) Mặt khác: AM = BC a
2 = 2 ⇒ S = 1ah 1a.(a 7)
2 = 2 2ư (2)
Từ (1) và (2) ta có phương trình: 1.72.(72 2a)
4 ư = 1a.(a 7)
2 2ư ⇔ 5184 - 144a = a2 - 14a ⇔ a2 + 130a - 5184 = 0 ⇔ (a - 32)(a + 162) = 0
⇔ a = 32 (T/m) hoặc a = -162 (loại)
⇒ S = 1.72.(72 2a)
4 ư = 18.(72 - 2.32) = 144 (cm2) Vậy SABC = 144 (cm2)
Câu 5: (4 điểm)
Cho đường tròn tâm O, điểm K nằm bên ngoài đường tròn Kẻ các tiếp tuyến KA, KB
với đường tròn (A, B là các tiếp điểm) Kẻ đường kính AOC Tiếp tuyến của đường tròn
(O) tại C cắt AB tại E CMR: ∆KBC đồng dạng với ∆OBE
(HS Tự ghi GT/KL)
C/m
h
a M
B
A
Trang 4Chú ý: HS ch−a học các góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây đến thời điểm thi
Ta có: K2 =K1 (Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
mà KO là trung trực của AB ⇒ AHK = 900
⇒ K1=A1 (Cùng phụ với AOK )
Lại có: A1=C1 (Cùng phụ với AOK )
Vậy: K2 =C1
- Xét ∆BKO và ∆BCE có:
KBO =CBE = 900 (gt)
K2 =C1 (C/m trên)
⇒ ∆BKO ∆BCE
⇒ BK BO
BC = BE (1)
OBE=90 +OBC
0
KBC=90 +OBE
⇒ OBE = KBC (2)
Từ (1) và (2) ⇒ ∆OBE ∆KBC (c.g.c) (đpcm)
2 1
1
1
H
E
O
C
K
B A