Đề thi chọn học sinh giỏi lớp năm học 2015- 2016 Thời gian làm 150 phút (không kể thời gian giao đề) Phòng GD huyện Thanh Oai Trường THCS Bình Minh Bài 1: (6đ) a Cho biểu thức: x x P 1 : x 1 x 1 x x x x 1 1.Rút gon P 2.Tính P x=7+2 Tìm giá trị nhỏ P x>1 b Chứng minh rằng: Với n N Ta có 33n 3 26n 27 169 Bài 2:(4đ) a.Giải phương trình: x 3x x x b.Cho a,b,c a3b3+ b3c3 + c3a3 =3a2b2c2 Tính A 1 1 1 b c a a b c Bài 3:(3đ) a.Tìm nghiệm nguyên phương trình (x+2)4 _ x4 = y3 1 b Cho x,y>0 x+y=1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A= x y x y 2 Bài 4:(6đ) Cho đường trịn tâm O bán kính R, từ điểm S ngồi đường trịn vẽ tiếp tuyến SA.SB ( A, B tiếp điểm) Kẻ đường kính AC (O), tiếp tuyến C cắt AB E Chứng minh: a) Bốn điểm A,O,S,B thuộc đường tròn b) AC2 = AB.AE c) SO // CB d) OE vng góc với SC Bài 5: (1đ) Tìm a,b số nguyên dương cho: a + b2 chia hết cho a2b-1 ThuVienDeThi.com Đáp án + biểu điểm Bài 1: a) (4đ) 1.(2đ) Tìm ĐK: x 0; x , 0,25đ P x 1 x x : x 1 x ( x 1)( x 1) 0,5đ P x x 1 x 1 x : x 1 ( x 1)( x 1) 0,5đ P x x ( x 1)( x 1) x 1 ( x 1) 0,5đ x x 1 P x 1 0,25đ (1đ) Ta có x= ( 1)2 x Thay vào biểu thức ta có P Ta có P P 11 6 1 1 x x 1 3 x 2 x 1 3 x 1 x 1 x 1 0.5đ 0,5đ 0,5đ Do x>1 x Áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho số dương ta có P Dấu “ =” xảy x= (1+ )2 Vậy Min P= x= (1+ )2 0,25đ b Đặt A= 33n+3 - 26n – 27 = 27.27n – 26n - 27 =27.(27n – 1) -26n = 27(27-1)(27n-1 + 27n-2 +…+27+1) - 26n =26( 27n+27n-1+27n-2+…+27 – n) =26 (27 n 1) (27 n 1 1) (27 n 2 1) (27 1) 0,5đ 0,5đ =26.bội số của26 169(đpcm) Bài 2:(4đ) a) (2đ) ĐK: x 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 1 ThuVienDeThi.com Biến đổi: x x x 3x Giả sử vế phương trình dấu, bình phương vế ta 0,5đ (4 x 5)( x 3) (2 x 7)(3 x 1) x 17 x 15 x 23 x 0,5đ 0,25đ x x ( x 4)( x 1) x 4loai x 0,5đ b)(2đ) Đặt ab=x;bc=y;ca=z Ta có x3 + y3 + z3 = 3xyz 2 Biến đổi ta được: ( x y z ) ( x y ) ( y z ) ( z x) x y z x y z Nếu x+y+z=0 ab bc ca A=-1 Nếu x=y=z a=b=c A=8 Bài 3: (3điểm) a 1,5d) Giải: (x+2)4 –x4 =y3 x4 +8x3 +24x2 + 32x + 16 –x4 = y3 8x3+24x2 +32x +16 =y3 Vì 12x2 + 22x +11 = 11(x+1)2 + x2 >0 12x2+ 26x +15 = 11(x+1)2 + (x+2)2>0 Ta có : (8x3 +24x2 + 32x +16) - (12x2 + 22x +11) < y3 < (8x3 +24x2 + 32x +16) + ( 12x2+ 26x +15) (2x+1)3 a b ab Dấu “=” xảy a=b Áp dụng bất đẳng thức ta có: ThuVienDeThi.com 0,75đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 2 1 1 25 1 1 ( x+y =1) A x y = x y (1 4) 2 x y 2 2 x y Dấu “=” xảy x= y = 0,5 Vậy Min A = 12,5 x= y = 0,5 Bài 4:(6đ) a Vẽ hình chứng minh điểm A,O,S,B thuộc đường trịn đường kính SO b.Cm AC2=AB.AE S S A A A A B c Cm SO//CB E 0,5đ 0,25đ 0,25đ 1,5đ 1,5đ O C y 1,5đ EC AC EC AC d Cm AECđồng dạng SOA OCE đồng OA SA OC SA dạng SAC từ suy OE vng góc với SC Bài 5: (1đ) 1,5đ x 2 xy y ( x 2) xy x( xy 2) 2( x y ) xy 2( x y ) xy Đặt 2(x+y)=k(xy+2) với k Z Nừu k=1 x y xy ( x 2)( y 2) Tìm x=4 ; y=3 Nừu k 2( x y ) 2( xy 2) x y xy ( x 1)( y 1) vơ lí (loại) Vậy x=4 y=3 Chú ý: Nếu học sinh làm cách khác cho điểm ThuVienDeThi.com 1,0đ ... 0,5đ =26.bội số của26 1 69( đpcm) Bài 2:(4đ) a) (2đ) ĐK: x 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 1 ThuVienDeThi.com Biến đổi: x x x 3x Giả sử vế phương trình dấu, bình phương vế ta 0,5đ (4... 2) x y xy ( x 1)( y 1) vơ lí (loại) Vậy x=4 y=3 Chú ý: Nếu học sinh làm cách khác cho điểm ThuVienDeThi.com 1,0đ ... Và bất đẳng thức : 1 với a,b > a b ab Dấu “=” xảy a=b Áp dụng bất đẳng thức ta có: ThuVienDeThi.com 0,75đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 2 1 1 25 1 1 ( x+y =1) A x