PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THANH OAI Trường THCS Cao Viên Bài 1: (5,0điểm) 1 x 1 x Cho biểu thức A ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2013 - 2014 Mơn thi: Tốn Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 27/11/2013 (Đề thi gồm 01 trang) 2x x 2x x x x : x 1 x x Tìm điều kiện xác định Rút gọn biểu thức A Tính giá trị A x 17 12 So sánh A với A Bài : ( 4,0 điểm ) Giải phương trình: 8x 46 10 x x x x Tìm nghiệm nguyên phương trình : x 23 y 16 x 44 y 16 xy 1180 Bài : ( 4,0 điểm ) T ính tổng S = 1 1 1 2013 2012 2012 2013 Cho ba số dương x, y, z thoả mãn 1 Chứng minh rằng: x y z x yz y zx z xy xyz x y z Bài : ( 5,0 điểm ) Cho đường tròn (O; R ) AB CD hai đường kính cố định (O) vng góc với M điểm thuộc cung nhỏ AC (O) K H hình chiếu M CD AB 1.Tính sin MBA sin MAB sin MCD sin MDC 2.Chứng minh: OK AH (2 R AH ) 3.Tìm vị trí điểm H để giá trị của: P = MA MB MC MD lớn Bài 5: ( 2,0 điểm ) Cho tam giác ABC vng A có AB < AC Vẽ trung tuyến AM tam giác ABC, góc ACB α, góc AMB Chứng minh rằng: sin cos sin -H ết -ThuVienDeThi.com H-íng dÉn chÊm thi häc sinh giái líp phßng Giáo dục & Đào tạo Thanh oai Năm học 2013 - 2014 Môn thi : Toán Bi 1:( im ) 1) Rút gọn biểu thức (2 điểm) 0,25 1 2x x 2x x x x ĐK : x 0;x ;x A : x x 1 x x 1 x x 2x x x x 2x x x : x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x x x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 : x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x x x 1 x : x x x x x x x 1 x 1 x x 1 x : x 1 1 x x x 1 x 1 x 1 1 x 1 : x x x x 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 1 x x x 2) Tính giá trị A x 17 12 (1 điểm) Tính x 17 12 2 A 2 17 12 32 3) So sánh A với A (1 điểm) x 3 2 2 3 2 5 15 10 32 2 32 1,5đ 32 1 x x x 1 x x 1 Chứng minh x với x 0;x ;x x A x 1 A A 1 A A 1 x Biến đổi A A A 0A A Bài (4,0 điểm) ThuVienDeThi.com 1,5đ 1) ĐK : 0,5đ 46 1 x 10 x 46 10 x x x x x 3 x 3 8x 46 10 x 46 10 x x x x 46 10 x 8x 46 10 x 10 1 x 8 1 x 1 x x x 8x 46 10 x 1 x 8 x 1 x x x 8 1 10 x2 x 46 10 x 0,25đ 0,25đ 0,5đ 2 Từ (1) suy ra: x = Từ (2), ta có : x2 – 4x + = (x – 2)2 + với x 10 10 46 10 x 6 10 10 8 suy : 46 10 x 8x 46 10 x 8x 3 10 8 x x , với x (2) không xảy 46 10 x 8x Vậy phương trình có nghiệm : x 46 10 x 46 10 x 0,25 0,25đ 2) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x 23 y 16 x 44 y 16 xy 1180 Biến đổi phương trình cho ta x y 1 15 y 1248 1248 y 2 y 83 15 Do x y 1 ,1248 chia hết cho 8; (15;8)=1 nên 2 cho y 0;16;64 Ta có TH sau: y 2 y * 2 x 3 156 8 x y 1 1248 0,5đ y số phương&chia hết 0,25đ Do 156 khơng số phương nên TH vơ nghiệm y 2 16 y 2 16 * Do 126 khơng số phương nên TH vô nghiệm 2 8 x y 1 15.16 1248 x y 1 126 y 10 y 2 64 * y 6 2 8 x y 1 15.64 1248 x y 1 36 y 10 y 6 y 10 y 6 x 5 x 1 Ta 2 x 11 36 x 17 x 36 x 11 Vậy (x; y) (-5; 10); (-17; 10); (-1; -6); (11; -6) Bài 3( 4điểm) 1) Trước hết ta chứng minh công thức tổng quat sau: Với số tự nhiên k >0 thì: ThuVienDeThi.com 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ k 1 k k Thật vậy: k 1 k 1 k k 1 k k 1 k 1 k k k 1 k 1 k 2 k k k k 1 k k k 1 k 1 k k 1 k 1 k k 1 0,5đ Khi thay giá trị k tương ứng ta có 1 1 2 1 22 3 1 3 4 k =1: k =2: k = 3: 1đ …… 1 2013 2012 2012 2013 2012 2013 S 1 Cộng theo vế đẳng thức ta có: 2013 k = 2013: 2) Bất đẳng thức cho tương đương với a bc b ca c ab ab bc ca , 1 với a , b , c , a b c x y z Ta có: a bc a (a b c) bc a a (b c) bc a 2a bc bc a bc Tương tự: 0,5đ 0,5 0,75 b ca b ca ; c ab c ab Từ ta có đpcm Dấu xảy x y z 0,25 0,5 Bài 4:( điểm) 0,5đ C K M B O H A D ThuVienDeThi.com Vì M thuộc (O) nên tam giác: BMA CMD vuông M nên: 1,5đ ) (sin MCD sin MBA sin MAB sin MCD sin MDC = (sin MBA cos MBA cos MCD ) =1 +1=2 Chứng minh: OK AH (2 R AH ) Thật vậy: KOHM hình chữ nhật nên: OK = MH Mà MH2 = HA.HB (Hệ thức lượng tam giác vng MAB có MH đường cao) BH = AB – AH = 2R - AH Suy ra: OK2 = MH2 = AH(2R- AH) P = MA MB MC MD =AB.MH.CD.MK = 4R2.OH.MH(Vì MK = OH) Mà OH.MH OH MH OM R (Pitago) 2 R2 Vậy P R R đẳng thức xẩy MH = OH 0,75 0,75 0,75 0,25 OH = 0,25 R 2 0,25 Bài 5:( điểm) A 0,25 B C H M Từ A vẽ AH BC Vì AB < AC nên HB < HC Do H nằm B M Nên sin = 0,25 AH AH = ( Vì AM = BC Theo t/c trung tuyến tam giác vuông) AM BC 0,25 Mặt khác: (sin cos ) = sin2 + cos2 + 2sin cos = + 2sin cos Mà 2sin cos = 0,25 AB AC AH BC AH =2 BC BC BC BC 0,25 Do sin = 2sin cos 0,25 Vì (sin cos ) = 1+ sin ( Nếu học sinh sử dụng cơng thức nhân đơi lượng giác phải chứng minh nó) Chú ý : thí sinh làm theo cách khác mà điểm tối đa ThuVienDeThi.com ...H-íng dÉn chÊm thi häc sinh giái líp phßng Giáo dục & Đào tạo Thanh oai Năm học 2013 - 2014 Môn thi : Toán Bi 1:( im ) 1) Rút gọn biểu thức (2 điểm) 0,25... 2 1 22 3 1 3 4 k =1: k =2: k = 3: 1đ …… 1 2013 2012 2012 2013 2012 2013 S 1 Cộng theo vế đẳng thức ta có: 2013 k = 2013: 2) Bất đẳng thức cho tương đương với a bc b ca... (sin cos ) = 1+ sin ( Nếu học sinh sử dụng cơng thức nhân đơi lượng giác phải chứng minh nó) Chú ý : thí sinh làm theo cách khác mà điểm tối đa ThuVienDeThi.com