Đề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện Thanh Oai năm học 2013 2014 môn thi: Toán Trường THCS Cao Viên41900

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THANH OAI Trường THCS Cao Viên Bài 1: (5,0điểm)  1    x 1 x Cho biểu thức A   ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2013 - 2014 Mơn thi: Tốn Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 27/11/2013 (Đề thi gồm 01 trang)  2x  x  2x x  x  x  :    x 1 x x   Tìm điều kiện xác định Rút gọn biểu thức A Tính giá trị A x  17  12 So sánh A với A Bài : ( 4,0 điểm ) Giải phương trình: 8x   46  10 x   x  x  x  Tìm nghiệm nguyên phương trình : x  23 y  16 x  44 y  16 xy  1180  Bài : ( 4,0 điểm ) T ính tổng S = 1 1     1   2013 2012  2012 2013 Cho ba số dương x, y, z thoả mãn 1    Chứng minh rằng: x y z x  yz  y  zx  z  xy  xyz  x  y  z Bài : ( 5,0 điểm ) Cho đường tròn (O; R ) AB CD hai đường kính cố định (O) vng góc với M điểm thuộc cung nhỏ AC (O) K H hình chiếu M CD AB ฀ ฀ ฀ ฀ 1.Tính sin MBA  sin MAB  sin MCD  sin MDC 2.Chứng minh: OK  AH (2 R  AH ) 3.Tìm vị trí điểm H để giá trị của: P = MA MB MC MD lớn Bài 5: ( 2,0 điểm ) Cho tam giác ABC vng A có AB < AC Vẽ trung tuyến AM tam giác ABC, góc ACB α, góc AMB  Chứng minh rằng: sin   cos   sin  -H ết -ThuVienDeThi.com H-íng dÉn chÊm thi häc sinh giái líp phßng Giáo dục & Đào tạo Thanh oai Năm học 2013 - 2014 Môn thi : Toán Bi 1:( im ) 1) Rút gọn biểu thức (2 điểm) 0,25 1   2x  x  2x x  x  x   ĐK : x  0;x  ;x    A   :   x x  1 x x 1 x   x 2x  x   x   x  2x  x  x   :    x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x  x     x x 1 x 1  x 1  x 1 x 1  :     x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x  x     x 1  x :  x       x  x    x  x  x                    x 1  x 1 x  x 1 x   :  x 1             1 x  x  x 1 x 1  x 1   1  x 1  :  x x x x      0,25 0,25 0,25 0,25 0,25  0,25 0,25 1 x  x x 2) Tính giá trị A x  17  12 (1 điểm)  Tính x  17  12   2 A     2  17  12   32 3) So sánh A với A (1 điểm) x 3  2    2 3  2   5 15  10 32 2  32 1,5đ 32 1 x  x  x 1 x x 1 Chứng minh x   với x  0;x  ;x  x A x 1   A   A 1   A A 1  x Biến đổi A   A A 0A  A Bài (4,0 điểm) ThuVienDeThi.com  1,5đ 1) ĐK : 0,5đ 46 1 x 10 x   46  10 x   x  x  x     x   3 x   3  8x    46  10 x   46  10 x    x  x  x  46  10 x  8x   46  10 x  10 1  x  8 1  x     1  x x  x   8x   46  10 x  1  x    8   x    1  x x  x  8 1 10  x2  x  46  10 x  0,25đ 0,25đ 0,5đ 2  Từ (1) suy ra: x = Từ (2), ta có : x2 – 4x + = (x – 2)2 +  với x 10 10   46  10 x  6 10 10 8 suy :     46  10 x  8x   46  10 x  8x   3 10 8    x  x  , với x  (2) không xảy 46  10 x  8x   Vậy phương trình có nghiệm : x  46  10 x   46  10 x    0,25 0,25đ 2) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x  23 y  16 x  44 y  16 xy  1180  Biến đổi phương trình cho ta x  y  1  15  y    1248 1248   y  2    y    83 15 Do x  y  1 ,1248 chia hết cho 8; (15;8)=1 nên 2 cho   y    0;16;64 Ta có TH sau:  y  2   y   *  2 x  3  156 8 x  y  1  1248  0,5đ  y   số phương&chia hết 0,25đ Do 156 khơng số phương nên TH vơ nghiệm  y  2  16  y  2  16  * Do 126 khơng số phương nên TH vô nghiệm 2 8 x  y  1  15.16  1248 x  y  1  126   y  10  y  2  64   *  y  6  2 8 x  y  1  15.64  1248  x  y  1  36  y  10  y  6  y  10  y  6      x  5     x  1 Ta  2 x  11  36   x  17 x    36   x  11   Vậy (x; y) (-5; 10); (-17; 10); (-1; -6); (11; -6) Bài 3( 4điểm) 1) Trước hết ta chứng minh công thức tổng quat sau: Với số tự nhiên k >0 thì: ThuVienDeThi.com 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ k  1 k k Thật vậy: k  1  k  1 k k 1  k k 1 k  1 k  k k  1 k  1 k  2 k k k k    1 k    k k  1       k  1  k k  1 k 1  k k 1 0,5đ Khi thay giá trị k tương ứng ta có 1   1 2 1   22 3 1   3 4 k =1: k =2: k = 3: 1đ …… 1   2013 2012  2012 2013 2012 2013 S  1 Cộng theo vế đẳng thức ta có: 2013 k = 2013: 2) Bất đẳng thức cho tương đương với a  bc  b  ca  c  ab   ab  bc  ca , 1 với a  , b  , c  , a  b  c  x y z Ta có: a  bc  a (a  b  c)  bc  a  a (b  c)  bc  a  2a bc  bc  a  bc Tương tự: 0,5đ 0,5 0,75 b  ca  b  ca ; c  ab  c  ab Từ ta có đpcm Dấu xảy x  y  z  0,25 0,5 Bài 4:( điểm) 0,5đ C K M B O H A D ThuVienDeThi.com Vì M thuộc (O) nên tam giác: BMA CMD vuông M nên: 1,5đ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ )  (sin MCD ฀ ฀ sin MBA  sin MAB  sin MCD  sin MDC = (sin MBA  cos MBA  cos MCD ) =1 +1=2 Chứng minh: OK  AH (2 R  AH ) Thật vậy: KOHM hình chữ nhật nên: OK = MH Mà MH2 = HA.HB (Hệ thức lượng tam giác vng MAB có MH đường cao) BH = AB – AH = 2R - AH Suy ra: OK2 = MH2 = AH(2R- AH) P = MA MB MC MD =AB.MH.CD.MK = 4R2.OH.MH(Vì MK = OH) Mà OH.MH  OH  MH OM R   (Pitago) 2 R2 Vậy P  R  R đẳng thức xẩy  MH = OH 0,75 0,75 0,75 0,25  OH = 0,25 R 2 0,25 Bài 5:( điểm) A 0,25 B C H M Từ A vẽ AH  BC Vì AB < AC nên HB < HC Do H nằm B M Nên sin  = 0,25 AH AH = ( Vì AM = BC Theo t/c trung tuyến tam giác vuông) AM BC 0,25 Mặt khác: (sin   cos  ) = sin2  + cos2  + 2sin  cos  = + 2sin  cos  Mà 2sin  cos  = 0,25 AB AC AH BC AH =2  BC BC BC BC 0,25 Do sin  = 2sin  cos  0,25 Vì (sin   cos  ) = 1+ sin  ( Nếu học sinh sử dụng cơng thức nhân đơi lượng giác phải chứng minh nó) Chú ý : thí sinh làm theo cách khác mà điểm tối đa ThuVienDeThi.com ...H-íng dÉn chÊm thi häc sinh giái líp phßng Giáo dục & Đào tạo Thanh oai Năm học 2013 - 2014 Môn thi : Toán Bi 1:( im ) 1) Rút gọn biểu thức (2 điểm) 0,25... 2 1   22 3 1   3 4 k =1: k =2: k = 3: 1đ …… 1   2013 2012  2012 2013 2012 2013 S  1 Cộng theo vế đẳng thức ta có: 2013 k = 2013: 2) Bất đẳng thức cho tương đương với a  bc  b  ca... (sin   cos  ) = 1+ sin  ( Nếu học sinh sử dụng cơng thức nhân đơi lượng giác phải chứng minh nó) Chú ý : thí sinh làm theo cách khác mà điểm tối đa ThuVienDeThi.com