Đề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện Thanh Oai năm học 20152016 môn thi: Toán Trường THCS Bích hòa34846

PHỊNG GD&ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS BÍCH HỊA ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2015-2016 Mơn thi: Tốn Thời gian: 150 phút Bài : (5,0 điểm)  x y x y   : 1  x  y  xy  Cho biểu thứcP =     xy   xy  xy      a)Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị P x  2 c) Tìm giá trị lớn P Bài 2: (4,0 điểm) a) Giải phương trình: x  x   x  x   b) Tìm số tự nhiên n ≥ cho 1! + 2! + 3! + 4! + … + n! số phương Bài 3: (4,0 điểm) a) Cho x.y > x + y = Chứng minh rằng:   x  y   xy b) Chứng minh bất đẳng thức sau:      30  30  30  30  30  Bài 4: (5,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) đường thẳng xy không giao Từ điểm M tùy ý xy kẻ hai tiếp tuyến MP MQ với đường trịn (O), P, Q tiếp điểm Qua O kẻ OH vng góc với xy, dây PQ cắt OH I, cắt OM K Chứng minh: a) OI.OH = OK.OM = R2 b) PQ luôn qua điểm cố định điểm M thay đổi xy Bài 5: (2,0 điểm) Cho tam giác ABC cân A, đường cao AD, trực tâm H Tính độ dài AD biết AH = 14cm; BH = CH = 30cm -Hết - ThuVienDeThi.com ĐÁP ÁN- THANG ĐIỂM Bài Bài (5điểm) a)ĐKXĐ: x ≥ 0; y ≥ 0; xy ≠  x y P =    xy P x x 1 b) x         1 ; 2   6 1  1 c) P   xy  x  y  xy   xy  x  y  xy   :   xy  xy   0,5 1,5 2  Điểm 0,5 x y   : 1  x  y  xy    xy   xy    x  y 1    P  Nội dung 0,5 x  1 1,0 32 13 x x 1 1  x 1 x 1 0,5 (Dấu ‘=’ xảy x = y ≠ 1) Vậy Max P = x = y ≠ 1, y≥ Bài (4điểm) a) ĐKXĐ: x ≥ 0,5 0,25 Nhân vế với ta được:  2x   2x     2x   2x   2 2  2x   2x   2x   2x   2  2x   0,5 0,25 0,5 0,5  x  (TMĐK) b)- Với n = 1! =1= 12 số phương - Với n = 1!+2! = 1+1.2 = khơng số phương - Với n = 1! + 2! + 3! =1 + 1.2 + 1.2.3 =9 = 32 số phương - Với n ≥ 1! + 2! + 3! + 4! =1 + 1.2 + 1.2.3 +1.2.3.4 = 33 cịn 5!; 6!; 7!;…; n! có tận Do : 1! + 2! + 3! + 4! + … + n! có tận nên khơng số phương Vậy có hai số tự nhiên thỏa mãn n = 1; n = ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 Bài (4điểm)  xy   x , y  a) Từ giả thiết  x  y   Ta có: 1  x  y  xy   xy   4(1) xy Lại có:  0,5 0,5  2 x  y  4.(12  12 ).( x  y )  4.( x  y )  (12  12 ).( x  y )   x  y      0,5 Suy ra: 8.(x4 + y4)  (2) Từ (1) (2) suy ra: 8.x  y     xy Ta có đpcm b) Vì  => 0,5  ; 30  36  30  nên 0,5 6 6 6 6  6 6 6 63 3 0,5 30  30  30  30  30  30  30  30  30   0,5 Cộng vế ta suy điều phải chứng minh Bài (5điểm) 0,5 0,5 O I P K Q x a) M Δ OMH y H đồng dạng với Δ OIK (g-g), ta có: 1,0 OM OH suy OI.OH = OM.OK (1)  OI OK Tam giác OPM vuông P mà PK  OM nên: R2 =OP2 = OK.OM (2) Từ (1) (2) suy ra: OI.OH = OK.OM = R2 ThuVienDeThi.com 1,0 0,5 1,0 R2 b)Từ câu a) suy OI= OH Câu (2điểm) Do R không đổi, OH khơng đổi nên OI khơng đổi, điểm I cố định Vậy điểm M thay đổi xy dây cung PQ ln ln qua điểm I cố định Gọi E điểm đối xứng với H qua BC Ta có BHCE hình thoi, ΔABE vuông B nên BE2 = ED.EA Đặt DE =x Có hai trường hợp: TH1: BAˆ C  90 A ta có:x(2x+ 14) = 302 Giải phương trình ta x =18 thỏa mãn H Từ tính AD=32cm 1,0 0,5 0,75 C B D x E TH2: BAˆ C  90 Ta có x(2x-14) = 302 Giải phương trình ta được: x= 25 thỏa mãn Từ tính AD = 11cm 0,75 H A B C x D x E ThuVienDeThi.com ... = ED.EA Đặt DE =x Có hai trường hợp: TH1: BAˆ C  90 A ta có:x(2x+ 14) = 302 Giải phương trình ta x =18 thỏa mãn H Từ tính AD=32cm 1,0 0,5 0,75 C B D x E TH2: BAˆ C  90 Ta có x(2x-14) = 302... phương Vậy có hai số tự nhiên thỏa mãn n = 1; n = ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 Bài (4điểm)  xy   x , y  a) Từ giả thi? ??t  x  y   Ta có: 1  x  y  xy   xy   4(1)... OPM vuông P mà PK  OM nên: R2 =OP2 = OK.OM (2) Từ (1) (2) suy ra: OI.OH = OK.OM = R2 ThuVienDeThi.com 1,0 0,5 1,0 R2 b)Từ câu a) suy OI= OH Câu (2điểm) Do R không đổi, OH khơng đổi nên OI khơng