1. Trang chủ
  2. » Luận Văn - Báo Cáo

Đề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện Thanh Oai năm học 20152016 môn thi: Toán Trường THCS Cao Dương39313

7 0 0

Đang tải... (xem toàn văn)

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 7
Dung lượng 187,87 KB

Nội dung

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH OAI TRƯỜNG THCS CAO DƯƠNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP Mơn: Tốn Năm học: 2015-2016 Thời gian làm 150 phút không kể thời gian giao đề Câu 1: (6,0 điểm) 1.a) Rút gọn biểu thức A = x 9 x  x 1   x 5 x 6 x  3 x b) Cho x, y, z thoả mãn: xy + yz + xz = Hãy tính giá trị biểu thức: A= x (1  y )(1  z ) (1  z )(1  x ) (1  x )(1  y )  y  z (1  x ) (1  y ) (1  z ) 2.Cho n số nguyên dương n lẻ CMR: 46  296.13 1947 n n Câu 2: (4 điểm) Giải phương trình x  3x   x   x   x  x  b ) Cho a, b, c số đôi khác thoả mãn: a b c + + =0 b-c c-a a-b a b c Chứng minh rằng: + + =0 2 (b - c) (c - a) (a - b) Câu 3: (3 điểm) a) Tìm nghiệm nguyên phương trình : 2x6 + y2 –2 x3y = 320 b) Cho x, y, z số dương thoả mãn Chứng minh rằng: 1   6 x y yz zx 1    3x  y  z 3x  y  3z x  y  3z Câu 4: (6 điểm) Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R Gọi M điểm thuộc đường tròn tâm O khác A,B.Các tiếp tuyến đường tròn tâm O A M cắt E Vẽ MP vng góc với AB(P AB), vẽ MQ vng góc với AE ( Q AE) 1.Chứng minh rằng: Bốn điểm A,E,M,O thuộc đường tròn tứ giác APMQ hình chữ nhật Gọi I trung điểm PQ Chứng minh O,I,E thẳng hàng ThuVienDeThi.com Gọi K giao điểm EB MP Chứng minh EAO đồng dạng với  MPB suy K trung điểm MP Đặt AP = x Tính MP theo x R.Tìm vị trí điểm M đường trịn (O) để hình chữ nhật APMQ có diện tích lớn Câu 5: (1điểm) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: xy2 + 2xy – 243y + x = Hết -(Cán coi thi khơng giải thích thêm) ThuVienDeThi.com PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THANH OAI Mơn: Tốn TRƯỜNG THCS CAO DƯƠNG Năm học: 2015-2016 Đáp án Câu Câu ( đ) 1.( 4đ) 1.a) Rút gọn biểu thức A = a) (2đ) Điểm x 9 x  x 1   x 5 x 6 x  3 x ĐKXĐ: x  0; x  4; x  A =  x 9   x  2 x  3 0,25đ x  x 1  x 2 x 3 0,5đ x   x   2x  x   x  2 x  3 0,25đ x x 2  x  2 x  3  x  1 x  2 =  x  2 x  3  0,25đ 0,5đ x 1 x 3 0,25đ b) Cho x, y, z thoả mãn: xy + yz + xz = Hãy tính: b) ( 2đ) (1  y )(1  z ) (1  z )(1  x ) (1  x )(1  y ) y z A= x (1  x ) (1  y ) (1  z ) Từ: xy + yz + xz =  + x2 = xy + yz + xz + x2 = y(x + z) + x(x + z) = (x + z)(x + y) Tương tự: + y2 = xy + yz +xz +y2 = y.(x+ y) +z (x +y) = ( x+ y).(y+z) 0,25đ 0,25đ 0,25đ + z2 = xy + yz + xz + z2 =x ( y + z)+ z (y + z) = ( y +z) ( x +z) A  x 1  y 1  z  y 1  z 1  x  z 1  x   y  1  x  1  y  1  z  2 2 2 2 0,25đ 0,25đ ThuVienDeThi.com x  y y  z y  z x  z   y y  z x  z x  z x  y  x  z x  y  x  y y  z  x  z x  y x  y y  z   z y  z x  z  2  x y  z   y x  z   z x  y  =  x.y  z  y.x  z  z.x  y   xy  xz  xy  yz  xz  yz   x Ta có: 46n + 296.13n = 46n - 13n + 297.13n = 46n - 13n + 9.33.13n = (46-13).(…) + 9.33.13n = 33 (…) + 9.33.13n ⋮ 33  (2 đ) Lại có: 46n + 296.13n = 46n + 13n +295.13n = (46n +13n) + 5.59.13n = (46+13) (…) + 5.59.13n = 59.(…) + 5.59.13n ⋮ 59  Mà (13; 39) = Nên từ   => 46n + 296.13n ⋮ 33.59 = 1947 (đpcm) 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ Câu ( 4đ) a) ( 2đ) a, x  3x   x   x   x  x  (1) x  3x    ĐK: x   x2 x  x    (1)  + x+3 = x-2 + 0,5đ  a.b + c = b + a.c  a(b - c) - (b - c) = a   (a - 1)(b - c) =   b  c Với a =  0,5đ 0,25đ  x 1  a   Đặt:  x   b    x   c  (1) 0,25đ x    x - =  x = (thoả mãn đk) ThuVienDeThi.com Với b = c  nghiệm x   x   x - = x +  0x = vô 0,5đ Vậy phương trình (1) có nghiệm x = b) Từ giả thiết ta có: b) ( 2đ) 0,5đ a b c ab - b - ac + c = = b-c a-c a-b a - b a - c  Nhân vế đẳng thức với ta có: b-c a b - c  = ab - b - ac + c a - b a - c b - c  Vai trị a, b, c nhau, thực hốn vị vịng quanh a, b, c ta có: b c - a  = cb - c - ab + a , a - b a - c b - c  c a - b  Cộng vế với vế đẳng thức trên, ta có Câu (3đ) a) (1,5đ) = ac - a - bc + b a - b a - c b - c  b) 1 ( 1,5đ) b)Chứng minh bất đẳng thức a  b  a  b  Ta có: 0,5 đ 0,5 đ a b c + + =0 2 (b - c) (c - a) (a - b) a)Từ 2x6 + y2 – 2x3y = 320 (x3-y)2 +(x3)2=320 => (x3)2  320 mà x nguyên nên x  Nếu x = y khơng ngun ( loại) Nếu x =1 x =-1 y khơng nguyên (loại) Nếu x = 2=> y= - y = 24 Nếu x = -2 => y= -24 y = Vậy phương trình cho có cặp nghiệm (x;y) là: (2;-8);(2;24);(-2;- 24);(-2;8) 1 Áp dụng BĐT   a b ab 0,5 đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ (với a, b > 0) 0,25đ (với a, b > 0) 11 1     ab 4 a b  1 1 1      3x  y  z 2 x  y  z   x  y  z   x  y  z x  y  z  ThuVienDeThi.com 0,25đ  1  1 1 1             x  y   x  z  x  y    y  z    x  y x  z x  y y  z    1 1      16  x  y x  z y  z  Tương tự: 0,25đ 1 1       x  y  z 16  x  z x  y y  z  1 1       x  y  z 16  y  z x  y x  z  0,25đ Cộng vế theo vế, ta có: 1 1 4         3x  y  z 3x  y  3z x  y  3z 16  x  y x  z y  z  4 1         16  x  y x  z y  z  0,5đ I M Câu ( đ) K B O P Q E I x A a) Vì AE tiếp tuyến đường tròn(O) A  AE AO  OEA vuông A O, E, A  đường trịn đường kính OE (1) Vì ME tiếp tuyến đường trịn(O) M  MEMO  MOE vng MM,O,E  đường trịn đường kính OE (2) (1),(2) A,M,O, E thuộc mơt đường trịn ˆ  APM ˆ  900 ˆ  MQA * Tứ giác APMQ có góc vng : EAO => Tứ giác APMQ hình chữ nhật b) Ta có : I giao điểm đường chéo AM PQ hình chữ nhật APMQ nên I trung điểm AM.(3) Mà E giao điểm tiếp tuyến M A nên theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có : OM = OA; EM = EA ( 4) ThuVienDeThi.com 0,5đ 0,75đ 0,25đ 0,25đ Từ ( 3) (4) => O, I, E thẳng hàng c) Hai tam giác AEO PMB đồng dạng chúng tam giác vng có góc AOˆ E  ABˆ M , OE // BM => AO AE (4)  BP MP 0,25đ Từ (4) (5) ta có : AO.MP = AE.BP = KP.AB, mà AB = 2.OA => MP = 2.KP Vậy K trung điểm MP d) Áp dụng bất đẳng thức cosi với số không âm a,b,c,d ta có:  abcd  0,25đ 0,25đ KP BP Mặt khác, KP//AE, nên ta có tỉ số (5)  AE AB abcd 0,25đ abcd abcd      0,25đ 0,25đ 0,25đ (*) Dấu “=” xảy a = b = c = d MP = MO  OP  R  (x  R)  2Rx  x 0,25đ Ta có: S = SAPMQ = MP.AP  x 2Rx  x  (2R  x)x S đạt max  (2R  x)x đạt max  x.x.x(2R – x) đạt max  0,25đ x x x (2R  x) đạt max 3 Áp dụng (*) với a = b = c = x Câu ( 1đ) x x x x x x R4  Ta có : (2R  x)      (2R  x)   3 3 3 16  x Do S max   (2R  x)  x  R R Vậy MP= hình chũ nhật APMQ có diện tích lớn Ta có xy2 + 2xy – 243y + x =  x(y + 1)2 = 243y (1) Từ (1) với ý (y + 1; y) = ta suy (y + Vậy (x, y) = (54, 2) ; (24, 8) DUYỆT CỦA BGH 1)2 ước 243 Cao Dương ngày 20 tháng 10 năm 2015 Người đề Lưu Thị Liên ThuVienDeThi.com 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ ... -(Cán coi thi khơng giải thích thêm) ThuVienDeThi.com PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THANH OAI Môn: Toán TRƯỜNG THCS CAO DƯƠNG Năm học: 2015-2016... có: 46n + 296 .13n = 46n - 13n + 297 .13n = 46n - 13n + 9. 33.13n = (46-13).(…) + 9. 33.13n = 33 (…) + 9. 33.13n ⋮ 33  (2 đ) Lại có: 46n + 296 .13n = 46n + 13n + 295 .13n = (46n +13n) + 5. 59. 13n = (46+13)... + 295 .13n = (46n +13n) + 5. 59. 13n = (46+13) (…) + 5. 59. 13n = 59. (…) + 5. 59. 13n ⋮ 59  Mà (13; 39) = Nên từ   => 46n + 296 .13n ⋮ 33. 59 = 194 7 (đpcm) 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ

Ngày đăng: 31/03/2022, 00:32

w