PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH OAI TRƯỜNG THCS CAO DƯƠNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP Mơn: Tốn Năm học: 2015-2016 Thời gian làm 150 phút không kể thời gian giao đề Câu 1: (6,0 điểm) 1.a) Rút gọn biểu thức A = x 9 x x 1 x 5 x 6 x 3 x b) Cho x, y, z thoả mãn: xy + yz + xz = Hãy tính giá trị biểu thức: A= x (1 y )(1 z ) (1 z )(1 x ) (1 x )(1 y ) y z (1 x ) (1 y ) (1 z ) 2.Cho n số nguyên dương n lẻ CMR: 46 296.13 1947 n n Câu 2: (4 điểm) Giải phương trình x 3x x x x x b ) Cho a, b, c số đôi khác thoả mãn: a b c + + =0 b-c c-a a-b a b c Chứng minh rằng: + + =0 2 (b - c) (c - a) (a - b) Câu 3: (3 điểm) a) Tìm nghiệm nguyên phương trình : 2x6 + y2 –2 x3y = 320 b) Cho x, y, z số dương thoả mãn Chứng minh rằng: 1 6 x y yz zx 1 3x y z 3x y 3z x y 3z Câu 4: (6 điểm) Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R Gọi M điểm thuộc đường tròn tâm O khác A,B.Các tiếp tuyến đường tròn tâm O A M cắt E Vẽ MP vng góc với AB(P AB), vẽ MQ vng góc với AE ( Q AE) 1.Chứng minh rằng: Bốn điểm A,E,M,O thuộc đường tròn tứ giác APMQ hình chữ nhật Gọi I trung điểm PQ Chứng minh O,I,E thẳng hàng ThuVienDeThi.com Gọi K giao điểm EB MP Chứng minh EAO đồng dạng với MPB suy K trung điểm MP Đặt AP = x Tính MP theo x R.Tìm vị trí điểm M đường trịn (O) để hình chữ nhật APMQ có diện tích lớn Câu 5: (1điểm) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: xy2 + 2xy – 243y + x = Hết -(Cán coi thi khơng giải thích thêm) ThuVienDeThi.com PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THANH OAI Mơn: Tốn TRƯỜNG THCS CAO DƯƠNG Năm học: 2015-2016 Đáp án Câu Câu ( đ) 1.( 4đ) 1.a) Rút gọn biểu thức A = a) (2đ) Điểm x 9 x x 1 x 5 x 6 x 3 x ĐKXĐ: x 0; x 4; x A = x 9 x 2 x 3 0,25đ x x 1 x 2 x 3 0,5đ x x 2x x x 2 x 3 0,25đ x x 2 x 2 x 3 x 1 x 2 = x 2 x 3 0,25đ 0,5đ x 1 x 3 0,25đ b) Cho x, y, z thoả mãn: xy + yz + xz = Hãy tính: b) ( 2đ) (1 y )(1 z ) (1 z )(1 x ) (1 x )(1 y ) y z A= x (1 x ) (1 y ) (1 z ) Từ: xy + yz + xz = + x2 = xy + yz + xz + x2 = y(x + z) + x(x + z) = (x + z)(x + y) Tương tự: + y2 = xy + yz +xz +y2 = y.(x+ y) +z (x +y) = ( x+ y).(y+z) 0,25đ 0,25đ 0,25đ + z2 = xy + yz + xz + z2 =x ( y + z)+ z (y + z) = ( y +z) ( x +z) A x 1 y 1 z y 1 z 1 x z 1 x y 1 x 1 y 1 z 2 2 2 2 0,25đ 0,25đ ThuVienDeThi.com x y y z y z x z y y z x z x z x y x z x y x y y z x z x y x y y z z y z x z 2 x y z y x z z x y = x.y z y.x z z.x y xy xz xy yz xz yz x Ta có: 46n + 296.13n = 46n - 13n + 297.13n = 46n - 13n + 9.33.13n = (46-13).(…) + 9.33.13n = 33 (…) + 9.33.13n ⋮ 33 (2 đ) Lại có: 46n + 296.13n = 46n + 13n +295.13n = (46n +13n) + 5.59.13n = (46+13) (…) + 5.59.13n = 59.(…) + 5.59.13n ⋮ 59 Mà (13; 39) = Nên từ => 46n + 296.13n ⋮ 33.59 = 1947 (đpcm) 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ Câu ( 4đ) a) ( 2đ) a, x 3x x x x x (1) x 3x ĐK: x x2 x x (1) + x+3 = x-2 + 0,5đ a.b + c = b + a.c a(b - c) - (b - c) = a (a - 1)(b - c) = b c Với a = 0,5đ 0,25đ x 1 a Đặt: x b x c (1) 0,25đ x x - = x = (thoả mãn đk) ThuVienDeThi.com Với b = c nghiệm x x x - = x + 0x = vô 0,5đ Vậy phương trình (1) có nghiệm x = b) Từ giả thiết ta có: b) ( 2đ) 0,5đ a b c ab - b - ac + c = = b-c a-c a-b a - b a - c Nhân vế đẳng thức với ta có: b-c a b - c = ab - b - ac + c a - b a - c b - c Vai trị a, b, c nhau, thực hốn vị vịng quanh a, b, c ta có: b c - a = cb - c - ab + a , a - b a - c b - c c a - b Cộng vế với vế đẳng thức trên, ta có Câu (3đ) a) (1,5đ) = ac - a - bc + b a - b a - c b - c b) 1 ( 1,5đ) b)Chứng minh bất đẳng thức a b a b Ta có: 0,5 đ 0,5 đ a b c + + =0 2 (b - c) (c - a) (a - b) a)Từ 2x6 + y2 – 2x3y = 320 (x3-y)2 +(x3)2=320 => (x3)2 320 mà x nguyên nên x Nếu x = y khơng ngun ( loại) Nếu x =1 x =-1 y khơng nguyên (loại) Nếu x = 2=> y= - y = 24 Nếu x = -2 => y= -24 y = Vậy phương trình cho có cặp nghiệm (x;y) là: (2;-8);(2;24);(-2;- 24);(-2;8) 1 Áp dụng BĐT a b ab 0,5 đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ (với a, b > 0) 0,25đ (với a, b > 0) 11 1 ab 4 a b 1 1 1 3x y z 2 x y z x y z x y z x y z ThuVienDeThi.com 0,25đ 1 1 1 1 x y x z x y y z x y x z x y y z 1 1 16 x y x z y z Tương tự: 0,25đ 1 1 x y z 16 x z x y y z 1 1 x y z 16 y z x y x z 0,25đ Cộng vế theo vế, ta có: 1 1 4 3x y z 3x y 3z x y 3z 16 x y x z y z 4 1 16 x y x z y z 0,5đ I M Câu ( đ) K B O P Q E I x A a) Vì AE tiếp tuyến đường tròn(O) A AE AO OEA vuông A O, E, A đường trịn đường kính OE (1) Vì ME tiếp tuyến đường trịn(O) M MEMO MOE vng MM,O,E đường trịn đường kính OE (2) (1),(2) A,M,O, E thuộc mơt đường trịn ˆ APM ˆ 900 ˆ MQA * Tứ giác APMQ có góc vng : EAO => Tứ giác APMQ hình chữ nhật b) Ta có : I giao điểm đường chéo AM PQ hình chữ nhật APMQ nên I trung điểm AM.(3) Mà E giao điểm tiếp tuyến M A nên theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có : OM = OA; EM = EA ( 4) ThuVienDeThi.com 0,5đ 0,75đ 0,25đ 0,25đ Từ ( 3) (4) => O, I, E thẳng hàng c) Hai tam giác AEO PMB đồng dạng chúng tam giác vng có góc AOˆ E ABˆ M , OE // BM => AO AE (4) BP MP 0,25đ Từ (4) (5) ta có : AO.MP = AE.BP = KP.AB, mà AB = 2.OA => MP = 2.KP Vậy K trung điểm MP d) Áp dụng bất đẳng thức cosi với số không âm a,b,c,d ta có: abcd 0,25đ 0,25đ KP BP Mặt khác, KP//AE, nên ta có tỉ số (5) AE AB abcd 0,25đ abcd abcd 0,25đ 0,25đ 0,25đ (*) Dấu “=” xảy a = b = c = d MP = MO OP R (x R) 2Rx x 0,25đ Ta có: S = SAPMQ = MP.AP x 2Rx x (2R x)x S đạt max (2R x)x đạt max x.x.x(2R – x) đạt max 0,25đ x x x (2R x) đạt max 3 Áp dụng (*) với a = b = c = x Câu ( 1đ) x x x x x x R4 Ta có : (2R x) (2R x) 3 3 3 16 x Do S max (2R x) x R R Vậy MP= hình chũ nhật APMQ có diện tích lớn Ta có xy2 + 2xy – 243y + x = x(y + 1)2 = 243y (1) Từ (1) với ý (y + 1; y) = ta suy (y + Vậy (x, y) = (54, 2) ; (24, 8) DUYỆT CỦA BGH 1)2 ước 243 Cao Dương ngày 20 tháng 10 năm 2015 Người đề Lưu Thị Liên ThuVienDeThi.com 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ ... -(Cán coi thi khơng giải thích thêm) ThuVienDeThi.com PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THANH OAI Môn: Toán TRƯỜNG THCS CAO DƯƠNG Năm học: 2015-2016... có: 46n + 296 .13n = 46n - 13n + 297 .13n = 46n - 13n + 9. 33.13n = (46-13).(…) + 9. 33.13n = 33 (…) + 9. 33.13n ⋮ 33 (2 đ) Lại có: 46n + 296 .13n = 46n + 13n + 295 .13n = (46n +13n) + 5. 59. 13n = (46+13)... + 295 .13n = (46n +13n) + 5. 59. 13n = (46+13) (…) + 5. 59. 13n = 59. (…) + 5. 59. 13n ⋮ 59 Mà (13; 39) = Nên từ => 46n + 296 .13n ⋮ 33. 59 = 194 7 (đpcm) 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ