Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện Thiệu Hóa năm học 2015 2016 môn: Toán18599

PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THIỆU HĨA ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm có 01 trang) ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2015 - 2016 Mơn: Tốn Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Ngày thi: 25 tháng 11 năm 2015 Câu 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức: A x x 3 2( x  3) x 3   x 2 x 3 x 1  x a) Rút gọn biểu thức A; b) Tìm x biết A = 8; c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A Câu 2: (3,0 điểm) a) Tìm giá trị a, b cho đồ thị hàm số y = (a – 3)x + b song song với đường thẳng y = –2x + đồng thời qua giao điểm hai đường thẳng y = 5x + y = x –  2( x  y )  xy  b) Tìm x; y; z thỏa mãn  3( y  z )  yz  4( x  z )  xz  Câu 3: (4,0 điểm) a) Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a  b  c  abc  Tính giá trị biểu thức: A  a(4  b)(4  c)  b(4  c)(4  a)  c(4  a)(4  b)  abc b) Giải phương trình nghiệm nguyên: (x + 1)(x + 1) = (2y + 1) Câu 4: (5,0 điểm) Cho đường tròn (O,R) đường thẳng d khơng có điểm chung với đường trịn Trên d lấy điểm M bất kỳ, qua M kẻ tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B tiếp điểm) Kẻ đường kính AOC, tiếp tuyến (O) C cắt AB E a) Chứng minh BCM đồng dạng với BEO ; b) Chứng minh CM vng góc với OE; c) Tìm giá trị nhỏ độ dài dây AB Câu 5: (2,0 điểm) Cho tam giác ABC, điểm M nằm tam giác ABC cho AM2 = BM2 + CM2 Tính số đo góc BMC Câu (2,0 điểm) Cho: x + y + z = x3 + y3 + z3 = Tính A = x2015 + y2015 + z2015 Họ tên học sinh: ; Số báo danh: ThuVienDeThi.com PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THIỆU HĨA HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2015 - 2016 Mơn: Tốn ĐỀ CHÍNH THỨC Câu Câu a ĐKXĐ x  0, x  (2,0đ) x x 3 A ( x  1)( x  3) Nội dung  2( x  3) x 1  Điểm 4,0 đ 0,5 đ x 3 x 3 0,5 đ x x   2( x  3)  ( x  3)( x  1) A ( x  3)( x  1) A x x   x  12 x  18  x  x  ( x  3)( x  1) 0,5 đ A x x  x  x  24 ( x  8)( x  3) x 8   ( x  3)( x  1) ( x  3)( x  1) x 1 0,5 đ b Với x  0, x  (1,0đ) x 8 8 A=8  x 1  x ( x  8)  0,25 đ  x8 8 x 8  x 0   x    x 8 x  x   (thỏa mãn đk)  x  64 Vậy x = x = 64 A = c Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: (1,0đ) x 8 x   4 x  4( x  1) A   4 x 1 x 1 x 1 Dấu “=” xảy  x  (Thỏa mãn điều kiện) x 1  Vậy GTNN A = 0,25 đ x = Câu a Vì đường thẳng (d): y = (a - 3)x + b song song với đường thẳng y = -2x + (1,5đ) nên: a - = -2 b  => a = 1; b  Tìm giao điểm đường thẳng y = 5x + y = x - M(-2;-5) Vì (d): y = -2x + b qua M(-2;-5) => b = -9 (thỏa mãn) Vậy a = 1; b = -9 b + Từ hệ cho ta thấy ba số x; y; z suy hai số (1,5đ) lại (x; y; z) = (0; 0; 0) giá trị cần tìm ThuVienDeThi.com 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 3,0 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ + Trường hợp xyz  0: 1  17  24 x  y   x  24  x  17   2( x  y )  xy   1 49  24  19  1     y   3( y  z )  yz        = x y z 24  19  y 24  4( x  z )  xz y z   24  13 1  z  13        z 24 z x 0,75 đ + Vậy cặp số (x; y; z) cần tìm (x; y; z) = (0; 0; 0) (x; y; z) = ( Câu a (2,0đ) 24 24 24 ; ; ) 17 19 13 0,25 đ 4,0 đ A  a (4  b)(4  c)  b(4  c)(4  a )  c(4  a )(4  b)  abc Ta có: a  b  c  abc   4a  4b  4c  abc  16 0,5 đ  a (4  b)(4  c)  a (16  4b  4c  bc)  a (2 a  bc )  a (2 a  bc )  2a  abc Tương tự: b (2,0đ) 0,5 đ b(4  c)(4  a )  2b  abc , c(4  a )(4  b)  2c  abc 0,5 đ  A  2(a  b  c)  abc  abc  2(a  b  c  abc )  0,5 đ + Trước hết, chứng minh (x + 1) (x + 1) nguyên tố nhau: 0,25 đ Gọi d = ƯCLN (x + 1, x + 1) => d phải số lẻ (vì 2y + lẻ) 0,25 đ  x2  x d   x  1 d  x  1 d     x  1 d     d mà d lẻ nên d =  x  1 d  x  1 d  x  1 d  0,5 đ + Nên muốn (x + 1)(x + 1) số phương Thì (x + 1) (x + 1) phải số phương  x2   k k  k  1 Đặt:  (k + x)(k – x) =      x   t x  x  0,5 đ + Với x = (2y + 1) =  y = y = - 1(Thỏa mãn pt) Vậy nghiệm phương trình là: (x; y)  (0; 0); (0;  1) ThuVienDeThi.com 0,5 đ Câu 5,0 đ A O Q C N P I B M E H d a Gọi Q giao điểm AB với OM (2,0đ) Ta có AM//CE (cùng vng góc với AC)  BEC  MAB (so le trong) Mà ABC  90 ; AQM  90 AMO  OMB (Dễ chứng minh) Suy AMO  OMB = BCE (cùng phụ với hai góc nhau)  tan BCE = tan OMB  BE OB MB OB   (1)  BC MB BC BE 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ Lại có MBA  OBC (cùng phụ với góc ABO) Nên MBC  OBE ( = 900 + OBC ) (2) Từ (1) (2) suy  MBC  OBE (c.g.c)  OBE  BCM  BEO b Từ  MBC (1,5đ) Gọi I N giao điểm OE với BC MC  BIE  NIC (g.g)  IBE  INC Mà IBE  90 => INC  90 Vậy CM  OE c Gọi H hình chiếu vng góc O d P giao điểm AB với OH (1,5đ) OQ OP Ta có  OQP  OHM (.g.g) =>  OH OM R2  QO OM = OP OH = OA2 = R2  OP  OH Mà O d cố định => OH khơng đổi => OP khơng đổi Lại có : AB = 2AQ = 0A  OQ mà OQ  OP R4 2R  AB  OA  OP  R   OH  R (không đổi) OH OH Dấu “=” xảy  Q  P  M  H 2R Vậy GTNN AB = OH  R  M  H OH 2 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ ThuVienDeThi.com 0,5 đ Câu 2,0 đ (2,0đ) * Vẽ tam giác CMN Ta có: BC = AC; CN = CM;  BCN =  ACM (Vì có tổng với  MCB 600) Do  BCN =  ACM (c.g.c) Suy BN = BM 0,5 đ * Theo giả thiết: AM  BM  CM  BN  BM  MN  BMN vuông M (Định lý Pitago) 0,5 đ A A A  BMC  BMN  NMC  900  600  1500 0,5 đ 2,0 đ 0,5 đ Câu Từ x + y + z =  (x + y + z)3 = Mà: x3 + y3 + z3 =  (x + y + z)3 - x3 - y3 - z3 =  x  y  z   z  x  y   0,5 đ    x  y  z  z x  y  z   x  y  z  z  z   x  y  x  xy  y   x  y x  y  z  2xy  yz  2xz+xz  yz  z  z  x  xy  y    x  y 3z  3xy  yz  3xz   0,5 đ  x  y 3  y  z x  z   x  y  x   y   y  z    y  z    x  z   x   z 0,5 đ * Nếu x   y  z   A  x 2015  y 2015  z 2015  * Nếu y   z  x   A  x 2015  y 2015  z 2015  * Nếu x   z  y   A  x 2015  y 2015  z 2015  Lưu ý: 0,5 đ - Điểm tồn làm trịn đến 0,25 đ; - HS làm cách khác, cho điểm tối đa ThuVienDeThi.com ...PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THI? ??U HĨA HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2015 - 2016 Mơn: Tốn ĐỀ CHÍNH THỨC Câu Câu a ĐKXĐ x  0, x  (2,0đ)... 0,5 đ * Nếu x   y  z   A  x 2015  y 2015  z 2015  * Nếu y   z  x   A  x 2015  y 2015  z 2015  * Nếu x   z  y   A  x 2015  y 2015  z 2015  Lưu ý: 0,5 đ - Điểm tồn làm... 24 x  y   x  24  x  17   2( x  y )  xy   1 49  24  19  1     y   3( y  z )  yz        = x y z 24  19  y 24  4( x  z )  xz y z   24  13 1  z  13 