Đề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện Thanh Oai năm học 20152016 môn thi: Toán Trường THCS Liên Châu49778

PHÒNG GD&ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS LIÊN CHÂU Bài 1(6đ): Cho biểu thức: ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015 - 2016 MƠN: TỐN – LỚP Thời gian: 150 phút A  1 ( x x 1   ): 1 x 4x 1 1 x 4x  x 1 a/ Rút gọn A b/ Tìm giá trị nguyên x để A đạt giá trị nguyên 2, Tính giá trị biểu thức B = x3 - 3x + 2000 với x = 3  2 + 3  2 Bài ( điểm) Câu ( 1,5 điểm) Cho số x, y, z thỏa mãn đồng thời: 3x - 2y - y  2012 +1 =0 3y - 2z - z  2013 + = 3z - 2x - x  - = 0; Tính giá trị biểu thức P = ( x - 4) 2011 + ( y + 2012) 2012 + ( z - 2013) 2013 Câu (1,5 điểm) Cho bốn số thực a, b, c, d thoả mãn đồng thời: a  b  c  d  a  b  c  d  13 Hỏi a nhận giá trị lớn bao nhiêu? Bài 3: (3đ) a) Cho ba số dương x, y, z thoả mãn 1    Chứng minh rằng: x y z x  yz  y  zx  z  xy  xyz  x  y  z b)Tìm số tự nhiên n cho A  n  n  số phương Bài ( điểm) Câu (3 điểm) Từ điểm K đường trịn tâm O đường kính AB = 2R Vẽ KH vng góc với tiếp tuyến Bx đường trịn Giả sử góc KAB  độ ( <  < 90 ) a, Tính KA, KB, KH theo R  b, Tính KH theo R  c, Chứng minh rằng: cos  = – 2sin2  cos  = cos2  - Câu (4 điểm) Cho đường tròn tâm O bán kính R, A điểm cố định đường trịn Vẽ tiếp tuyến Ax, lấy điểm M Ax, vẽ tiếp tuyến thứ hai MB với đường tròn (B tiếp điểm) Gọi I trung điểm MA, BI cắt đường tròn K, tia MK cắt đường tròn C Chứng minh rằng: a, Tam giác MIK đồng dạng với tam giác BIM b, BC song song với MA c, Khi điểm M di động Ax trực tâm H tam giác MAB thuộc đường tròn cố định Câu (1,0 điểm): Cho A n = với n ฀ * (2n +1) 2n  Chứng minh rằng: A1 + A + A + + A n < ThuVienDeThi.com ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM - MƠN TỐN LỚP Bài 1a) a/(2đ)Cho biểu thức (2,5đ)  x  x 1 A= 1     x x  1  x  : x  x  ĐK: x  0; x  ; x      x  x 1  :   A= 1 x  x  (2 x  1) x   x       A=1- x   x  x  (2 x  1) (2 x  1)(2 x  1) x 1 A=1- x 1 x 1 x 1  1  x 1 x 1 x 1  x  0,25 0,75 0,75 0,75 1b) Ta có : (1,5đ) b/(2đ) Tìm x  Z để A nguyên  Z   x  Ư(2) 1 x Do x  0; x  1; x  Z  x  A Z  Vậy x=0 A có giá trị nguyên Áp dụng công thức: (a+b)3=a3+b3+3ab(a+b), 2.(2đ) Đặt a= 3  2 , b= 3  2 Ta có  x= a+b  x3= (a+b)3= a3 + b3 +3ab(a+b) => x3 = + 3x  x3- 3x = 6Suy B = 2006 Bài (3điểm) Câu (1.5 điểm) b) 3x - 2y - y  2012 +1 =0 (1) 3y - 2z - z  2013 + = (2) 3z - 2x - x  - = (3) Cộng vế với vế (1), (2), (3) ta được: x + y + z - y  2012 - z  2013 - x  = 0,75 0,75 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 0,50  ( x - - x  + 1) + ( y + 2012 - y  2012 + 1) + ( z - 2013 - z  2013 + 1) =  ( x  - ) + ( y  2012 - 1) + ( z  2013 - 1) =  x2 - =  x = y  2012 - =  y = - 2011 z  2013 - =  z = 2014 ThuVienDeThi.com 0,50 0,25 Vậy P = ( - 4) 2011 + ( - 2011 + 2012) 2012 + ( 2014 - 2013) 2013  P = -1 + +1 = Câu (1.5 điểm) Từ a +b+c+d =  b+c+d = – a (b+c+d)2 = b2 + c2 + d2 + 2bc +2cd + 2bd mà (b – c )2  ; (c - d )2  ;(d - b )2  ;  b2 + c2  2bc; c2 + d2  2cd; d2 + b2  2bd; Từ (b+c+d)2  3(b2 + c2 + d2)  (7 - a)2  3(13 – a2) (a – 1)(a- )  Tìm  a  0,25 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ a nhận giá trị lớn 0,25đ Bài 3(3điểm) a) Bất đẳng thức cho tương đương với (1.5đ) a  bc  b  ca  c  ab   ab  bc  ca , 1 với a  , b  , c  , a  b  c  x y z Tacó : a  bc  a (a  b  c)  bc 0,5 0,5  a  a (b  c)  bc  a  2a bc  bc  a  bc Tương tự: b  ca  b  ca ; c  ab  c  ab Từ ta có đpcm Dấu xảy x  y  z  b) 1.5đ A  n  n  số phương nên A có dạng A  n  n   k (k  N * ) 0,5 0,5  4n  4n  24  4k  (2k )  (2n  1)  23 2 2 2k  2n   23  (2k  2n  1)(2k  2n  1)  23    2k  2n   0,5 2k  2n   23 k     2k  2n   n  0,25 (Vì 23 số nguyên tố 2k + 2n + 1> 2k – 2n -1) Vậy với n = A số phương Bài (7 điểm) Câu (3 điểm) ThuVienDeThi.com 0,25 x K H  A O C B a, (1 điểm) Lập luận để có  AKB = 900 (0,25đ);  KAB =  KBH (0,25đ); Xét  AKB vuông H có KA = AB cos  = 2R cos  (0,25đ); KB = AB sin  = 2R sin  (0,25đ); Xét  KHB vng H có KH = KB sin  (0,25đ) = 2R sin2  (0,25đ); b, (0.75 điểm) Vẽ KO; KC  AB xét  KCO vng C có OC = OK cos2  (0,25đ); Lập luận có KH = CB (0,25đ) = R - Rcos2  = R(1 - cos2  ) (0,25đ); c, (1,25 điểm) Theo câu a có KH = 2R sin2  theo câu b có KH = R(1 - cos2  ) (0,25đ); nên 2R sin2  = R(1 - cos2  ) (0,25đ) cos2  = - 2sin2  (0,25đ); Mặt khác áp dụng định lí Pitago vào tam giác AKB vng K chứng minh sin2  + cos2  = nên sin2  = - cos2  (0,25đ); Từ có cos2  = – 2(1 – cos2  ) = cos2  - (0,5đ); Câu (4 điểm) x M K I B A O C a, (2 điểm) Chứng minh  IAK đồng dạng với  IBA (0,5đ)  IA2 = IK.IB , mà I trung điểm AM nên IM2 = IK.IB (0,5đ) ThuVienDeThi.com Chứng minh  MIK đồng dạng với  BIM (1đ) b, (1điểm) Từ câu a   IMK =  MBI , lại có  MBI =  BCK(0,5đ);   IMK =  BCK  BC // MA(0,5đ); c, (1 điểm) H trực tâm  MAB  tứ giác AOBH hình thoi (0,5đ);  AH = AO =R  H  (A;R) cố định Câu (1điểm) 2n  A   n (2n  1) 2n  (2n  1) 2n  1 2n   1  2n   1  1           2n  2n    2n  2n   2n  2n   1 1 Vì nên A      n 2n  2n  2n  2n  2n  1  (n  ฀ *) 2n  2n  1 1 1 Do đó: A1  A2  A3   An         3 2n  2n  1 A1  A2  A3   An   1 2n  A  n ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 0,25 0,25 ... -1) Vậy với n = A số phương Bài (7 điểm) Câu (3 điểm) ThuVienDeThi.com 0,25 x K H  A O C B a, (1 điểm) Lập luận để có  AKB = 90 0 (0,25đ);  KAB =  KBH (0,25đ); Xét  AKB vng H có KA = AB cos... + ( z  2013 - 1) =  x2 - =  x = y  2012 - =  y = - 2011 z  2013 - =  z = 2014 ThuVienDeThi.com 0,50 0,25 Vậy P = ( - 4) 2011 + ( - 2011 + 2012) 2012 + ( 2014 - 2013) 2013  P = -1 + +1...ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM - MƠN TỐN LỚP Bài 1a) a/(2đ)Cho biểu thức (2,5đ)  x  x 1 A= 1     x x  1  x  : x  x  ĐK: x 