Đề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện Thanh Oai năm học 20152016 môn thi: Toán Trường THCS Thanh Thùy42979

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2015-2016 MƠN: TỐN LỚP Thời gian làm 150 phút khơng kể thời gian giao đề PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH OAI TRƯỜNG THCS THANH THÙY ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1: (6 điểm) Cho biểu thức:  x   x 3 x 2 P  1    :   x   x   x x (4  x )    x 5 x 6   a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x để P > c) Tính giá trị P với x = Bài 2: (4 điểm) a) Giải phương trình: 2+ 5+3 2‒ �+4 �‒4+ �‒4 =6‒� b) Tìm nghiệm nguyên phương trình: 2x2 + 4x = 19 - 3y2 Bài 3: (2 điểm) a) Cho x,y,z ba số dương thỏa mãn: Q = xyz 1+� 1 + 1+� + 1+� = Tìm giá trị lớn b) Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh a,b,c có chu vi Chứng minh rằng: a2 + b2 +c2 + 2abc < Bài 4: (2 điểm) Cho ΔABC vuông A Biết AB = 3cm , AC = cm Từ B vẽ tia Bx vng góc với BC Tại B , Bx cắt CA tai điểm E đoạn thẳng BE lấy F bất kỳ, hạ BH vng góc với FC H a) Tính AE b) Chứng minh ΔAHC ~ Δ FEC Bài 5: (6 điểm) Cho hai đường tròn ( O ) ( O/ ) Đường nối tâm OO/ cắt đường tròn ( O ) ( O/ ) điểm A, B, C, D theo thứ tự đường thẳng Kẻ tiếp tuyến chung EF, E  ( O ) F  ( O/ ) Gọi M giao điểm AE DF; N giao điểm EB FC Chứng minh rằng: a) Tứ giác MENF hình chữ nhật b) MN  AD c) ME.MA = MF.MD Người đề Hết -Tổ trưởng duyệt ThuVienDeThi.com Duyệt BGH HƯỚNG DẪN CHẤM , BIỂU ĐIỂM ĐỀ TOÁN NĂM HỌC 2015-2016 Bài a) Đáp án ĐKXĐ: x  0, x  4, x     x 9x 4 x  x 4   P :  ( x  2)( x  3)   x     x 3    :       x   ( x  2)( x  3)  x 2    x 2     x 1 1 x    b) �‒2 P >  �+1 >  �‒2>0 x>4 Kết luận: x > x ≠ P > c) x=3 2+ 5+3 2‒ => x3 = + 3 ‒ 5.x  x3 + 3x ‒ =  x3 – x2 + x2 – x + 4x – =  x2(x – 1) + x(x – 1) + 4(x – 1) =  (x – 1)( x2 + x + 4) = Vì x2 + x + > nên x – = => x = ‒1 1‒2 Vậy P = + = Điểm 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Bài a) Đk : ≤ x ≤ �+4 �+4+ �-4=6−x  �-4+4 �+4+4+ �-4=6–x  �-4+2+ �-4+x–6=0  � - (2 + � - ) = �-4 =0x=4  (2 + � - ) = ( vô lý) Thử lại : + = – x  = Kết luận : Vậy phương trình có nghiệm : x = Tìm nghiệm ngun phương trình b) ThuVienDeThi.com 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 2x2 + 4x = 19 – 3y2  2x2 + 4x + = 21 – 3y2  2(x2 + 2x + 1) = 3(7 – y2)  2(x+1)2 = 3(7 – y2)  – y2 >  – y2 ⋮  y2 số lẻ , mà – y2 >  y ±  2(x+1)2 = 3.6 = 18  (x+1)2 = 32  x = −4 ; x = (x,y) = (-4, 1) ; (-4, -1) ; (2, -1) ; (2,1) Bài a)  1+� 1 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ + 1+� + 1+� = 1+� = Tương tự � � � � ≥ + 1+� 1+� 1+� 1+� � � � : + � = + � + + � ≥ + � + � � 1 � � ≥ + � + � 1+� = 1+� + 1+� 0,5đ Nhân vế với vế ta : 1 1+� 1+� 1+� ≥ 2.2.2 (���)2 2 (1 + �) (1 + �) (1 + �)  ≥ 8xyz 1  ≥ xyz hay xyz ≤ ��� = (1 + �).(1 + �).(1 + �) 0,5đ 0,5đ)  Max Q = x = y = z = (0,5đ) b) Ta có: < a < b + c => 2a < a + b + c => a < < b < a + c => 2b < a + b + c => b < < c < b + a => 2c < a + b + c => c < => (a – 1) (b – 1) (c – 1) <  abc – (ac +ab + bc) + (a+b+c) <  2abc – 2(ac +ab + bc) + (a+b+c)2 < (vì a + b + c = 2)  2abc + Bài 4: a2 + vẽ hình b2 + c2 < (đccm) 0,5đ) (0,5đ) (0,5đ) (0,5đ) E AB2 = CA AE ThuVienDeThi.com 0,5đ => AE = ��2 �� 0,5đ =4 A CH CF = BC2 (△ HBC ~ △ BFC) CA CE= BC2 (△ ABC ~ △ BEC) 0,5đ F => CH CF = CA CE �� �� => �� = �� Góc C chung => △ AHC ~ △ FEC (c.g.c) H 0,5đ B C Bài M 0,5đ E I F A H O B C D O/ N a) Ta có Góc AEB = GócCFD = 900 (góc nội tiếp chắn đường trịn) Vì EF tiếp tuyến chung hai đường tròn (O) (O/), nên: OE  EF OF  EF => OE // O/F Góc EOB= Góc FO’D (góc đồng vị) => góc EAO = góc FCO’ Do MA // FN, mà EB  MA => EB  FN Hay góc ENF = 900 ฀N ฀  F  90O , nên MENF hình chữ nhật Tứ giác MENF có E b) Gọi I giao điểm MN EF; H giao điểm MN AD Vì MENF hình chữ nhật, nên góc IFN = góc INF Mặt khác, đường trịn (O/):gocsIFN= góc FND = ½ sđ cung FC =>góc FDC = góc FDC Suy FDC đồng dạng HNC (g – g) => góc NHC= góc DFC = 900 hay MN  AD c) 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ ThuVienDeThi.com Do MENF hình chữ nhật, nên góc MFE = FEN Trong đường trịn (O) có: góc FEN = góc EAB =1/2 sđ cung EB =>gócMEF = EAB Suy MEF đồng dạng MDA (g – g) ME MF  => , hay ME.MA = MF.MD MD MA 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ Lưu ý: Nếu học sinh giải theo cách khác, phù hợp với kiến thức chương trình học hai Giám khảo chấm thi thống việc phân bố điểm cách giải đó, cho không làm thay đổi tổng điểm (hoặc ý) nêu hướng dẫn này./ NGƯỜI SOÁT TỔ TRƯỜNG ThuVienDeThi.com DUYỆT BGH ...HƯỚNG DẪN CHẤM , BIỂU ĐIỂM ĐỀ TOÁN NĂM HỌC 2015-2016 Bài a) Đáp án ĐKXĐ: x  0, x  4, x     x ? ?9? ??x 4 x  x 4   P :  ( x  2)( x  3)   x  ... hay ME.MA = MF.MD MD MA 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ Lưu ý: Nếu học sinh giải theo cách khác, phù hợp với kiến thức chương trình học hai Giám khảo chấm thi thống việc phân bố điểm cách giải đó, cho khơng... FO’D (góc đồng vị) => góc EAO = góc FCO’ Do MA // FN, mà EB  MA => EB  FN Hay góc ENF = 90 0 ฀N ฀  F  90 O , nên MENF hình chữ nhật Tứ giác MENF có E b) Gọi I giao điểm MN EF; H giao điểm MN